CALCULUL SUPRAFETELOR IN LUCRARILE DE CADASTRU

Calculul suprafetelor în lucrarile de cadastru

            Suprafata unui teren în topografie, reprezentata pe plan si cu valoare de întrebuintare, este proiectia pe un plan orizontal, de referinta, a perimetrului ce o marcheaza pe teren. Denumirea curent folosita pentru aceasta este suprafata utila.

În cadastru identificarea terenului, prin parcele se face având la baza urmatoarele caracteristici:

-         suprafata utila a parcelei

-         numarul topo-cadastral

-         vecinatatile (parcele vecine)

Fie ca laturile ariei masurate sunt drepte, curbilinii sau o combinatie între acestea, în fapt se pune problema stabilirii marimii proiectiei orizontale a suprafetei reale, acea suprafata utila mentionata.

Observatie. Suprafata utila este întotdeauna mai mica decât cea reala , desele inadvertente dintre

 realitatea din teren si cea evidentiata în registrele agricole, planurile cadastrale, cartile funciare având ca origine confundarea involuntara sau intentionata a celor doua suprafete.

            În cazul când suprafata are un contur limitat de linii curbe (fig. 3.68) calculul ariei utile a acesteia se poate face prin:

a)      metoda trapezelor;

b)      metoda Simpson;

c)      metoda tangentelor;

d)      metoda paralelelor;

e)      metoda patratelor,

ultimele doua metode grafice abordate pe larg în acest capitol.

            a) Metoda trapezelor, consta în împartirea suprafetei în trapeze.

Calculul suprafetei , ce are o latura curba sau serpuita se face împartind-o în trapeze, de înaltime egala a. Daca laturile (masurate în teren sau grafic pe plan) sunt

, aria trapezelor va fi:

                     646g67g                 (3.173)

                     646g67g                                  (3.174)

Atentie! daca  si  sunt masuri grafice la o scara a planului topografic 1:N atunci marimea din teren a acestora va fi:

                     646g67g                      646g67g                             646g67g                      646g67g   (3.175)

                     646g67g                                (3.174)^/

            b) Metoda Simpson

Suprafata se împarte în n parti de înaltime egala, n numar par. Ser înlocuiesc arcele curbe oarecare cu arce de parabola duse prin trei puncte succesive, tinând cont de faptul ca:

(3.176)

unde  este un trapez,  este

un segment parabolic.

                         646g67g      ( 3.177)

                    (3.178)

Cunoscând faptul ca aria segmentului parabolic este 2/3 din aria paralelogramului circumscris , iar  reprezinta lungimea , va rezulta:

           (3.179)

Va rezulta:

                     646g67g                                     646g67g         (3.179)^/

                     646g67g               

                     646g67g                                    (3.179)ⁿ

         (3.180)

            c) Metoda tangentelor

Se înlocuieste, pe portiuni limitate arcul cu tangenta la curba în punctul sau mediu. Suprafata  se împarte la fel ca la metodele precedente. Se aproximeaza  cu suprafata trapezului  egala cu .

          (3.181)

iar în final

                     646g67g                      646g67g                             646g67g             (3.182)

            3.8.1. Calculul suprafetelor poligonale

            În general parcelele au forme poligonale, iar daca una sau mai multe laturi sunt curbilinii prin operatiuni de rectificare de hectar suprafetele se transforma în aceste forme. Calculul suprafetelor în acest caz se poate face prin:

a)      metode numerice;

b)      metode grafice;

c)      metode mecanice

a) Metode numerice de calcul al suprafetelor poligonale

            În prezent, cea mai utilizata, statiile topografice totale având programe de calcul automat a suprafetelor delimitate pe contur de un numar de puncte masurate.

Practic, într-o prima faza (daca coordonatele nu s-au determinat prin operatiuni topografice anterioare) trebuiesc stabilite coordonatele tuturor punctelor ce se gasesc pe conturul suprafetei de calculat.

Daca masuratorile se fac pe teren stabilirea coordonatelor se poate face (fig. 3.72):

           

Daca exista reper de sprijin în zona (ex.: 21 si 22):

a)      prin drumuire planimetrica în circuit închis;

b)      prin radiere planimetrica (metoda utilizata în ridicarile efectuate cu statia totala).

Daca nu exista reperi de sprijin în zona, fie se îndeseste reteaua de sprijin aducând reperi în zona, fie

            c) se creeaza un sistem particular x0y cu originea în unul din colturile suprafetei caruia pentru usurinta calculului îi atribuim coordonate x si y egale cu 1000,000 m, orientarea spre punctul urmator considerând-o, în sistemul ales, ca fiind nula.

            Observatie. Solutionarea celor trei cazuri a fost facuta pe larg în cursul de Topografie generala, al aceluiasi autor.

            Daca stabilirea coordonatelor punctelor de pe contur se face pe plan, grafic, fiecare punct se va raporta la cel mai apropiat colt de caroiaj, în raport cu care i se stabilesc coordonatele (vezi capitolul Planuri si harti din manualul mentionat mai sus).

            Dupa calculul coordonatelor punctelor de pe contur, aplicându-se una din relatiile:

                     646g67g                                     646g67g           (3.183)

se calculeaza marimea suprafetei utile considerate.

            Observatie. Relatiile (3.176) au fost demonstrate în volumul Note de curs. Topografie generala de acelasi autor.

            a.2. Metode geometrice si trigonometrice

            Aceste metode constau în împartirea poligonului în figuri geometrice regulate, triunghiuri (fig. 3.75.a si b), triunghiuri si trapeze (fig. 3.75.c) sau triunghiuri, dreptunghiuri, patrate, paralelograme, romburi, trapeze a caror arie se determina în functie de marimile cunoscute cu relatiile prevazute în Anexa nr. 1, Memoriu matematic.

            Suprafata totala va fi suma suprafetelor partiale, iar elementele (toate laturile si unghiurile, o latura si toate unghiurile) se pot stabili prin masurare pe teren sau grafic pe planul topo-cadastral.

            b) Metode grafice de calcul al suprafetelor

            Aplicând sabloane dintr-un material transparent (calc) cu laturi paralele (fig. 3.76.a) sau continând patrate (3.76.b) peste suprafata a carei marime o cautam este posibila stabilirea acesteia astfel:

           

b1) Metoda paralelelor

            Se masoara pe plan , se cunoaste echidistanta paralelelor a si se stie ca:                

                     646g67g                                     646g67g             

                     646g67g                      646g67g                             646g67g                      646g67g                  (3.184)

                     646g67g               

                     646g67g               

Marimea grafica a suprafetei va fi deci:

                     646g67g                                     646g67g                      646g67g (3.185)

iar marimea din teren

                     646g67g                                     646g67g                      646g67g            (3.185)^/

            Observatie. Operativ, suma laturilor  poate fi obtinuta prin cumulare cu un compas.

            b2) Metoda patratelor

            Aplicându-se o grila peste suprafata de pe plan, în perimetrul acesteia vor exista un numar n₁ de patrate întregi (ca de exemplu s₁) si un numar n₂ de patrate obtinute prin cumularea a doua sau mai multe fragmente incluse (ca de exemplu s₂). Suprafata grafica va fi:

                     646g67g                      646g67g                             646g67g             (3.186)

 fiind suprafata unitara a unui patrat al grilei de latura a, deci:

                     646g67g                      646g67g                             646g67g                      646g67g       (3.187)

Suprafata din teren va fi:

                     646g67g                      646g67g                             646g67g              (2.188)

c)      Metoda mecanica (pag.84 - 89 N.Bos, Cadastru general)

            3.8.2. Calculul suprafetelor în lucrarile de cadastru funciar general pentru un teritoriu administrativ rural sau urban

            Dupa actualizarea planurilor cadastrale (reambularea) si numerotarea cadastrala a tarlalelor si parcelelor formeaza un teritoriu administrativ se trece într-o prima faza la stabilirea trapezelor în care se încadreaza acel teritoriu (fig. 3.77).

				Trapezul								Suprafata (m2)
	h	i Strâmtura	j
	Budesti		Rozavlia	1	L	35	13	A	a	1	I	567,2050
				2						2	II	567,2050
	k	l	m	3						3	I	567,2050
		Botiza	Ieud	4						17	III	567,4150
	Baiut			5						18	IV	567,4150
	n	o	p	6						19	I	567,4150
				7						33	I	567,6150
	Suciu de Sus			8						34	II	567,6150
				9						35	I	567,6150

Fig. 3.77 Stabilirea trapezului

            Se stabileste, pe baza tabelului prezentat în Anexa 2, suprafata fiecarui trapez.

            Calculul suprafetelor pe trapez se va face pornind cu trapezul notat 1 (cel mai Nord - Vestic) si va urma succesiunea:

a)      Calculul suprafetelor pe masive;

b)      Calculul suprafetelor pe tarlale;

c)      Calculul suprafetelor pe parcele.

3.8.2.1. Calculul suprafetelor pe masive

- se descompune suprafata în masive urmând linii de detaliu evidente (ape, cai de comunicatie, liziere etc.) si se marcheaza cu creionul pentru a putea fi sters marcajul dupa terminarea operatiunii;

            - pentru fiecare trapez în parte se calculeaza, pe masive, partea inclusa în perimetru si partea din exteriorul acestuia, operatie realizata prin planimetrare de mai multe ori si facând media rezultatelor obtinute.

3.8.2.1.1. Metoda mecanica de calcul a suprafetelor

            În mod practic, metoda mecanica este tot o metoda grafica de determinare a suprafetelor, utilizându-se pentru aceasta un instrument mecanic numit planimetru. Instrumentul este compus din doua brate metalice, legate printr-o articulatie. Primul brat - bratul polar - are o lungime fixa si are la un capat un punct fix numit pol, întepat în suportul desen (plan topografic). Cel de-al doilea brat are un capat urmaritor cu un stil, iar la capatul articulat are un contor cu înregistrator. Pe contor se citesc 100 diviziuni. O tura completa de 100 diviziuni se citeste pe o roata înregistratoare cu o diviziune, iar o diviziune a contorului poate fi divizata în 10 citiri ale unui vernier cuplat.

Fig. 3.78 Planimetrul

            Bratul mobil (bara motrice) are un punct de culisare - scurtare, lungire brat - dependenta de scara de reprezentare a planului.

            Planimetrul polar se foloseste în special pentru determinarea ariilor suprafetelor de contur închis, sinuos, acolo unde alte metode sunt ineficace.

            În efectuarea determinarilor cu planimetrul trebuie respectate urmatoarele reguli:

-         planul cu suprafata de planimetrat se aseaza pe o planseta orizontala;

-         lungimea bratului trasor (mobil) se regleaza dupa scara planului;

-         polul planimetrului se fixeaza astfel încât bratele planimetrului sa nu faca unghiuri mai mici de 30^g sau mai mari de 170^g.

            Pentru un planimetru necunoscut se determina în prealabil constanta planimetrului.

            Pe acelasi plan se deseneaza o suprafata a carei arie se cunoaste. Exemplu: un cerc, daca conturul este sinuos, un patrat daca conturul este cu colturi (fig. nr.3.79.)

Fig. 3.79 Determinarea constantei planimetrului

            Pentru aceasta se aduce înregistratorul la zero (numarul de ture = 0; înregistrator = 0 în dreptul vernierului). Se aseaza stilul în punctul de început I, fie al cercului, fie al patratului, se parcurge conturul în sensul acelor de ceasornic oprindu-se în acelasi punct I. Se va efectua citirea .

 sau .                     646g67g                      646g67g      (3.189)

Daca lui  îi corespunde , atunci la 1 cm² îi va corespunde un numar  de diviziuni care reprezinta constanta planimetrului.

                     646g67g               

                     646g67g                .                     646g67g                      646g67g      (3.190)

Aceasta constanta va trebui înmultita la rândul ei cu coeficientul de scara :

.                     646g67g                      646g67g          (3.191)

            Evident ca se fac multe planimetrari, totul depinzând si de eficienta aparatului.

            Pentru suprafata interesata se procedeaza în mod asemanator, si anume: se alege un punct de plecare care se marcheaza pe planul topografic. Se aduce numarul de ture - înregistratorul - în dreptul zeroului vernierului. Se parcurge conturul în sensul acelor de ceasornic (sensul direct) citind . Se repeta înca odata aceasta operatie lecturând .

            Se calculeaza suprafata cu prima citire si apoi cu cea de-a doua:

                     646g67g   (3.192)

            Daca diferenta între cele doua determinari este mai mica de  atunci cea mai probabila valoare a suprafetei interesate va fi media aritmetica a celor doua determinari:

.                     646g67g                (3.193)

            Precizia depinde de numarul de determinari, uzura planimetrului, calitatea suportului de desen, stabilitatea operatorului etc.

            Este cunoscut ca în cadrul cadastrului general, în special în cel funciar, suprafetele parcelelor, tarlalelor, trupurilor s.a.m.d. se calculeaza, se controleaza si se compenseaza în trapez în cadrul proiectiei GAUSS sau STEREOGRAFICE 70. Suprafetele acestor trapeze sunt calculate si reduse conform celor cunoscute din cartografia matematica.

            În tabelul ... sunt cuprinse suprafetele pentru o parte din sirul de trapeze la scarile 1:5000 si 1:10.000, dispuse lânga meridianul axial al fuselor corespunzatoare sistemului de reprezentare Gauss.

Tabel nr. .3.1

Nomenclatura trapezului la scara 1:10.000	Latitudinea			Suprafata trapezului în ha la scara 1:10.000
	0	5	45	1:5000	1:10.000
L - 34 - 94	45	26	15	566,2750	2264,69
L - 34 - 95	45	27	30	566,0700
L - 34 - 96	45	28	45	565,8650	2263,04

            În acest sistem de reprezentare lungimile masurate sunt deformate în reprezentarea pe plan si deci suprafetele limitate de aceste lungimi sufera deformatii. Calculul deformatiilor se face cu formulele:

;          ,                     646g67g     (3.194)

în care:

            -  - modulul de deformare a distantelor;

            -  - modulul de deformare a suprafetelor;

            -  - distanta masurata de la abscisa fata de meridianul axial;

            -  - raza medie de curbura a elipsoidului într-un punct dat;

            Suprafetele trapezelor de aceeasi latitudine sunt egale.

3.8.2.1.2. Calculul suprafetelor cu ajutorul paletei

            Acesta este un procedeu expeditiv si consta în folosirea unei retele divizate milimetric desenate pe o foaie de plastic, calc milimetric. Fiecarei diviziuni îi corespunde la scara o anumita suprafata. O astfel de corespondenta este redata în tabelul 3.2

Tabelul 3.2

Suprafete echivalente

Scara planului	Suprafata pe plan
	1 mm2	1 cm2	1 dm2
	Suprafata corespunzatoare în teren
1:500	0,25 m2	25 m2	2500 m2 = 25 ari
1:1000	1 m2	100 m2 = 1 ar	10.000 m2 = 1 ha
1:2000	4 m2	400 m2 = 4 ari	40.000 m2 = 4 ha
1:5000	25 m2	25 ari	25 ha
1:10.000	100 m2 = 1 ar	1 ha	100 ha

            Pe suprafata a carei arie intereseaza se suprapune paleta sau coala de calc milimetrica. Se numara dm² întregi care se înmultesc cu suprafata reala a planului, apoi se numara cm² care se înmultesc cu suprafata reala corespunzatoare si, în sfârsit, se numara mm² care se înmultesc cu suprafata corespunzatoare la scara.

3.8.2.1.3. Un procedeu asemanator, dar mai expeditiv si mai inexact, este asa numita metoda a patratelor module.

Fig. nr. 3.80. Metoda patratelor module

            Pe suprafata interesata se traseaza o retea de patrate egale. Se numara patratele întregi N si patratele incomplete N_i. Se masoara laturile unui patrat si se calculeaza suprafata acestuia, , denumit patrat modul.

.                     646g67g                      646g67g     (3.195)

Suprafata determinata va fi de:

.                     646g67g                      646g67g       (3.196)

            Daca suprafata  este suprafata grafica atunci transformarea acestuia în suprafata reala se face prin înmultirea sa cu coeficientul de scara:

.                     646g67g                      646g67g          (3.197)

            Calculul se simplifica daca de la început a fost calculata suprafata reala a patratului modul. Suprafata reala interesata va fi:

.                     646g67g             (3.198)

            Precizia metodei este invers proportionala cu marimea laturilor retelei patratice.

3.8.2.1.4. Tolerante admise la calculul suprafetelor

            Este unanim acceptat ca planimetrarile cu planimetre polare nu ofera o precizie foarte buna dar sunt satisfacatoare pentru lucrarile de cadastru general si agricol.

            În amanunt, în afara tolerantelor mai înainte amintite, sunt admise tolerante în functie de suprafata grafica a lucrarii.

            În cazul în care între doua planimetrari succesive diferenta depaseste toleranta planimetrarea se repeta. Dupa îndeplinirea conditiei de toleranta cea mai importanta valoare a suprafetei planimetrate va fi data de media celor doua planimetrari tolerabile.

            În cazul determinarii suprafetei prin metode geometrice se fac tot doua determinari, dar cu elemente diferite.

Fig. nr.3.81. Tolerante admise între doua observatii succesive de planimetrie

            Eroarea admisa în acest caz este data în fig. nr. 3.82.

Fig. nr. 3.82 Tolerante admise între doua determinari ale suprafetei contur, calculata prin procedee geometrice

Tolerantele reprezentate în grafice s-au calculat cu relatia:

,                     646g67g                   (3.199)

în care: -  - reprezinta numitorul scarii planului;

            -  - este suprafata exprimata în m²;

În cazul perimetrelor construibile al localitatilor la care planurile cadastrale s-au întocmit la scara 1:2000 sau mai mari.

Fig. nr. 3.83 Graficul variatiei tolerantelor caracteristice suprafetelor în perimetrele construibile în localitati

            Tolerantele pot fi calculate exact cu o formula de forma:

,                     646g67g                      646g67g (3.200)

în care parametrii au semnificatiile de mai sus.

3.8.2.1.5. Succesiunea operatiilor de calcul al suprafetelor în lucrarile

de cadastru funciar general

            Calculul suprafetelor, pentru introducerea cadastrului funciar general, se face pe teritorii administrative comunale sau orasenesti întregi si are ca operatii prealabile completarea planurilor cadastrale cu toate schimbarile intervenite precum si numerotarea cadastrala a tarlalelor si parcelelor.

            Urmarirea cu usurinta a trapezelor sau sectiunilor de plan, care formeaza teritoriul administrativ comunal, necesita întocmirea unei scheme de dispunere a trapezelor (fig. nr. ...) însotita de o recapitulatie a suprafetelor fiecarui trapez sau sectiune din plan.

Fig.3.84 Schema trapezelor si ordinea în care se executa calculul suprafetelor

           

Trapezele la scara 1:5000 luate în calcul au suprafetele:

            1. - 565,8650                     646g67g      6. - 566,0700

            2. - 565,8650                     646g67g      7. - 566,2750

            3. - 565,8650                     646g67g      8. - 566,2750

            4. - 566,0700                     646g67g      9. - 566,2750

            5. - 566,0700

            Calculul suprafetelor pe trapeze la un teritoriu trebuie facut în ordinea succesiva care începe cu numarul 1 din capatul nord-vest, urmând urmatoarea succesiune:

a)      calculul suprafetelor masive

b)      calculul suprafetelor pe tarlale, respectiv cvartale în localitati;

c)      calculul suprafetelor pe parcele.

            a) Calculul suprafetelor pe masive se face pe foaia de trapez sau sectiune de plan prin calculul suprafetelor, indiferent daca acestea ocupa sau nu întreaga foaie sau sectiune, pentru a face ulterior compensarea. În prealabil se determina de un numar de ori constanta planimetrului sau, mai precis, corespondentul în suprafata a unei diviziuni pe înregistratorul planimetrului.

Fig.3.85. Foaia de plan (trapez) 2 localitatea ... descompusa în masive pentru calcul

În fig. nr.3.85. este reprezentat trapezul L - 34 - a6 - A - a - 2 - I la scara 1:5000 care cuprinde parti si perimetre ale localitatii ... principal si localitatii ... secundar. Numarul foii de plan (trapez) 2, cu suprafata foii de plan 565 ha, 8650 m². Golul si plinul se descompune la rândul lor în masive pe detaliile existente pe plan, care au un caracter permanent, cum sunt: ape curgatoare, diguri, canale, cai ferate, drumuri, strazi, ulite sau chiar limite de categorii de folosinta.

            În formulare speciale sunt trecute suprafetele planimetrate, din cel putin 3 determinari, pe masive indiferent daca acestea nu intereseaza, gol, sau daca intereseaza, plin. Suma masivelor pline formeaza împreuna partea teritoriului satesc din localitatea ... iar suma masivelor goale formeaza parte a teritoriului satesc a localitatii ... care împreuna formeaza suprafata foii de plan (trapezul mentionat mai sus).

            Astfel au fost determinate din 3 planimetrari.

                     646g67g     Suprafete GOL

                     646g67g     III        92,2500 ha

                     646g67g     IV        65,0000 ha

                     646g67g     V         51,5500 ha

                     646g67g     VI        39,5000 ha

                     646g67g     VII       87,000 ha

            S_{gol determinat} = 335,3000 ha

            Suprafete - PLIN

                     646g67g     III        107,2500 ha

                     646g67g     IV          60,8500 ha

                     646g67g     V           62,000 ha

            S_{plin determinat} = 231,1000 ha

            Suprafata determinata pe întreaga foaie de plan este de:

 ha               (3.201)

            Diferenta de suprafata este:

 m².                   (3.202)

            Toleranta este data de:

                     646g67g      m².

            Se observa ca suprafata determinata este tolerabila  ceea ce da dreptul la compensarea suprafetelor determinate:

.

           

                     646g67g      ha

           

           

           

Verificarea este:

                     646g67g               

3.8.2.2. Calculul suprafetelor pe tarlale, se face dupa cunoasterea suprafetei trupului de care apartin (în localitati - cvartalele apartin trupului respectiv). Astfel, se limiteaza tarlalele având ca limite drumuri, cai ferate, ape, strazi, ulite etc. care se includ în calculul suprafetelor. Se numeroteaza cu cifre arabe tarlalele (cvartalele) si se specifica pe plan carei tarlale îi apartine suprafata din hotar.

Fig. nr. 3.86 Împartirea trupurilor în tarlale pentru calculul suprafetelor

            Suprafetele tarlalelor, fie se planimetreaza de cel putin doua ori, fie se determina geometric prin cel putin doua determinari cu elemente diferite. În suprafete se includ si caile de comunicatii (sageata indica carei tarlale i se atribuie suprafata caii de comunicatie).

            De asemenea, suprafetele determinate se compenseaza pe suprafata compensata a trupurilor, în foaia de plan. În formularele de calcul sunt incluse calculele si compensarile.

3.8.2.3. Calculul suprafetelor pe parcele

            Parcelele sunt delimitate prin hotare naturale si sunt diferentiate prin culturile specifice parcelei respective. Numerotarea se face în fiecare trapez sau foaie de plan si începe prin înscrierea numarului tarlalei si a suprafetei compensate, dupa care se scrie tipul de cultura si numarul de ordine, cronologic. În formulare, datele se înscriu diferentiat, cronologic, pentru parcele care însumate si compensate formeaza tarlaua. Însumarea tarlalelor si compensarea lor formeaza suprafata trupului. Metodele de calcul sunt aceleasi cu cele utilizate în cazul tarlalelor.

Fig. nr.3.87 Schita unei tarlale cu parcele supuse calculului

            De asemenea, atât la tarlale cât si la parcele suma suprafetelor se controleaza cu formule de toleranta, pe categorii de metode de calcul a suprafetelor.

3.8.3. Calculul suprafetelor pe planuri cadastrale

            Planurile cadastrale sunt întocmite special pentru lucrarile de fond funciar, respectiv pentru cadastru funciar. Ele au fixat un caroiaj nominalizat si în raport cu acestea sunt raportate punctele topografice ce delimiteaza trupurile, tarlalele, parcelele si altele. Suprafetele ce vor rezulta din calcul analitic urmeaza apoi a fi puse de acord cu suprafetele din interiorul caroiajelor. Ordinea de calcul este aceeasi, indicata în folosirea planurilor si hartilor topografice în scopuri cadastrale. Tot în planurile cadastrale pot fi executate lucrari cadastrale care au la baza lucrari topografice de ridicare specifice lucrarilor cadastrale (metoda absciselor si ordonatelor, metoda polara etc.), urmând ca si acestea sa fie integrate si compensate în suprafete cadastrale, foi de plan, caroiaje etc., dupa aceleasi reguli descrise în paragrafele anterioare.