Materiale magnetice

2.1. Definitii si clasificari

 

          Materialele magnetice se caracterizeaza prin stari de magnetizatie. Starea de magnetizatie este de natura atomica si este generata de miscarea electronilor pe orbita si în jurul axei proprii, precum si de miscarea nucleului în jurul axei proprii, rezultând momentele magnetice orbitale si de spin, a caror suma reprezinta momentul magnetic elementar. Notam cu suma geometrica a momentelor elementare din unitatea de volum V. Magnetizatia , este definita prin relatia:

          ,                                                                                          (2.1)

si este o marime microscopica, locala sau punctuala, care împreuna cu intensitatea câmpului magnetic din punctul considerat, caracterizeaza starea materialului magnetic în punctul respectiv. Momentul magnetic m, este o marime macroscopica sau globala, definita prin relatia:

          ,                                                                                (2.2)

unde: v_m este volumul materialului magnetic.

          Starea de magnetizatie care exista în absenta câmpului magnetic exterior H, se numeste spontana sau permanenta , iar cea care rezulta ca efect al câmpului magnetic exterior, se numeste temporara si are expresia:

          ,                                                                                (2.3)

unde:  este o marime complexa caracteristica materialului si reprezinta susceptivitatea magnetica. Pentru dielectricii izotropi liniari, este constanta, iar pentru cei neliniari, este dependenta de câmpul magnetic H. Susceptivitatea magnetica a materialelor magnetice anizotrope, este un tensor, fiecare componenta a magnetizatiei temporare depinzând de toate componentele câmpului magnetic aplicat.

          Interactiunea dintre câmpul magnetic exterior si material este stabilita prin legea de material:

         

              ,                                                                               (2.4)

unde: , este permitivitatea vidului, este inductia magnetica, iar  reprezinta permeabilitatea relativa a materialului si este o marime complexa, ca si susceptivitatea magnetica , pentru materialele izotrope, fiind definita prin relatia:

          .                                                                                (2.5)

          Permitivitatea absoluta  are expresia:

          .                                                                                  (2.6)

          Unitatile de masura pentru câmpul magnetic, magnetizatie si inductie magnetica în sistemul international SI sunt: [A/m], respective [T].

2.2. Tipuri de magnetizari

În functie de semnul susceptivitatii magnetice, materialele magnetice cu magnetizatie temporara si fara magnetizatie spontana se clasifica în:

a) Materiale diamagnetice, cum sunt Au, Ag, Cu. Susceptivitatea magnetica a acestor materiale este negativa, de valori foarte mici (fig. 2.1a) si independenta de temperatura si presiune. Introduse în câmp magnetic, aceste materiale au tendinta de deplasare spre regiunile în care intensitatea câmpului este mai redusa, pentru ca  [Sor]. Câmpul magnetic exterior modifica miscarea electronilor, suprapunând peste miscarea orbitala o miscare de precesie, generând un moment magnetic indus, care se opune câmpului magnetic inductor, micsorându-l.

b) Materiale paramagnetice, cum sunt Al sau Cr, au susceptivitatea magnetica pozitiva, dependenta de câmpul magnetic (fig. 2.1b) si de valori relative reduse, motiv pentru care aceste materiale se numesc si nemagnetice. Dependenta susceptivitatii de temperatura este pronuntata (fig. 2.1c), respectând, pentru un camp magnetic aplicat constant, relatia:

,                                                                            (2.7)

unde: C este constanta Curie caracteristica materialului.

                            (a)                (b)                                (c)

fig.2.1  Dependenta susceptivitatii diamagnetice de intensitatea câmpului magnetic (a),

dependenta susceptivitatii paramagnetice de intensitatea câmpului magnetic (b)  

si de temperatura (c).[Cat]

În câmp magnetic exterior, momentele magnetice elementare se orienteaza în directia câmpului, iar la intensitati ridicate ale câmpului magnetic, apare un proces de saturatie, când toate momentele s-au orientat în directia câmpului. Introduse în câmp, aceste materiale sunt atrase spre regiunile cu câmp mai intens pentru ca  [sor].

Materialele magnetice, care poseda magnetizatie spontana sunt:

a) Materialele feromagnetice, a caror moment magnetic elementar spontan este rezultat din necompensarea momentelor magnetice de spin. Pentru minimizarea energiei interactiunilor de schimb dintre atomii învecinati, momentele magnetice de spin se orienteaza paralel, formând domenii de magnetizare, în care magnetizatia este uniforma si egala cu magnetizatia de saturatie. Susceptivitatea si permeabilitatea magnetica au valori mari, care depind de câmpul magnetic aplicat, de temperatura si de solicitarile mecanice.

b) Materialele antiferomagnetice si ferimagnetice se caracterizeaza prin existenta a doua subretele magnetice, cu particule care au momente magnetice elementare spontane orientate antiparalel, egale pentru materialele antiferomagnetice si inegale pentru cele ferimagnetice. Ferimagnetismul este antiferomagnetism necompensat.

2.3. Functiile materialelor magnetice [Cat]

Materialele magnetice utilizate cu precadere pentru realizarea functiilor prezentate în continuare, sunt feromagnetice sau ferimagnetice.

a) Functia de miez magnetic

O bobina cu miez magnetic, are inductivitatea L de  ori mai mare decât aceeasi bobina fara miez: . Pentru evitarea distorsiunilor de neliniaritate datorate neliniaritatii dependentei magnetizatiei de câmpul magnetic aplicat din exterior prin aparitia procesului de saturatie, se impune ca magnetizatia de saturatie a materialului sa fie ridicata. De asemenea se impune ca intensitatea câmpului coercitiv, care este prin definitie, câmpul magnetic pentru care magnetizatia se anuleaza, sa fie scazuta, pentru ca ciclul histerezis, asemanator cu cel al materialelor feroelectrice, sa fie cât mai îngust.

b) Functia de generare a câmpului magnetostatic

Pentru ca intensitatea câmpului magnetic generat de un magnet permanent, sa fie cât mai ridicata, se impune ca intensitatea câmpului coercitiv sa fie ridicata, pentru a împiedica procesul de demagnetizare si de asemenea, magnetizatia remanenta, definita ca fiind magnetizatia în absenta câmpului exterior, sa fie cât mai ridicata.

c) Functia de înregistrare magnetica a informatiei

Se impune ca magnetizatia remanenta a materialului sa depinda univoc de câmpul magnetic excitator, iar intensitatea câmpului coercitiv sa fie ridicata pentru a micsora posibilitatea stergerii 10510y2416k informatiei sub influenta unor câmpuri magnetice perturbatoare.

d) Functii neliniare si parametice

Aceste functii se bazeaza pe caracterul neliniar al curbei de magnetizare a materialelor magnetice.

e) Functia de ecranare

Adâncimea de patrundere , a câmpului electromagnetic, care variaza sinusoidal în timp cu frecventa f, într-un material magnetic cu permeabilitatea si conductivitatea , este:

                                                                   (2.8)

Pentru a reduce adâncimea de patrundere la frecvente joase se impun valori ridicate ale permeabilitatii relative.

a) Functia de traductor piezomagnetic

Efectul piezomagnetic consta în modificarea starii de magnetizatie, ca urmare a modificarii dimensiunilor materialului magnetic, supus solicitarilor mecanice. Efectul invers sau magnetostrictiv, este utilizat pentru realizarea traductoarelor, care convertesc variatiile de câmp magnetic, în variatii dimensionale sau vibratii.

b) Functia de traductor de temperatura

Proprietatile fero- si ferimagnetice dispar la temperaturi superioare temperaturii Curie , peste care materialele devin paramagnetice, sau nemagnetice. Proprietatea este utilizata pentru realizarea de elemente termoregulatoare.

2.4. Feromagnetismul

2.4.1. Modelul teoretic al feromagnetismul

Momentul magnetic elementar al unui atom este suma dintre momentele magnetice orbitale si de spin ale electronilor si momentul magnetic de spin al nucleului. Momentele magnetice orbitale în general se compenseaza reciproc, iar momentul magnetic de spin al nucleului, este foarte redus. Rezulta, ca momentul magnetic elementar spontan, este determinat în principal, de momentele magnetice de spin ale electronilor. Electronii din stratul de valenta-cvsiliberi, nu contribuie la aparitia momentului magnetic spontan. Elementele, care au substraturi electronice complet ocupate, nu au moment magnetic spontan, pentru ca electronii - în numar par pe fiecare substrat - au stari cuantice diferite si spini orientati antiparalel, momentele magnetice de spin compensându-se reciproc. Spinii electronilor se orienteaza conform regulii lui Hund, astfel încât energia starii sa fie minima. Numai elementele, care au substraturi electronice incomplet ocupate de electroni, prezinta moment magnetic spontan. Astfel de elemente sunt: Fe, Ni, Co, elemente din seria lantanidelor, sau a pamânturilor rare si actinidelor.

2.4.2. Formarea domeniilor de magnetizare. Energii implicate

Prima teorie cantitativa a domeniilor feromagnetice a fost elaborata de L.D.Landau si E.M.Lifschitz, care au stabilit importanta energiilor de demagnetizare pentru existenta structurii de domenii.[Lan]. Din motive termodinamice, starea cu energie minima a unei placi de grosime finita, corespunde unei structuri stratificate de domenii. Datorita interactiunilor puternice între momentele magnetice elementare, apare tendinta de orientare paralela a momentelor magnetice; în interiorul unui domeniu, magnetizatia este uniforma si egala cu magnetizatia de saturatie: . Domeniile sunt separate prin pereti de domenii. Analiza proceselor de demagnetizare se poate efectua la nivel macroscopic, cu ajutorul marimilor macroscopice: câmp si moment magnetic, la nivel de domenii, sau macroscopic detaliat, cu ajutorul marimilor: câmp magnetic si magnetizatie, peretii de domenii fiind considerati simple suprafete de separatie, la nivel microscopic, unde intervin si energiile specifice peretilor de domenii, la nivel nanoscopic si la nivel molecular.

În abordarea proceselor de magnetizare la nivel de domenii, pentru a elimina contributia energiei de demagnetizare a peretului, s-a impus criteriul de divergenta nula, asupra magnetizatiei din interiorul peretelui: , în sensul ca nu exista sarcini magnetice fictive sau câmpuri de demagnetizare, asociate peretelui. Criteriul de divergenta nula este mentinut în interiorul materialului, exceptie facând suprafetele de separatie ale materialului, unde:

,                                                                (2.9)

unde:  reprezinta densitatea superficiala a sarcinilor magnetice fictive. Prezenta sarcinilor magnetice fictive, este echivalenta cu prezenta câmpului de demagnetizare  (fig. 2.2a).

Expresia energiei de demagnetizare este:

                                                                  (2.10)

si are valoarea pozitiva pentru ca sensul câmpului demagnetizant  este opus magnetizatiei  din interiorul materialului sau din interiorul unui domeniu de magnetizare. Pentru anularea energiilor de demagnetizare produse de sarcinile magnetice superficiale fictive, domeniile de închidere au forma de prisma dreptunghiulara în structura Landau - Lifschitz, cu flux închis (fig. 2.2b). Pe masura ce grosimea g a placii se micsoreaza, structura cu flux închis devine fina (fig. 2.2c), latimea d a domeniilor se micsoreaza si structura se transforma treptat în structura Kittel cu flux deschis (fig. 2.2e).

fig.2.2 Structuri de domenii cu flux deschis (a) si cu flux închis (b,c), care se transforma

în structuri cu flux deschis (d,e) pe masura ce grosimea placii g se micsoreaza.

Câmpul magnetic aplicat  determina extinderea domeniilor cu magnetizatie

omoparalela (f).

Energia structurii si latimea domeniilor, sunt marimi care variaza proportional cu [Lan]. Câmpul magnetic aplicat normal pe suprafetele de separatie, determina extinderea domeniilor cu magnetizatia orientata în sensul câmpului si restrângerea domeniilor cu magnetizatie orientata în sens opus (fig. 2.2f).

Energia de interactiune cu câmpul magnetic exterior are expresia:

,                                                                  (2.11)

fiind pozitiva sau negativa în functie de orientarile celor doi vectori. Energia totala , a structurii este minima atunci când  are valoare negativa, sau când vectorii  si  au acelasi sens. Domeniile cu magnetizatia orientata în sensul câmpului aplicat se extind în detrimentul domeniilor cu magnetizatia orientata în sens opus.

Pentru o structura Kittel în absenta câmpului magnetic exterior energia structurii este minima pentru latimi egale ale domeniilor magnetice adiacente [Dan], rezultând ca pentru structura monodomeniu, cu magnetizatie uniforma în întreg volumul placii, energia este maxima.

Într-o abordare la nivel microscopic este necesar sa se tina cont si de contributiile energiilor specifice peretelui de domenii, cât si de energia de anizotropie, a carei expresie este de forma:

                                     (2.12)

unde:  sunt constante de anizotropie caracteristice materialului, care prezinta o axa de usoara magnetizare (normala de suprafetele de separatie în cazul reprezentarilor din fig.2.2), iar sunt cosinusii directori. Energia de anizotropie, este energia necesara orientarii momentelor magnetice spontane - dispuse paralel cu axa de usoara magnetizare - în directia definita prin

Energia de schimb a peretelui, rezultata din interactiunile de schimb, are expresia:

                                      (2.13)

unde: A este o constanta de interactiune, este latimea peretelui - sub 1% din latimea domeniului d, este lungimea peretelui, iar  sunt diferentele dintre cosinusii directori ai magnetizatiei  în doua domenii adiacente.

Energia de anizotropie a peretelui, are expresia:

,                                                                     (2.14)

unde: este o constanta de anizotropie, este volumul peretelui, iar  este unghiul format între magnetizatie si o axa de magnetizatie grea (perpendiculara pe axa de magnetizare usoara si paralela cu suprafetele de separatie, în cazul reprezentarilor din fig.2.2).

Trecerea de la un domeniu de magnetizare la un alt domeniu, în care magnetizatia are o orientare diferita, se efectueaza prin rotatii succesive ale momentelor magnetice elementare, pentru ca energia de schimb în perete nu se modifica brusc. Daca rotatiile vectorului magnetizatie se efectueaza în plane paralele cu suprafetele de separatie ale peretelui, peretii sunt de tip Bloch, iar daca rotatiile au loc în planuri perpendiculare pe suprafetele peretelui, peretii sunt de tip Neel. În fig.2.3 se reprezinta procesul de rotatie al magnetizatiei într-o structura de tip Kittel.

Din expresia 2.10 rezulta ca un domeniu magnetic extins are o energie de demagnetizare ridicata, ceea ce conduce la formarea unor domenii mai restrânse, care presupun o energie de demagnetizare mai redusa [Dan].

              (a)                                              (b)

fig.2.3 Deplasarea peretelui Bloch sub influenta câmpului magnetic exterior (a), prin

modificarea orientarii magnetizatiei în planuri paralele cu suprafetele peretelui (b).

Cu linie îngrosata s-au reprezentat vectorii magnetizatie pentru , care se

rotesc treptat în directia câmpului exterior.

Pe de alta parte, pentru a forma un nou perete despartitor, este necesar un aport suplimentar de energie, care este rezultatul interactiunilor de schimb, energia necesara având expresia (2.13).

Procesul de formare a unor noi domenii de magnetizare înceteaza si structura de domenii devine stabila, atunci când reducerea energiei de demagnetizare-prin formarea de noi domenii, este compensata de cresterea enegiei necesare pentru a forma noi pereti despartitori.

Energia peretelui este o combinatie dintre energia de schimb, care creste pronuntat conform relatiei (2.13), cu micsorarea latimii peretelui si energia de anizotropie, care creste odata cu marirea volumului peretelui.

Energia de schimb favorizeaza spinii paraleli, iar fortele de interactiune de schimb vor tinde sa mareasca latimea a peretelui. Din expresia energiei de anizotropie (2.14), rezulta ca o latime mare a peretelui presupune si o energie de anizotropie de valoare ridicata. Latimea stabila a peretelui este determinata de echilibrul fortelor de schimb si de anizotropie.

În câmp magnetic aplicat din exterior, vectorul magnetizatie se roteste determinând modificarea configuratiei de domenii,astfel încât criteriul de divergenta nula a magnetizatiei, sa fie mentinut intern, iar energia totala a sistemului - în care intervine si energia de interactiune cu câmpul magnetic exterior, sa fie minima.[Dan].

2.4.3. Anizotropia magnetica

Proprietatile magnetice ale unor materiale depind de anumite directii preferentiale sau axe de usoara magnetizare (mu), de-a lungul carora se orienteaza vectorul magnetizatie. În mod asemanator se definesc axele de magnetizare grea (mg), sau medie (mm).

a) Anizotropia magnetocristalina

 

fig.2.4 Directiile de magnetizare usoara (mu), grea (mg) si medie (mm)

pentru fier -(a), nichel - (b) si cobalt - (c).[Cat].

Momentele magnetice de spin si orbitale se orienteaza dupa directii preferentiale, determinate de structura cristalina, orientari pentru care - la echilibru termodinamic - energia interna a cristalului este minima.

În fig.2.4 sunt reprezentate celulele elementare pentru Fe, Ni, Co, care cristalizeaza în sistem cubic cu volum centrat, cu fete centrate, respectiv în sistem hexagonal compact (vezi anexa 1.1).

Materialele ferimagnetice cu structura spinelica cum este ferita cubica prezinta o directie de usoara magnetizare care, ca si la Ni, coincide cu diagonala principala a cubului.

b) Anizotropia indusa

Anizotropia indusa se obtine fie prin laminare la rece, fie prin tratament termic în câmp magnetic. Prin laminare la rece, muchiile cuburilor elementare, care coincid cu axa de usoara magnetizare, sunt orientate paralel cu directia laminarii, obtinându-se o structura Goss. Procedeul se utilizeaza la fabricarea tolelor de transformator.

Prin încalzire în câmp magnetic exterior la o temperatura superioara temperaturii Curie , momentele magnetice elementare se orienteaza dupa directia liniilor de câmp. Prin racire brusca, momentele magnetice îsi pastreaza starea imprimata de câmpul magnetic, rezultând anizotropie magnetica indusa. Procedeul se utilizeaza la fabricarea magnetilor permanenti.

          2.4.4. Magnetizarea materialelor feromagnetice. Curba  de magnetizare

Magnetizarea materialelor feromagnetice sub influenta câmpului magnetic exterior are loc prin rotirea magnetizatiei din interiorul unui domeniu si prin deplasarea peretilor de domenii. Domeniile cu magnetizatia orientata în directia câmpului magnetic aplicat se extind în detrimentul celorlalte domenii, care se restrâng. Pentru intensitati reduse ale câmpului magnetic, deplasarile peretilor de domenii sunt reduse, iar procesul de magnetizare este reversibil; astfel, la anularea câmpului, configuratia de domenii revine la forma initiala.

La intensitati crescute ale câmpului magnetic, procesul de magnetizare se efectueaza prin salturi de energie (Barkhausen), iar procesul este ireversibil. Defectele de structura ale retelei cristaline fixeaza peretii de domenii, iar energia necesara deplasarii peretilor variaza continuu în timpul deplasarii, prezentând fluctuatii.

La anularea câmpului magnetic exterior, structura de domenii nu revine la configuratia initiala si poseda magnetizatie remanenta.

Procesul de magnetizare este ilustrat prin curba de magnetizare, reprezentata în fig.2.5. Din relatia (2.4), rezulta ca din dependenta magnetizatie - câmp se poate obtine dependenta inductie - câmp, daca se adauga primul termen al relatiei (2.4), care reprezinta o linie dreapta ce trece prin originea axelor de coordonate. Astfel, curba de prima magnetizare cât si ciclurile de histerezis - limita sau minore - care sunt cuprinse în interiorul ciclului limita, sunt rotite în sens invers orar, alura lor fiind mai alungita. Segmentele CD, corespunzatoare starii de saturatie a materialului, nu mai sunt paralele cu axa absciselor, ci înclinate, având panta-egala cu panta dreptei asociata primului termen al relatiei (2.4).

Starea materialului la un moment dat este determinata prin magnetizatie si câmp magnetic, depinzând de evolutia anterioara a procesului de magnetizare. Numai punctele de stare (H,M) si (H,B) din interiorul ciclului limita pot caracteriza starea materialului.

Presupunem, ca în momentul initial, materialul este demagnetizat (M=0), în absenta câmpului magnetic exterior, iar structura de domenii este de tip Landau - Lifschitz. Pentru intensitati reduse ale câmpului magnetic aplicat materialului (segmentul OA al curbei de prima magnetizare), procesul de magnetizare este reversibil. Pentru intensitati marite (segmentul AB), procesul este ireversibil, iar în punctul B, structura se apropie de structura monodomeniu, având magnetizatia orientata dupa o axa de usoara magnetizare. Segmentul BC corespunde rotatiei magnetizatiei din directia de usoara magnetizare din directia câmpului magnetic . Starea materialului este saturata, în sensul ca toate momentele magnetice elementare sunt orientate omoparalel cu câmpul . Micsorând câmpul , punctul ce caracterizeaza starea materialului, se va deplasa pe segmentul CE, structura de domenii transformându-se treptat din structura monodomeniu corespunzatoare punctului C, într-o structura asimetrica cu flux închis. În punctul E, desi câmpul magnetic aplicat este nul, materialul prezinta magnetizatie ( si inductie ) remanenta , orientata în directia câmpului magnetic aplicat anterior. Câmpul magnetic crescator, având sensul opus, determina deplasarea punctului ce caracterizeaza starea materialului pe segmentul EF, sau pe curba de demagnetizare, materialul magnetizat comportându-se ca un magnet permanent. Magnetizatia materialului scade cu cresterea câmpului, iar în punctul F se anuleaza, obtinându-se starea demagnetizata a materialului, în prezenta câmpului coercitiv .

Daca suprapunem o componenta alternativa H peste componenta continua , (care poate fi si nula) se obtine un ciclu minor. Un punct P situat pe ciclul limita, se va deplasa initial pâna în punctul P' plasat pe ciclul limita, iar ulterior se va deplasa pe un ciclu minor a carui axa, ce trece prin punctele P', P'' este mai putin înclinata decât tangenta în punctul P. Cicluri minore, a caror axa trece prin punctele P*, P**, se obtin pentru materialul a carui stare initiala este demagnetizata (în absenta câmpului magnetic exterior), prin aplicarea unui câmp magnetic alternativ. Prin scaderea treptata a amplitudinii câmpului alternativ, se obtine-în final, starea demagnetizata corespunzatoare punctului O. Materialul se

fig.2.5 Curba de magnetizare în coordonate H-M (a).

poate readuce în stare demagnetizata prin aplicarea unei componente alternative H_~ suprapusa peste componenta continua a câmpului, care se micsoreaza treptat pâna la anulare, ulterior anulându-se treptat si componenta alternativa.

fig.2.5 Curba de magnetizare în coordonate H-B (b). Variatia permitivitatii

relative statice în functie de intensitatea câmpului magnetic aplicat (c).

Permeabilitatea relativa statica  si diferentiala  sunt definite pentru un punct situat pe curba de magnetizare, ale carui coordonate (H,B) sunt cunoscute:

,                                                                               (2.15)

.                                                         (2.16)

Întrucât pe portiunea OA, curba de prima magnetizare (fig.2.5a) este concava, iar pe portiunea AB, este convexa, permeabilitatea relativa diferentiala se modifica conform cu reprezentarea din fig. 2.5c, tinzând spre o valoare minima, pentru intensitati ridicate ale câmpului magnetic aplicat.

Permitivitatea relativa reversibila si initiala se definesc prin relatiile:

                                      (2.17)

                                                     (2.18)

Valoarea permitivitatii relative reversibile este inferioara valorii permitivitatii relative diferentiale, pentru ca axa ciclului minor, este mai putin înclinata fata de axa absciselor, în comparatie cu tangenta în punctul considerat pe curba de prima magnetizare, sau pe ciclul limita (fig. 2.5a).

Variatiile rapide ale câmpului magnetic exterior sunt urmarite ci întârziere de magnetizatie (si inductie), datorita " vâscozitatii magnetice ". Pentru un câmp magnetic, a carui intensitate se modifica în timp, conform relatiei:

,                                                                         (2.19)

magnetizatia materialului are expresia:

.                                                     (2.20)

Datorita postfectului, legea de material (2.4), nu mai este valabila cu exactitate, atunci când un material fero- sau ferimagnetic este introdus într-un câmp magnetic variabil. Câmpul magnetic nu mai este coliniar cu magnetizatia, sau inductia din interiorul materialului. Defazajul  între câmpul magnetic si magnetizatie se mareste cu cresterea frecventei.

În regim nestationar se defineste permeabilitatea relativa dinamica:

,                                                                                      (2.21)

care este proportionala cu panta medie a ciclului de histerezis descris în jurul punctului caracteristic starii materialului. Datorita postefectului, valoarea permitivitatii dinamice este inferioara valorii permitivitatii statice si scade cu cresterea frecventei. Pentru frecvente crescatoare, înclinatia axelor ciclurilor minore fata de axa absciselor, se micsoreaza si, de asemenea, valorile permitivitatilor se micsoreaza.

Pentru magneti permanenti se defineste permeabilitatea relativa permanenta corespunzatoare punctelor situate pe curba de demagnetizare:

  ,                                                         (2.22)

care este afectata în acelasi mod de cresterea frecventei câmpului magnetic exterior.

2.4.5. Influenta factorilor externi asupra proprietatilor feromagneticilor

a) Influenta temperaturii

Magnetizatia unui material magnetic scade cu cresterea temperaturii datorita agitatiei termice. La temperaturi superioare temperaturii Curie, energia termica a retelei depaseste energia  interactiunilor de schimb, domeniile cu magnetizare spontana dispar, iar materialul devine paramagnetic sau nemagnetic (fig. 2.6a). Temperaturile Curie sunt: 770°C pentru fier, 362°C pentru nichel, 1127°C pentru cobalt.[Cat].

                                                 (a)                     (b)

fig.2.6 Dependentele magnetizatiei în functie de temperatura (a) si permeabilitatii relative

initiale în functie de frecventa (b) pentru materiale feromagnetice.

b) Influenta frecventei

Datorita vâscozitatii magnetice sau postefectului, magnetizatia nu urmareste instantaneu variatiile rapide ale câmpului magnetic. Înclinatia ciclurilor de histerezis în raport cu axa absciselor scade cu cresterea frecventei, iar permeabilitatile relative scad de asemenea.

Pentru tole de transformator frecventa critica de la care apar modificari pronuntate ale permeabilitatii relative initiale (fig. 2.6b), are expresia aproximativa [Cat]:

                                                                              (2.23)

unde: D reprezinta grosimea tolei, iar σ este conductivitatea materialului tolei. Pentru frecvente superioare:  permeabiliatea relativa este în raport direct cu .

c) Influenta impuritatilor

Impuritatile, cum sunt carburi metalice sau materiale neferomagnetice, se asimileaza cu defecte ale retelei cristaline, care fixeaza peretii de domenii împiedicând deplasarea acestora, având efectul global de crestere a magnetizatiei (si inductiei) remanente si mai ales a câmpului coercitiv. Impuritatile sunt utilizate la fabricarea magnetilor permanenti. De asemenea, elemente din seria pamânturilor rare (lantanide) sunt utilizate în acest scop.

Elemente cum sunt Ni, Co, Cr sau Mb determina cresterea permitivitatii relative si a magnetizatiei de saturatie si scaderea câmpului coercitiv. Aceste elemente sunt utilizate la fabricarea materialelor magnetice liniare, pentru miezuri magnetice.

Materialul tolelor pentru transformator contine Si, care determina cresterea rezistivitatii materialului si în consecinta, micsorarea pierderilor de putere prin curenti turbionari.

2.5. Ferimagnetism [Cat]

2.5.1. Modelul teoretic al ferimagnetismului

Structura materialelor ferimagnetice se caracterizeaza prin existenta a doua (sau mai multe) subretele magnetice a caror particule au momente elementare spontane orientate antiparalel. Momentele magnetice de spin constituie componenta principala a momentului magnetic elementar. Contributiile celor doua subretele la magnetizatie sunt diferite. Momentele magnetice elementare ale celor doua retele nu se compenseaza reciproc, ceea ce conduce la aparitia unui moment magnetic spontan.

Între cele doua subretele interactiunea este puternica si de natura antiferomagnetica, iar în subretea, interactiunea este slaba si de natura feromagnetica. Anizotropia magneto-cristalina pronuntata a monocristalelor crescute epitaxial din solutiile lichide cu fondanti, cum sunt granatii magnetici uniaxiali, rezulta din distributia preferentiala a ionilor magnetici. Feritele cubice sunt reprezentative pentru clasa materialelor ferimagnetice, prezinta anizotropie si magnetostrictiune si au dependente pronuntate ale magnetizatiei de temperatura si de câmpul magnetic aplicat, asemanatoare cu cele ale materialelor feromagnetice. În fig.2.7 sunt prezentate dependentele de temperatura ale magnetizatiei pentru ferite si granati.

Spre deosebire de  materialele feromagnetice, temperaturile Curie ale feritelor sunt mult mai scazute, fiind cuprinse între 60^oC si 450^oC. Momentele magnetice ale celor 2 subretele se compenseaza în cazul granatilor, la temperatura T_K, iar peste temperatura Curie, granatii, ca si feritele, devin paramagnetici sau nemagnetici.

            fig.2.7 Dependentele magnetizatiei de temperatura pentru ferite (a) si pentru granati (b)

2.5.2. Materiale ferimagnetice

Feritele monocristaline au structura spinelica sau hexagonala: MeOAl₂O₃ precum si structura de tip granat: A₃B₅O₁₂. Cationul Me poate fi mangan, fier, cobalt, nichel sau zinc, în feritele cu structura spinelica, si bariu, strontiu sau plumb, în feritele cu structura hexagonala. Elementul A din structura de tip granat, apartine seriei pamânturilor rare, iar elementul B este fier, galiu sau aluminiu. Feritele sinterizate, sunt realizate din pulberi si un liant. Prin încalzire în casete, amestecul se solidifica obtinând forma casetei, Rezistivitatea feritelor este ridicata cu valori pâna la: , dar permitivitatile relative, magnetizatia si inductia de saturatie si remanenta au valori mai scazute decât la materialele feromagnetice.

Feritele sinterizate, sunt utilizate pentru realizarea miezurilor magnetice ale bobinelor si transformatoarelor, care functioneaza la frecvente superioare frecventei de 50Hz. Puterea transferata din înfasurarea primara în infasurarea secundara a unui transformator, depinde de sectiunea miezului magnetic, deci de dimensiunile miezului. Pentru un miez feromagnetic comun, puterea transferata pe unitatea de suprafata a miezului, la frecventa de 50Hz, este în raport direct cu patratul sectiunii miezului. Pentru un miez ferimagnetic care functioneaza la frecvente de ordinul zecilor sau sutelor de kHz, puterea transferata pe unitatea de suprafata este mult mai ridicata, pentru ca numarul de perioade dintr-o secunda este mult mai mare, iar puterea este transferata pe parcursul unei perioade. Pentru o putere data a transformatorului, dimensiunile transformatorului cu miez de ferita, scad considerabil în comparatie cu dimensiunile transformatorului cu miez feromagnetic.

Întrucât transformatorul functioneaza pe baza legii inductiei electromagnetice, transferul de energie din primar în secundar, se efectueaza prin intermediul fluxului magnetic: Φ = BS, unde  este sectiunea miezului sau mai exact, prin intermediul variatiei în timp a fluxului magnetic: dΦ/dt. Valoarea maxima a fluxului este limitata de procesul de saturatie al miezului, sau de valoarea maxima a inductiei în miez: B_max = B_sat. Dar nu valoarea fluxului magnetic este importanta în transferul de energie, ci viteza cu care se modifica fluxul magnetic în timp. Aplicând înfasurarii primare o tensiune cu forma de variatie sinusoidala în timp, transferul de energie se efectueaza pe parcursul unei perioade. Puterea transferata, este prin definitie, energia transferata într-o secunda. Astfel, numarul de transferuri de energie din primar în secundar, este proportional cu frecventa tensiunii aplicate înfasurarii primarului. Pentru frecvente ridicate, cresterea puterii transferate datorita cresterii frecventei, este mult mai pronuntata la miezurile din ferita sinterizata in comparatie cu miezurile feromagnetice din tole, decât scaderea puterii transferate datorita unor valori reduse ale permeabilitatii relative, ale inductiei magnetice si implicit ale fluxului magnetic.

Pe de alta parte, rezistivitatea feritelor sinterizate este foarte ridicata, iar pierderile prin curenti turbionari sunt reduse. Miezurile feromagnetice, desi sunt alcatuite din tole pentru micsorarea pierderilor prin curenti turbionari, la frecvente ridicate se încalzesc excesiv datorita acestor curenti.

2.6. Piezomagnetism [Cat]

Piezomagnetismul este proprietatea materialelor magnetice de modificare a starii de magnetizare sub influenta tensiunilor mecanice (fig.2.8a).

Magnetostrictiunea sau efectul piezomagnetic invers, consta in deformarea retelei cristaline a materialului sub influenta câmpului magnetic exterior, care produce modificari ale starii de magnetizatie (fig.2.8b).

fig.2.8 Dependenta inductiei magnetice de câmpul magnetic aplicat si de solicitarea mecnica (a) si variatia alungirii relative piezomegnetice functie de magnetizatie la un monocristal de fier netensionat (b). [Cat]

Pentru a prezenta piezomagnetism, este necesar sa se aplice materialelor magnetice un câmp magnetic exterior, care determina aparitia starii de magnetizare temporara.

2.7. Pierderi în materiale fero- si ferimagnetice

2.7.1. Permeabilitatea relativa complexa si tangenta unghiului de pierderi

Presupunem ca expresia permeabilitatii relative complexe, definita prin relatia (2.5), este de forma:

                                                                              (2.24)

si caracterizeaza materialul magnetic din punct de vedere al capacitatii sale de a se magnetiza cât si din punct de vedere al pierderilor de putere activa. Vom arata în continuare ca expresia (2.24), este confirmata teoretic.

Consideram o bobina cu miez magnetic, reprezentata in fig.2.9a.

Impedanta bobinei are expresia:

,                                  (2.25)

unde: L₀ este inductivitatea bobinei fara miez.

Prin urmare, o bobina cu miez este echivalenta cu o bobina fara miez si fara pierderi de putere activa în miez, având inductivitatea de μ_r^' ori mai mare: L_m = μ_r^'L₀, conectata in serie cu o rezistenta de pierderi de valoare: r_m = ωμ_r^"L₀ Din schema echivalenta se observa ca μ_r^' caracterizeaza materialul din punct de vedere al capacitatii sale de a se magnetiza, iar μ_r^" - din punctul de vedere al pierderilor de putere activa din material care se transforma în caldura (fig.2.9b).

fig.2.9 Schema echivalenta a unei bobine cu miez magnetic si diagrame fazoriale asociate.

Din diagrama vectoriala (fig.2.9c), asociata schemei echivalente, se obtine in doua etape, diagrama permeabilitatii relative complexe (fig.2.9e), care confirma valabilitatea expresiei (2.24).

Pe de alta parte, din diagrama vectoriala (fig.2.9c), se obtine diagrama puterilor (fig.2.9f), tangenta unghiului de pierderi fiind definita prin relatia:

.                                       (2.26)

Tangenta unghiului de pierderi - care e o marime reala - este utilizata ca marime ce caracterizeaza materialul magnetic din punct de vedere al pierderilor de putere activa si nu partea imaginara a permeabilitatii relative complexe.

Factorul de calitate, are expresia:

,                                                                          (2.27)

crescând cu frecventa, atunci când pierderile în miezul magnetic nu se maresc semnificativ.

Cu relatia (2.26), relatia (2.24) obtine forma:

                                                                        (2.28)

2.7.2. Pierderi prin curenti turbionari

Materialele feromagnetice au conductibilitate electrica σ ridicata. Introduse in câmp magnetic variabil, conform legii inductiei electromagnetice, în aceste materiale se induc tensiuni electromotoare care genereaza curenti turbionari. Pentru micsorarea pierderilor prin curenti turbionari, miezul feromagnetic este format din tole izolate electric între ele. Expresia tangentei unghiului de pierderi prin curenti turbonari a miezurilor feromagnetice alcatuite din tole, este [Cat]:

                                                              (2.29)

unde: d este grosimea tolei, iar f este frecventa câmpului magnetic aplicat. Din fig.2.10a si relatia (2.29), se observa ca partea imaginara a permeabilitatii relative, ca si tangenta unghiului de pierderi, au valori acceptabile pentru frecvente inferioare frecventei limita: f_lim = 50÷100Hz.

fig.2.10 Dependentele de frecventa ale permeabilitatii magnetice pentru materiale cu pierderi prin curenti turbionari (a) si prin magnetizare (c); variatia inductiei si permeabilitatii relative la aplicarea brusca a câmpului magnetic (b).

Micsorarea grosimii tolelor si a conductivitatii materialului feromagnetic (prin aliere cu siliciu) determina micsorarea acestor pierderi. Miezurile ferimagnetice au conductibilitati electrice si pierderi prin curenti turbionari extrem de scazute, iar relatia (2.29) nu mai este valabila pentru aceste miezuri, care pot transfera la frecvente ridicate, puteri mult mai mari decât miezurile feromagnetice.

          2.7.3. Pierderi prin histeresis

          Energia specifica, pe unitatea de volum, furnizata de câmpul magnetic exterior I pentru parcurgerea unui ciclu de histeresis, este proportionalaa cu suprafata ciclului:

          .                                                                  (2.30)

          Pierderile specifice pe unitatea de masa sunt:

          ,                                                                            (2.31)

unde:  este densitatea volumetrica.

          O relatie empirica a fost obtinuta de Steinmetz:

                                                                                            (2.32)

unde: η si n sunt constante de material, cu valori cuprinse între 1 si 2.

Determinarea analitica a pierderilor prin histeresis, este dificila datorita neliniaritatii curbei de histeresis. Astfel, pentru o variatie sinusoidala a câmpului magnetic, variatia inductiei nu este sinusoidala, iar permeabilitatea relativa complexa, este o functie de intensitatea si frecventa câmpului magnetic aplicat.

Pierderile prin histerersis se reduc prin utilizarea unor materiale fero- si ferimagnetice cu suprafata ciclului de histeresis redusa.

2.7.4. Pierderi prin magnetizare

La apilcarea brusca a unui câmp magnetic, a carui intensitate poate fi relativ scazuta, inductia magnetica obtine instantaneu valoarea B_i (fig. 2.10b), dupa care se modifica în timp dupa o lege exponentiala, cu constanta de timp τ_m. În mod asemanator se modifica si permeabilitatea relativa a materialului.

Experimental se constata ca procesul tranzitoriu este de natura unei "vâscozitati" termice, disparând la tempetura absoluta. Cu cresterea frecventei, inductia urmareste cu întârziere variatiile rapide ale campului magnetic, iar μ_r^' se micsoreaza, pentru ca
înclinatia ciclurilor de histeresis se micsoreaza.

De asemenea, în relatia (2.20), defazajul φ(ω) între câmpul magnetic sinusoidal si magnetizatia materialului, creste cu cresterea frecventei, rezultând un maxim al pierderilor prin magnetizare si al partii imaginare a permeabilitatii relative (fig.2.10c).

La frecvente mai ridicate, magnetizatia (si inductia) nu mai urmaresc variatiile câmpului si pierderile prin magnetizare scad.

2.7.5. Pierderi prin rezonanta magnetica

Prin aplicarea brusca a unui câmp magnetic continuu , datorita fortei Lorentz de interactiune între câmpul magnetic si miscarea orbitala a electronilor, apare o acceleratie centripeta suplimentara, care imprima electronilor o miscare de precesie in jurul directiei câmpului (2.1 la)

fig.2.11 Miscarea de precesie amortizata (a) si neamortizata (b) a momentului magntic  si dependentele de frecventa ale permeabilitatilor magnetice a materialelor cu pierderi prin rezonanta magnetica (d) si a feritelor (d) [Cat]

Miscarea de precesie Larmoor, cu pulsatia ω_L = γH₀, unde γ este coeficientul giromagnetic, este o miscare amortizata datorita interactiunilor cu reteaua cristalina.

Aplicând un câmp magnetic , cu orientare perpendiculara în raport cu directia campului H₀, miscarea de precesie nu mai este amorizata, rezultând rezonanta magnetica.

Dependentele componentelor permeabilitatii relative de frecventa a câmpului mag­netic H₁, reprezentate in fig. 2.11d, sunt asemanatoare celor din fig. 1.6. Pierderile maxime de putere având loc la frecvente Larmoor.

Pentru ferite se constata experimental ca exista doua maxime ale componentei μ_r^" : primul maxim apare la rezonanta deplasarii peretilor Bloch, iar al doilea la frecventa Larmoor (fig.2.11.c).

2.8. Tipuri de materiale magnetice [Cat]

Materialele magnetice cu câmp coercitiv redus se numesc moi si sunt utilizate la fabricarea miezurilor magnetice, iar cele dure, cu câmp coercitiv ridicat, sunt utilizate la fabricarea magnetilor permanenti si pentru înregistrarea magnetica a informatiei.

a) Materiale pentru miezuri magnetice

Aliajele feroase cu continut de siliciu sunt utilizate sub forma de tole, la realizarea miezurilor de transformator. Aliajele Fe-Ni, de tip permalloy avand μ_r^' > 100000 si B_sat = 1,5T, cu continut de nichel in proportie de 40÷50 %, sub forma de tole cu grosimi de ordinul zecilor de μm, sunt utilizate pentru realizarea transformatoarelor care functioneaza la frecvente ridicate (zeci de kHz).

Aliajele Fe-Co, de tip permendur, având B_sat = 2,5T, sunt folosite pentru fabricarea electromagnetilor, iar aliajele Fe-Co-Ni, de tip perminvar, a caror permeabilitate nu se modifica sernnificativ pâna la intensitati ridicate ale câmpului magnetic aplicat, se utilizeaza la realizarea miezurilor liniare pentru bobine, datorita dependentei liniare a inductiei (magnetizatiei) de câmp.

De asemenea, feritele sinterizate sunt des utilizate pentru realizarea miezurilor magnetice ale bobinelor si transformatoarelor care functioneaza la frecvente ridicate.

b) Materiale pentru magneti permanenti

Eficacitatea unui magnet permanent se apreciaza prin valoarea energiei în intrefier, valoare care depinde de produsul (BH).

Se impune ca materialele utilizate la fabricarea magnetilor permanenti sa posede un indice de calitate (BH) de valoare ridicata.

Astfel de materiale sunt: otelurile aliate cu continut de cobalt, nichel, aluminiu sau cupru. Anizotropia magnetica este indusa prin tratament termic în câmp magnetic.

Feritele cu continut de cobalt sau bariu, sunt de asemenea utilizate pentru realizarea magnentilor permanenti. Materialele ferimagnetice, în compozitia carora sunt elemente din seria pamanturilor rare, sunt utilizate pentru generarea unor câmpuri magnetice extrem de intense.

c) Materiale pentru înregistrarea magnetica a informatiei

Aceste materiale presupun o dependenta univoca între inductia remanenta si câmpul magnetic exterior precum si valori ridicate ale câmpului magnetic coercitiv, pentru evitarea stergerii accidentale a informatiei în prezenta unor câmpuri magnetice perturbatoare.

Materialul magnetic, sub forma de granule, cu dimensiuni cuprinse între 0,5μm si lμm, se amesteca cu un liant dielectric si se depune pe un substrat, sub forma unui strat cu grosimea de aproximativ 20μm. Dimensiunile granulelor din oxizi de fier (Fe₂O₃) sau crom (CrO₂) si uniformitatea stratului depus influenteaza raportul semnal / zgomot si calitatea înregistrarii. Performante deosebite sunt obtinute cu pelicule metalice din aliaje Fe-Co-Ni.

      d) Materiale termocompensatoare si piezomagnetice

Materialele temocompensatoare sunt aliaje de Ni cu Fe, Cu sau Cr si se caracterizeaza prin temperaturi Curie: T_C < 100°C. Permeabilitatea acestor materiale creste pronuntat cu scaderea temperaturii, aceasta proprietate fiind utilizata pentru a mentine constant într-un interval larg de temperatura, fluxul magnetic produs de un magnet permanent. Pentru compensarea variatiei fluxului se introduce în circuitul magnetic un material termocompensator.

Materialele piezomagnetice se caracterizeaza prin efect piezomagnetic pronuntat, efect utilizat la realizarea generatoarelor sonice si ultrasonice. Astfel de materiale sunt aliajele Ni-Fe, Ni-Co sau feritele cu continut de cobalt.

2.9. Întrebari

1.    Descrieti starea de magnetizatie a materialelor magnetice si definiti marimile caracteristice.

2.    Sa se argumenteze motivul pentru care susceptivitatea magnetica poate sau nu poate fi negativa sau nula;

Se are în vedere relatia dintre inductia magnetica si câmpul magnetic aplicat si ca pentru permeabilitatea nula inductia este nula în prezenta câmpului, iar pentru permeabilitatea negativa sensurile inductiei si câmpului sunt opuse, rezultând incompatibilitatea cu teoria câmpului electromagnetic.

3.    Clasificati succint materialele magnetice dupa tipul magnetizatiei si al dependentei magnetizatiei de câmpul magnetic aplicat.

4.    Sa se explice aparitia magnetizatiei temporare la materialele diamagnetice si paramagnetice si a magnetizatiei spontane la materialele fero- si ferimagnetice;

5.    Analizati tipurile de magnetizari pe baza proceselor care au loc în fiecare tip de material magnetic:

6.    Sa se arate care sunt asemanarile si deosebirile dintre materialele dielectrice si cele magnetice, din punctul de vedere al definirii marimilor caracteristice si clasificarii acestor materiale:

7.    Enumerati si comentati pe baza diagramelor asociate, principalele functii ale materialelor magnetice:

Se porneste de la expresiile inductiei electrice si magnetice, respectiv ale polarizatiei si magnetizatiei în functie de câmpul electric sau magnetic aplicat si se dezvolta diferentiat aspectele (dia- si paramagnetice etc.) legate de aceste expresii.

8.    Explicati modul prin care se realizeaza functia de înregistrare magnetica a informatiei.

Pentru informatia numerica se utilizeaza materiale suport cu ciclul histeresis dreptunghiular, iar pentru informatia analogica, corespondenta biunivoca între magnetizatie si câmp magnetic alternativ cu intensitate redusa, peste câmpul magnetic variabil, astfel încât punctul curent, care caracterizeaza starea locala a materialului sa se deplaseze pe caracteristica de prima magnetizare.

9.    Explicati natura fizica a aparitiei feromagnetismului.

10. Exprimati si comentati principalele energii care intervin în procesul de magnetizare, în tratarea macroscopica detailata a procesului de magnetizare, la nivel de domenii:

11. Analizati o structura magnetica cu flux deschis, de tip monodmeniu si structurile cu flux închis- de tip Landau- Lifschitz, precum si evolutia acestor structuri atunci când grosimea esantionului magnetic se micsoreaza:

12. Explicati din punct de vedere energetic conditia ca structura de domenii a unui material feromagnetic sa devina stabila;

13. Explicati din punct de vedere energetic, stabilirea latimii peretelui de domenii;

14. Motivati pe baza energiilor implicate, formarea domeniilor de magnetizare si a perechilor de domenii, punând accentul pe modul prin care se realizeaza echilibrul energiilor si echilibrul stabil atât a latimii domeniilor de magnetizare, cât si a latimii peretilor de domenii;

Pe baza expresiilor energiilor implicate, se va arata ca echilibrul atabil se obtine atunci când cresterea unor energii este asociata cu scaderea altor energii:

15. Sa se analizeze modificarea structurii de domenii pentru grosimi descrescatoare ale materialului feromagnetic, pentru grosimi mari si mici, structura de domenii fiind cu flux deschis, iar pentru grosimi intermediare structura fiind cu flux închis;

Se vor trasa schematic structuriile cu flux deschis, de tip monodomeniu (cu energie de demagnetizare ridicata), cu flux închis (fara sarcini magnetice fictive superficiale) si structura Kittel (cu latimi ale domeniilor de magnetizare comparabile cu grosimea esantionului astfel încât nu se mai pot forma monenii prismatice de închidere);

16. Scrieti legea de material pentru materiale magnetice, utilizând marimi vectoriale sau complexe si aratati motivul pentru care relatia între marimile complexe este mai susceptibila interpretarii teoretice;

17. Analizati anizotropia magneto-cristalina si indusa si precizati directiile axelor de magnetizare usoara, medie si grea pe baza celulelor elementare, pentru fier, nichel si cobalt;

18. Descrieti procesul de magnetizare al materialelor fero- si ferimagnetice, pe baza curbei de magnetizare, utilizând pentru exemplificare, o structura magnetica cu flux închis;

19. Analiza pe baza curbei de magnetizare, diferitele tipuri de cicluri minore, care apar atunci când peste componenta continua a câmpului magnetic aplicat, se suprapune si o componenta alternativa, precizând modul în care se deplaseaza punctul de stare al materialului magnetic, pe aceste cicluri minore;

20. Considerând curba de magnetizare a materialelor feromagnetice, sa se indice si sa se explice portiunile în care procesele de magnetizare sunt reversibile, sau ireversibile si sa se explice aparitia starilor magnetizata si demagnetizata, la intersectiile curbei cu axele de coordonate;

21. Comparati permeabilitatile magnetice: diferentiala si reversibila si analizati modificarea permeabilitatii magnetice reversibile, atunci când intensitatea câmpului magnetic aplicat se modifica;

22. Sa se agumenteze motivul pentru care relatia de legatura între inductia magnetica si câmpul magnetic aplicat, este o relatie între marimi complexe si are un grad de exactitate mai redus.

Se are în vedere ca în câmpul magnetic stationar, dar mai ales variabil, intervin proprietatile de material, prin susceptibilitatea magnetica, vâscozitatea magnetica, pierderile prin magnetizare si postefectul.

23. Sa se motiveze relatia de inegalitate dintre permeabilitatea magnetica diferentiala si cea reversibila, pentru un material feromgnetic.

24. Motivati, utilizând postefectul, scaderea permeabilitatii magnetice relative atunci când frecventa câmpului magnetic aplicat se mareste.

25. Sa se arate cum se modifica forma ciclului de histeresis minor la cresterea frecventei câmpului magnetic aplicat din exterior.

26. Descrieti modul în care se deplaseaza peretele de domeniu a unei structuri de tip Kittel si motivati, pe baza energetica, extinderea domeniilor de magnetizare în care magnetizatia are acelasi sens cu câmpul magnetic aplicat;

27. Sa se analizeze din punct de vedere energetic, extinderea domeniilor cu magnetizatia orientata în sensul câmpului magnetic aplicat.

R: Presupunând ca energia totala este suma dintre energia de demagnetizare pozitiva si energia de interactiune cu câmpul magnetic aplicat din exterior, energia totala minima se obtine pentru semnal negativ al energiei de interactiune cu câmpul magnetic exterior.

28. Descrieti prin relatii si diagrame fazoriale, pierderile de putere activa în materialele fero- si ferimagnetice si specificati semnificatiile componentelor permeabilitatii magnetice relative complexe:

29. Pentru determinarea componentei reale a permeabilitatii relative si a tangentei unghiului de pierderi a materialelor feromagnetice, se utilizeaza un circuit rezonant serie si un Q-metru. Sa se stabileasca configuratiile circuitelor de masurare si algoritmul masurarilor.

30. Sa se argumenteze micsorarea componentei reale a permeabilitatii magnetice relative, atunci când frecventa câmpului magnetic aplicat se mareste si sa se explice alura dependentei de frecventa a componentei imaginare a permeabilitatii magnetice relative.

31. Analizati pierderile prin curenti turbionari si modalitatea de micsorare a lor.

32. Analizati pierderile prin histeresis si precizati modalitatea de micsorare a lor.

33. Analizati, pe baza curbei de magnetizare, pierderile prin magnetizare;

34. Analizati pierderile prin rezonanta magnetica.

35. Având în vedere pierderile prin rezonanta magnetica, sa se argumenteze similitudinea dependentelor de frecventa ale componentelor permeabilitatii relative a materialelor feromagnetice, cu dependentele de frecventa ale componentelor permitivitatii relative a materialelor dielectrice cu polarizare de deplasare si sa se explice aparitia pierderilor prin rezonanta magnetica.

R: Se are în vedere ca în ambele situatii apare un proces de rezonanta.

2.10. Probleme

1. Se considera un tor realizat dintr-un material feromagnetic, care se magnetizeaza la saturatie prin intermediul unei infasurari parcurse de un curent si care se anuleaza ulterior, iar înfasurarea se îndeparteaza. Sa se determine valoarea întrefierului astfel încât sa se obtina indicele de calitate maxim în miez : (B_mH_m)_max.

Rezolvare:

Indicele de calitate maxim în miez se obtine în punctul P(), situat pe caracteristica de demagnetizare, aproximata cu un arc de elipsa.

Din legea fluxului magnetic prin suprafata S rezulta ca inductia magnetica în fier si întrefier are aceeasi valoare si sens; daca se presupune sectiunea torului suficient de redusa pentru a considera  câmpul magnetic uniform pe sectiune si daca se neglijeaza efectele de margine, sau S_m=S_d :

B_mS_m=B_dS_d

Din legea circuitului magnetic rezulta sensul opus al câmpului magnetic în miez , fata de câmpul magnetic în întrefier :

unde : l_m este lungimea mediana a miezului feromagnetic.

Rezulta:

B_m =B_d=

iar pentru a obtine indicele de calitate maxim, care corespunde energiei maxime în miez, lungimea optima a întrefierului, este:

     

Densitatea totala de energie w este suma densitatilor de energie în miez si întrefier:

      .

Daca punctul P se deplaseaza pe curba de demagnetizare într-un sens, sau în sens opus fata de punctul de referinta P(), cresterea de energie totala datorita cresterii unui termen, este mai mica decât scaderea de energie, datorita scaderii celuilalt termen. Prin urmare densitatea maxima de energie a sistemului format din miezul magnetic si întrefier corespunde punctului P().

Este de retinut ca atunci când se cunoaste dimensiunea întrefierului, pentru obtinerea unei energii ridicate în întrefier, materialul magnetic trebuie sa indeplineasca conditia impusa pentru l_doptim. Sa se studieze în acest sens problema inversa, cu aplicatie - de exemplu - la difuzoare sonore.

2. Un disc feromagnetic având  r = 6×10^-7 Wm si dimensiunile: D = 10 cm , g = 1 mm, este strabatut normal de un câmp magnetic omogen cu  B_ef = 0,5 T si frecventa f = 50 Hz. Sa se calculeze pierderile prin curenti  turbionari în disc.

 

Rezolvare:

Din legea inductiei electromagnetice rezulta:

.

Datorita simetriei cilindrice:

Densitatea de curent are expresia:

Puterea activa dezvoltata în unitatea de volum este:

     

Puterea activa dezvoltata în disc are expresia:

     

Tinând cont de relatia:

       ,

puterea activa dezvoltata pe o perioada, sau putere medie, este:

     

Valoarea relativ ridicata a puterii disipate prin curenti turbionari se datoreaza valorii ridicate a inductiei magnetice în spatiul în care este plasat discul feromagnetic.

3. Pentru un disc ferimagnetic cu ciclu de histeresis dreptunghiular caracterizat prin:  H_c = 25 A/m si = 1,2 T, având diametrul D = 10 cm si grosimea g = 1 mm, sa se determine pierderile de putere activa prin histeresis, la o frecventa de 50 kHz.

Rezolvare:

Energia specifica, corespunzatoare unitatii de volum, furnizata de câmpul magnetic exterior, pentru parcurgerea unui ciclu de histeresis, are expresia:

     

 Energia corespunzatoare întregului volum al discului, este:

     

Pierderile de putere prin histeresis sunt egale cu energia furnizata de câmpul magnetic exterior, intr-o secunda,sau:

      P_H = f × W_H = 50^.10^{3  .}  3^.10^-4 =  15 W.

Valoarea ridicata a pierderilor de putere prin histeresis se datoreaza valorii ridicate a inductiei remanente, câmpul coercitiv având intensitate redusa, comparabila cu intensitatea câmpului magnetic al pamântului (15 A/m).

4. Pe un miez magnetic având tg d_m =  5×10^-2 , se bobineaza o înfasurare alimentata la o tensiune: U=220 V si frecventa: f=50 Hz, curentul prin înfasurare fiind: I=1A. Sa se determine: parametri schemei echivalente paralel; raportul sectiune/lungime daca m'_r=1100 si numarul de spire este: N=100; modulul permeabilitatii relative complexe; expresia puterii dezvoltate instantaneu în cazul în care pierderile de putere activa sunt nule.

Rezolvare:

Expresiile tangentei unghiului de pierderi si puterii aparente sunt:

       

     

Din sistemul de ecuatii rezulta valorile: P_a = 10,99 W ;  = 219 VAr

Parametri schemei echivalente paralel au expresiile:

     

Din expresia inductivitatii:

     

rezulta:

      .

Permeabilitatea relativa complexa are expresia:

     

iar modulul permeabilitatii complexe este:

     

Daca consideram ca pierderile de putere activa sunt nule, defazajul între tensiune si curent este: j_m = p/2 , iar expresia puterii reactive este:

     

Rezulta ca puterea are o pulsatie dubla fata de pulsatia tensiunii si curentului.

Se va studia aceeasi problema utilizând schema echivalenta serie.

5. La aceeasi frecventa de rezonanta f*, s-au determinat cu un Q-metru, valorile capacitatii variabile si ale factorului de calitate pentru aceeasi bobina cu si fara miez ferimagnetic. Sa se determine valoarea permeabilitatii magnetice relative si tangenta unghiului de pierderi a bobinei cu miez pentru frecventa f*. Factorul de calitate al condensatorului variabil  este mult mai ridicat decat cel al bobinei.

Rezolvare:

Pentru bobina fara miez magnetic, se pot scrie relatiile:

     

unde:  este rezistenta infasurarii.

Pentru bobina cu miez, relatiile sunt asemanatoare:

      ,

unde:  r_m sunt pierderile in miezul magnetic.

Rezulta:

     

Stiind ca:   si , rezulta:

     

Componenta reala a permeabilitatii magnetice se poate determina si cu relatia:

     

Se prezinta trei variante de calcul a tangentei unghiului de pierderi:

Varianta I:

     

Varianta II:

Pentru bobina fara miez:

Pentru bobina cu miez, se pot scrie urmatoarele relatii:

     

     

de unde rezulta:

     

 Varianta III:

Pentru bobina cu miez, factorul de calitate are expresia:

     

Stiind ca:

     

     

tangenta unghiului de pierderi,este:

     

Permeabilitatea relativa are expresia:

     

6. Pentru un material feromagnetic se cunoaste curba de magnetizare. Dintr-o banda de latime: l=3 cm, grosime: g=0,35 mm si lungime: L=48 m, se confectioneza un tor prin infasurarea benzii pe un cilindru cu diametrul: D=10.8 cm. Pe tor se bobineaza uniform: N=175 spire. Sa se determine permeabilitatea relativa statica si diferentiala in punctul de functionare al miezului pentru un curent i=0.6 A si sa se calculeze inductivitatea. Intensitatea campului magnetic se considera uniforma pe sectiunea miezului.

HsA/mt	BsTt
150	0,3
200	0,4
245	0,5
280	0,6
310	0,7

Rezolvare:

Se determina dimensiunile sectiunii torului.

      ,

       ,

       ,

de unde rezulta: R_e = 9,09 cm, iar R_m = 7,245 cm; n = 105 spirale.

Sectiunea miezului este:

     

Legea circuitului magnetic are forma:

     

de unde rezulta: H = 230 A/m.

Prin interpolare liniara, rezulta: B = 0,468 T.

Permeabilitatile relative statica si diferentiala in punctul de functionare, au valorile:

     

      .

Inductivitatea torului are expresia:

     

Inductivitatea s-a calculat utilizând permeabilitatea relativa statica întrucat curentul care parcurge înfasurarea este cosiderat alternativ. Daca se considera înfasurarea ca fiind parcursa de un curent continuu: I = 0,6 A, peste care se suprapune un curent alternativ cu amplitudine relativ redusa, inductivitatea torului are valoarea:

     

7. Un miez magnetic de forma dreptunghiulara, are sectiunea  S = 1cm², lungimea a=4cm, latimea b=3cm. Pe o portiune c=2cm, materialul magnetic "2" are permeabilitate magnetica  = 300 diferita de restul miezului magnetic. Sa se determine curentul printr-o înfasurare cu N = 100 spire astfel ca inductia în miez sa fie: B = 0,5 T. Din curba de magnetizare a materialului magnetic "1" rezulta ca pentru inductia magnetica de 0,5 T, intensitatea câmpului magnetic corespunzator este H₁ = 245 A/m.

Rezolvare:

Din legea circuitului magnetic, rezulta :

     

unde :       l₁ = 2(a+b) - c = 11cm

      l₂ = c = 3cm

Intensitatea câmpului magnetic în materialul magnetic "2" este :

     

Din prima relatie rezulta valoarea curentului:

       i = 0,67 A

Se va studia aceeasi problema în care materialul magnetic "2" este un magnet permanent. Se vor analiza conditiile în care energia magnetica a ansamblului este maxima.

8.  Se considera o bobina cu miez magnetic conectata în serie cu un rezistor a carei rezistenta este : R=80 ohm. Circuitului i se aplica o tensiune alternativa U=220V cu frecventa f=50Hz, curentul prin circuit are valoarea I=1A, iar tensiunea pe bobina este U₁=180V. Sa se determine parametrii schemei echivalente a bobinei si pierderile de putere activa în miezul magnetic stiind ca rezistenta înfasurarii masurata în curent continuu are valoarea = 20 ohm.

Rezolvare:

Patratul laturii opuse unui unghi obtuz este egal cu suma patratelor celorlalte doua laturi plus de doua ori produsul uneia dintre aceste laturi cu proiectia celeilalte laturi pe ea. Prin urmare :

     

Cunoscând valorile tensiunii aplicate bobinei si curentului care o parcurge, rezulta :

      180

Parametrii schemei echivalente sunt :

        =73,

      =164

iar inductivitatea bobinei cu miez are valoarea :

       L==0,52H.

Pierderile totale de putere activa cuprind pierderile de putere în înfasurarea din cupru si în miezul magnetic :

       P_a ==73 W.

Pierderile de putere în înfasurarea din cupru, sunt :

       =20 W

iar pierderile în miez magneic si rezistenta echivalenta de pierderi au valorile :

      =53 W

       =53 .

9.  Se considera un ecran sub forma de placa cu suprafata S=8cm si cu grosimea d=0,2 mm, realizat dintr-un material conductor cu conductivitatea s = 6,25×10⁷ S/m. Ecranul este strabatut de un câmp magnetic omogen cu B = , B₀ = 10^-3T,    f = 1 MHz. Atenuarea câmpului în adâncimea "x" a ecranului se considera de tip exponential : B = B₀ e^-x/d, unde  este adâncimea de patrundere a câmpului fata de suprafata: x = 0, a ecranului.

   a)  Sa se determine inductia magnetica dupa ecranul magnetic;

   b) Sa se compare densitatile de energie magnetica ale câmpului înainte si dupa ecranare si sa se determine pierderile de energie (prin curenti turbionari), care se transforma în caldura, în ecran.

Rezolvare:

   a)  Adâncimea de patrundere are valoarea :

      = 0,0636 mm,

iar inductia magnetica dupa ecran, este :

      .

   b)  Energiile magnetice specifice înainte si dupa ecranare sunt :

      ,

     

Prin urmare enegia dupa ecranare este de 535 ori mai mica decât înainte de ecranare. La frecvente ridicate, adâncimea de patrundere este redusa si ecranele pot fi confectionate din materiale conductoare fara proprietati magnetice care ar presupune existenta pierderilor prin magnetizare si histeresis.

Pierderile specifice de energie prin curenti turbionari sunt :

     

Pierderile de energie în întreg volumul ecranului sunt :

     

iar puterea transformata în caldura are valoarea :

      P = f ×= 63,3 mW.

Este de retinut ca în fiecare perioada energia se transforma în caldura si cu cât numarul de perioade dintr-o secunda este mai mare, cu atât si pierderea de energie prin curenti turbionari, transformata în caldura, este mai mare.

10.  Se considera un tor realizat dintr-un material feromagnetic cu  = 3000, de sectiune patrata, cu raza interioara si exterioara: R_i = 4 cm, R_e = 7 cm, pe care se bobineaza: N = 500 spire, parcurse de un curent I = 0,5 A. Sa se determine dependenta de raza a câmpului magnetic si fluxul magneic în miez. Se practica un întrefier: δ=1 mm si se neglijeaza efectele de margine : S_d =S_Fe. Sa se determine intensitatea câmpului magnetic în întrefier si inductia magnetica pentru valoarea medie a razei R_m =(R₁+R₂)/2.

Rezolvare:

 Expresia intensitatii câmpului magnetic se obtine din legea circuitului magnetic :

     

 Valorile extreme ale intensitatii campului magnetic sunt :

      H_min = 571 A/m, H_max = 1000 A/m.

 Fluxul magnetic în miez are expresia :

      .

 Pentru miezul cu întrefier, din legile circuitului si fluxului magnetic rezulta relatiile:

     

Rezulta, pentru, raza medie a torului :

     

     

11. Un miez feromagnetic toroidal din tole, cu raza medie : R = 2 cm si sectiune: S_Fe = 1,77 cm² , bobinat uniform cu N = 7000 de spire, are urmatoarea curba de magnetizare :

BsTt	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
HsA/mt	22	35	45	50	75	85	90	120	150

BsTt	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
HsA/mt	188	275	400	750	1700	3200	6000	10500

a) Sa se calculeze curentul maxim, stiind ca B_max = 1,65 T;

b) Pentru I_max, sa se determine ,;

c) Sa se calculeze I_max, daca se practica un întrefier d = 1 cm, cu sectiune: S_d = 2 cm².

d) Sa se calculeze , pentru miezul cu întrefier si I = 1 A;

Rezolvare

 

a) Prin interpolare liniara, curba de magnetizare : B~H, identica cu F = B×S~H×l = U_H, se aproximeaza prin segmente de dreapta. Intensitatea maxima a câmpului magnetic în miez are valoarea : H_max = 8250 A/m, iar din legea circuitului magnetic, rezulta curentul corespunzator :

     I==1,29 A.

                                                                                            Câmpul magnetic s-a cosiderat constant pe sectiunea miezului , iar fluxul de dispersie s-a neglijat.

     b) Permebilitatile magnetice statice si diferentiale în punctul de funtionare sunt:

      .

    c) Din legea fluxului magnetic pentru o suprafata închisa, care cuprinde suprafata de separatie Fe-întrefier, rezulta :

      .

     Din legea circuitului magnetic rezulta :

     ;

      I = 15,7 A.

    d) Valoarea solenatiei este : q = NI = 7000 A. Prin interpolare liniara se determina valorile câmpului magnetic si ale inductiei magnetice corespunzatoare valorii solenatiei. Cele doua portiuni de circuit magnetic : fier si întrefier, sunt strabatute de acelasi flux magnetic, curba rezultanta fiind obtinuta prin însumarea absciselor corespunzatoare unei ordonate. Din caracteristica rezulta valoarea fluxului magnetic F* corespunzatore solenatiei q. Pentru aceasta valoare a fluxului, din cele doua curbe de magnetizare: pentru fier  si  întrefier,  rezulta  valorile  tensiunilor  magnetice  si . Cu valorile obtinute se determina intnsitatea câmpului magnetic si inductia magnetica în fier. Procedeul este ilustrat în tabel.

BFe sTt	0,9	1	1,1
Bd sTt	0,8	0,885	0,972
HFe sA/mt	150	188	275
	635	703	774
	14,4	21,8	31,9
	6350	7030	7740
	6367,4	7051,8	7771,9

NI = 7000

Valorile câmpului si inductiei, rezultate prin interpolare liniara sunt: = 185,2A/m, 0,88T. Cu aceste valori, rezulta permeabilitatile magnetice relative corespunzatoare punctului de functionare precizat prin valorile câmpului si inductiei :

     

Este de remarcat ca valorile permeabilitatilor sunt apropiate pentru ca punctul de functionare se gaseste pe portiunea aproximativ liniara a curbei de magnetizare, spre deosebire de rezultatele de la punctul b), stabilite pentru un punct de functionare situat în regiunea de saturatie a curbei de magnetizare.

 e) Sa se calculeze si ,presupunând ca în întrefier se introduce un material ferimagnetic cu ciclu de histeresis dreptunghiular, având inductia remanenta : = 0,5 T si câmp  coercitiv:  H_c = 100 A/m. Curentul care parcurge înfasurarea are valoarea: I=1A.

12.  Pentru determinarea tangentei unghiului de pierderi magnetice a unei ferite, sau determinat cu un Q-metru pentru diferite frecvente, urmatoarele valori ale permeabilitatii magnetice relative : = 100 pentru f = 0Hz; = 92 pentru f = 2MHz si = 83,7 pentru f = 3MHz. Luând în considerare doar pierderile prin magnetizare, sa se determine tangenta unghiului de pierderi în materialul considerat pentru frecventele de 2MHz si 3MHz si frecventa pentru care aceste pierderi sunt maxime.

Rezolvare

 

Procesul de magnetizare al materialelor magnetice se poate considera similar procesului de polarizare al materialelor dielectrice cu polarizare de orientare. In consecinta, relatiile asociate procesului de magnetizare vor fi similare celor care sunt asociate procesului de polarizare, permitivitatea electrica relativa fiind înlocuita prin permeabilitatea magnetica relativa. Astfel, componentele permeabilitatii magnetice relative complexe, au forma :

      ,

      ,

unde : este permeabilitatea instantanee pentru frecvente care tind spre infinit, , este permeabilitatea pentru frecventa nula, iar t_m este constanta de timp de relaxare.

Pentru cele 3 frecvente la care s-au efectuat determinarile, se pot scrie relatiile :

 f = 0 ; 100 = + ,

 f = 2 MHz ; 92 =  +,

 f = 3 MHz ; 83,7 = +,

de unde rezulta : = 63, = 37, t_m = 4,18×10^-8s.

Tangenta unghiului de pierdri are expresia :

      ,

si are valorile :

 f = 2 MHz ; tgd_m = 9,38×10^-2

 f = 3 MHz ; tgd_m = 13,66×10^-2.

Frecventa la care atât pierderile în materialul ferimagnetic cât si tangenta unghiului de pierderi, sunt maxime, este :

 f* = 4,8 MHz.

13. Sa se arate ca în absenta câmpului magnetic exterior, latimile domeniilor adiacente ale unei structuri Kittel sunt egale.sDant.

 

Rezolvare:

Câmpul demagnetizant este rezultatul prezentei magnetizatiei , care este presupusa uniforma în interiorul unui domeniu magnetic, sau - echivalent, este rezultatul prezentei sarcinilor magnetice fictive uniform distribuite pe suprafetele domeniilor, având densitatea superficiala . Relatia de legatura între si este : .

Structura de domenii fiind periodica, se defineste marimea "d", prin relatia: .

Câmpul demagnetizant elementar d, din interiorul unui domeniu produs de elementul de suprafata : dA=dx×dy, încarcat cu sarcini magnetice cu densitate , într-un punct P, de raza vectoare , are expresia :

      .

Prin integrare, se obtine expresia componentei normale a câmpului demagnetizant produs de o fâsie de lungime infinita si latime finita, încarcata cu sarcini magnetice fictive, în punctul P, din care fâsia se vede sub unghiul  :

      .

Câmpul demagnetizant se mediaza în raport cu coordonata "z", fiind o functie continua în raport cu variabila "x". Pentru ca vectorii câmpului demagnetizant si magnetizatiei într-un punct din interiorul unui domeniu, sa fie orientati antiparalel, este necesar ca expresia câmpului demagnetizant mediat sa fie corectata astfel încât sa se asigure semne (si sensuri) opuse în punctele din vecinatatea peretelui de domeniu, apartinând domeniilor adiacente si anularea lui în perete. S-a aplicat o corectie de tip liniar într-o regiune simetrica în raport cu peretele domeniului.

Energia de demagnetizare a unui material magnetic cu volum v_m , are forma :

     

Cunoscând expresia câmpului demagnetizant în punctele din interiorul structurii, magnetizatia fiind presupusa constanta:  , rezulta prin integrare expresia energiei de demagnetizare, a carei valoare este pozitiva întrucât câmpul demagnetizant si magnetizatia au orientari opuse. Energia de demagnetizare se determina pentru doua domenii adiacente de latimi inegale si lungimi egale. Intrucât structura Kittel este o succesiune de astfel de perechi de domenii, relatiile obtinute sunt valabile la nivelul întregii structuri. Expresia energiei de demagnetizare pentru ansamblul format din doua domenii, cu lungimi egale "l", este :

     

unde :  reprezinta componenta normala pe suprafetele de separatie ale structurii câmpului demagnetizant mediat si corectat, iar "h" reprezinta grosimea structurii.

Expresia energiei de demagnetizare este o functie para în raport cu "d", fiind pozitiva pentru valori "d" si "h" apropiate : d > h si 0 £ d £ d/2. Energia de demagnetizare pentru : d ¹ 0 este superioara energiei de demagnetizare corespunzatoare valorii : d = 0, iar starea energetica stabila a structurii Kittel corespunde latimilor egale ale domeniilor cilindrice adiacente.

Valoarea energiei de demagnetizare nu este afectata de corectarea expresiei câmpului demagnetizant, dar aplicarea corectiei faciliteaza calculul integralelor.

2.11. Anexe

 

2.11.1. Legea inductiei electromagnetice

Tensiunea electromotoare produsa prin inductie electromagnetica de-a lungul unei curbe închise G oarecare, este egala cu viteza de scadere în timp a fluxului magnetic printr-o suprafata S_G, care se sprijina pe curba G:

,                                         (A.2)

unde: este intensitatea câmpului electric,  este elementul de linie,  este inductia magnetica, iar  este elementul de suprafata.

Legea inductiei electromagnetice se poate scrie sub forma:

,    (A.3)

unde: este fluxul magnetic prin suprafata, iar mediul se sonsidera un fluid, în care fiecare punct are o viteza  de deplasare diferita, câmpul vitezelor fiind continuu.

2.11.2. Legea circuitului magnetic

Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe închise G oarecare, este egala cu suma dintre curentul de conductie total ce strabate o suprafata , care se sprijina pe curba G (si viteza de scadere în timp a fluxului electric prin suprafata ):

,                           (A.4)

unde:  este intensitatea câmpului magnetic, iar   este densitatea de curent.

2.11.3. Legea fluxului magnetic

Fluxul magnetic printr-o suprafata S este nul:

Aceasta lege, comparata cu legea fluxului electric stipuleaza inexistenta unor sarcini magnetice similare celor electrice.

2.11.4. Determinarea coordonatelor punctului situat pe un arc de elipsa, pentru care produsul coordonatelor este maxim

Coordonatele unui punct situat pe o elipsa satisfac relatiile:

,

sau:

.

Se determina coordonatele punctului pentru care produsul (xz) are valoarea maxima prin anularea primei derivate:

.

Rezulta:

,

iar:

.

Prin urmare, punctul pentru care produsul coordonatelor este maxim este la intersectia arcului de elipsa cu diagonala dreptunghiului care intersecteaza axele de coordonate în aceleasi puncte ca si arcul de elipsa. Se observa ca exista un singur extrem, care este un maxim, pentru ca produsul coordonatelor se anuleaza în puncte de intersectie cu axele de coordonate.

Pentru un arc de cerc: a=b, tangenta în punctul  este paralela cu prima bisectoare. Daca punctul P se va deplasa pe tangenta la cerc în punctul P, într-un sens sau în sens opus fata de punctul de referinta P, pentru care produsul xz este maxim, cresterea ordonatei/abscisei va fi egala cu descresterea abscisei/ordonatei: . În acest caz:

,

produsul fiind maxim în punctul P si nul la intersectaale tangentei cu axele.

Daca punctul P se deplaseaza pe un cerc, sau pe un arc de elipsa, scaderea produsului este mai pronuntata.

2.11.5. Interpolare liniara

Interpolarea liniara presupune aproximarea unui segment de linie curba cu un segment de linie dreapta. Se cunosc valorile functiei: y=f(x) pentru doua valori ale coordonatei x: ; . Valoarea functiei pentru coordonata x^* se determina conform relatiilor:

Segmentul PP^* este cu atât mai redus si eroarea cu atât mai mica, cu cât variatiile variabilelor sunt mai reduse.

2.11.6. Determinarea permeabilitatii relative si tangentei unghiului de pierderi a materialelor  ferimagnetice în functie de frecventa

          Determinarile se efectueaza cu Q - metrul si se bazeaza pe relatia (7), corespunzatoare regimului rezonant al circuitului serie format din condensatorul variabil C_v, încorporat Q - metrului - cu factor de calitate mai redus. În fig. 7 sunt reprezentate intervalele de frecventa corespunzatoare celor doua tipuri de circuite si ordinea efectuarii masuratorilor. De asemenea, este indicat sensul de modificare a capacitatii variabile.

Din relatia ( 7 ), rezulta ca frecventele limita se obtin cu valorile limita ale capacitatii variabile, valoarea limita inferioara a unei marimi corespunzând valorii limita superioare a celeilalte marimi. Prin introducerea miezului ferimagnetic în interiorul bobinei, inductivitatea bobinei se mareste, iar frecventele limita se micsoreaza, pentru ca produsul: LC_v,   din relatia   ( 7 ), se mareste. Miezul ferimagnetic de forma cilindrica, se introduce în interiorul bobinei astfel încât axa miezului sa coincida cu axa bobinei. Daca miezul a fost introdus, el nu poate fii extras si reintrodus din nou, pentru ca pozitia miezului fata de bobina, sau geometria ansamblului nu mai este identica cu cea precedenta. Întrucât determinarile presupun masurari în regim rezonant pentru cele doua tipuri de circuite - la aceeasi frecventa, este necesar sa se stabileasca intervalul comun de frecvente în care se

poate obtine rezonanta pentru ambele tipuri de circuite. tinând cont de tipul Q - metrului, se dimensioneaza corespunzator bobina de masurare a parametrilor miezului ferimagnetic în functie de frecventa.

Frecventa minima se determina cu valoarea maxima a capacitatii variabile, bobina fiind fara miez: se impune C_{v max}, se modifica frecventa pâna se obtine rezonanta si se citesc valorile: (f_min)_max; Q₀. În cazul în care frecventa nu este numar întreg, se mareste frecventa astfel încât sa fie numarul întreg din vecinatate, iar capacitatea variabila se micsoreaza pentru obtinerea rezonantei si se citesc noile valori. Frecventele din intervalul comun de frecvente (fig. 7), sunt numere întregi. Aceasta prima masurare se va repeta ulterior, impunând frecventa si rezultând valorile capacitati variabile si factorul de calitate, valori care nu vor diferii semnificativ de cele determinate anterior. Motivatia acestei proceduri se va clarifica ulterior.

          Frecventa maxima a intervalului comun de frecventa se determina cu valoarea minima a capacitatii variabile, pentru circuitul format cu bobina cu miez ferimagnetic. În cazul în care frecventa nu este numar întreg, se va micsora astfel încât sa devina numarul întreg din vecinatate, iar capacitatea variabila se va marii corespunzator, pentru obtinerea rezonantei circuitului. Se citesc valorile: (c_ax)_min; C_v;Q. Întrucât factorul de calitate scade sensibil, este necesar ca sensibilitatea Q - metrului sa fie marita, ceea ce implica efectuarea reglajelor pe zero ale celor doua voltmetre electronice. Se efectueaza toate masuratorile etapei a II-a, capacitatea variabila crescând pentru ca frecventa se micsoreaza. Prin extragerea miezului din interiorul bobinei, la masurarea "n+1",inductivitatea bobinei se micsoreaza de la valoarea L, la valoarea L₀, iar capacitatea variabila se mareste pentru ca frecventa : (f_n), ramâne constanta. Trecând de la masurarea "n" la masurarea "n+2", pe de o parte  capacitatea variabila trebuie marita, având în vedere cele expuse anterior, iar pe de alta parte, trebuie micsorata pentru ca frecventa se mareste. Pentru a cunoaste sensul de variatie a capacitatii variabile, se prefera reluarea primei masuratori. Se reaminteste ordinea corespunzatoare unei masuratori cu Q - metrul.

Obtinerea regimului rezonant prin modificarea frecventei sau a capacitati variabile, pentru o valoare oarecare a tensiunii furnizate de oscilatorul Q - metrului. La rezonanta, indicatia instrumentului care masoara factorul de calitate, este maxima.

Reglajul pe zero al celor doua voltmetre electronice, pentru tensiune nula a oscilatorului (fig. 7) se efectueaza pentru fiecare masurare, pâna când regimul termic al Q- metrului s-a stabilizat si la fiecare modificare a sensibilitatii instrumentului care indica valoarea factorului de calitate.

Modificarea tensiunii oscilatorului astfel încât indicatia voltmetrului care masoara aceasta tensiune sa fie cea corespunzatoare valorii standard - marcata pe scala instrumentului. Valoarea capacitatii variabile se poate ajusta în situatia în care valoarea tensiunii oscilatorului s-a marit în comparatie cu valoarea la care s-a obtinut rezonanta - în prima etapa a masurarii. Se citesc valorile marimilor: (f,C_v,Q).

Pentru o frecventa precizata, relatiile utilizate pentru determinarea permeabilitatii magnetice relative si tangentei unghiului de pierderile miezului ferimagnetic, sunt:

                         ( 11 )

                                                            ( 12 )

unde: Q si Q₀ sunt factorii de calitate ai bobinei cu si fara miez ferimagnetic. Ca si la materialele dielectrice, tangenta unghiului de pierderi creste cu cresterea frecventei.

Factorul de calitate al bobinei cu miez are expresia:

                                                                   ( 13 )

unde: r_L este rezistenta de pierderi în miez. Pentru valori reduse ale rezistentei de pierderi si pentru valori identice ale inductivitatii L factorul de calitate al bobinei cu miez poate fi superior factorului de calitate al bobinei fara miez si poate creste - în anumite limite cu cresterea frecventei - atunci când raportul w/r_L creste. Pentru obtinerea unei valori identice a inductivitatii, numarul de spire al bobinei fara miez este mai mare, iar efectul pelicular este mai pronuntat. Inductivitatile reglabile utilizate în electronica se pot realiza numai cu bobine având miez ferimagnetic, care se introduc mai mult sau mai putin în interiorul bobinei. Având în vedere expresia inductivitatii unei bobine:

L=m₀m_r^'N²S/l                                                          ( 14 )

unde: S este sectiunea, iar l este lungimea bobinei, se poate aprecia modul de variatie a inductivitatii cu temperatura. Presupunem ca bobina are lungimea egala cu raza sectiunii circulare. Cresterea temperaturii determina marirea dimensiunilor bobinei. Raportul S/l se modifica cu temperatura - conform relatiei:

                                            ( 15 )

unde: R₀ este raza sectiunii circulare la temperatura ambianta de referinta, a_q este coeficientul (pozitiv) de variatie cu temperatura al conductorului de cupru cu care este realizata bobina, iar Dqeste variatia de temperatura.

          În concluzie, inductivitatea bobinelor cu lungime redusa se mareste cu cresterea temperaturii, iar inductivitatea bobinelor lungi si cu sectiune redusa scade cu cresterea temperaturii. Este de remarcat ca variatiile absolute si nu cele relative ale sectiunii, respectiv lungimii, determina comportamentul inductivitatii la variatii de temperatura. Aceste aspecte sunt deosebit de importante pentru dimensionarea bobinelor circuitelor acordate. Cu ajutorul Q - metrului se poate depista existenta unei spire în scurtcircuit în primarul sau secundarul unui transformator cu miez ferimagnetic. Factorul de calitate al înfasurarii primarului sufera o scadere pronuntata în cazul existentei unui scurtcircuit datorita pierderilor mari de putere activa în spira în scurtcircuit.