Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza



























CALCUL VECTORIAL

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Modelarea matematica in cercetarea operationala
Ecuatii exponentiale si inecuatii exponentiale
PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL VECTORILOR
Metoda inductiei matematice
Permutari, matrici, determinanti
MATEMATICA Clasele a V a - VI-a
PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIARA (PPL)
Dualitatea simetrica si dualitatea nesimetrica
Raportul, propotia si traditia pitagoreica in gandirea lui Matila Ghyka
TEST DE EVALUARE FRACTII




CALCUL VECTORIAL

1.1  Vectori legati, vectori liberi. Vectori de pozitie

1.2  Operatii cu vectori. Versori

1.3  Coliniaritate. Coplanaritate. Reper cartezian

1.4  Produs scalar

1.5  Produs vectorial

1.6  Produs mixt

          1.1. Vectori legati, vectori liberi. Vectori de pozitie

 

Definitia 1. Se numeste spatiu geometric, notat  multimea tuturor punctelor din spatiu, notate cu litere mari ( .).

Planul va fi notat .

Definitia 2. Fie . Se numeste vector legat, segmentul orientat notat  , unde

A se numeste punct de aplicatie si B se numeste extremitate. Un vector legat  este caracterizat prin:

·        A punctul de aplicatie sau originea,

·        Dreapta AB directie sau suport,

·        Marimea segmentului  marimea sau norma vectorului, notata ,

·        Sensul de la A la B.


                                                            Figura 1

Observatii

  1. Vectorul  se numeste vectorul opus vectorului   si  .
  2. Vectorul  se noteaza cu  si se numeste vectorul nul.

Definitia 3. Doi vectori si  se numesc echipolenti si se noteaza  daca au acelasi suport sau suporturi paralele, au aceeasi marime si acelasi sens.

Definitia 4. Multimea tuturor vectorilor echipolenti cu un vector legat  se numeste vectorul liber determinat de vectorul legat . Vom nota vectorii liberi cu litere mici cu sageata deasupra astfel:  si vom scrie  (corect ).

Observatie.  este clasa de echivalenta a vectorului  determinata de relatia de echivalenta "".

            Cu   notam vectorul liber determinat de .

Definitia 5. Multimea tuturor vectorilor liberi se va nota cu V3. 

            Pentru un vector liber  si orice punct  exista un vector legat .

            Vom nota cu vectorul nul determinat de vectorul legat nul .

Definitia 6. Fie  oarecare,  fixat (O este numit pol sau origine). Vectorul  se numeste vectorul de pozitie al punctului A în raport cu originea O (figura 1).


                                                            

                                                    

        Figura 2

          1.2. Operatii cu vectori. Versori.

1. Adunarea vectorilor

Definitia 1. Fie , . Se numeste suma vectorilor   si  vectorul ,  (regula triunghiului) (figura 3).


                                                            Figura 3

Definitia 2.  Fie  si . Fie  si fie  diagonala paralelogramului construit pe  si .


                                                              Figura 4

            Vectorul liber   determinat de  este prin definitie suma vectorilor liberi si , adica  (regula paralelogramului).

Proprietati:

  1. Comutativitate: ;
  2. Asociativitate:   ;
  3. Existenta elementului nul: ;
  4. Existenta elementului simetric: .

Din proprietatile a,b,c,d rezulta ca (V3,+) este grup abelian (comutativ).

Propozitia 1. Fie , . Atunci .

Demonstratie: Din regula triunghiului avem:

.

Scazând în ambii membrii , obtinem:

, adica: .

3.     Înmultirea cu scalari

Fie ,. Vectorul  are urmatoarele proprietati:

  1. Are aceeasi directie cu ,
  2. Marimea vectorului este ,
  3. Sensul vectorului este:

acelasi cu  daca ,

sens opus lui daca ,

  1. Daca , atunci prin definitie: .

Proprietati:

a. ;

b. ;

c. ;

d.  , 1 elementul unitate din .

Definitie. Fie . Se numeste versorul vectorului nenul , un vector de marime 1 care are aceeasi directie si acelasi sens cu . Daca notam cu versorul lui , atunci: .

Într-adevar, vectorul  are aceeasi directie, acelasi sens cu , dar marimea lui este 1:

.

          1.3 Coliniaritate. Coplanaritate. Reper cartezian

Definitia . Doi vectori se numesc coliniari daca au suporturi paralele sau coincid.

Propozitie: Doi vectori liberi nenuli , sunt coliniari  (daca si numai daca) \ astfel încât .

Demonstratie:

Fie

Figura 5

"Ț" Fie  coliniari. Sa demonstram ca .

.

Dar   ( fiind coliniari) Ț    Ț    Ț   .

"Ü" Fie . Sa demonstram ca  coliniari.

  Ț    Ț   si  au aceeasi directie.

Definitia 2. Trei vectori se numesc coplanari daca suporturile lor sunt paralele cu acelasi plan.

Propozitia 2.  cu  sunt coplanari daca si numai daca exista
l, m Î  astfel încât .

Reper cartezian

Fie O Î E3 un punct fixat din spatiu si trei axe Ox, Oy, Oz perpendiculare doua câte doua. Prin axa se înțelege o dreapta pe care s-a fixat un punct fix, numit origine, un sens si o unitate de masura. Notam cu versorii celor trei axe Ox, Oy, Oz, respectiv.

Figura 6

 se numeste reper cartezian în E3.

Propozitia 3. Fie  un reper cartezian si un punct A din spatiu, atunci
$ x, y, z Î  unice astfel încât

                                                                                                       (1)

Numerele x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctul A în raport cu reperul cartezian  si vom nota A(x, y, z).

(1) se numeste expresia analitica a vectorului .

Demonstratie:

Figura 7

Fie M proiecția lui A pe planul xOy.

 este coliniar cu  Ț $ x Î  astfel încât ,

 este coliniar cu  Ț $ y Î  astfel încât ,

 este coliniar cu  Ț $ z Î  astfel încât .

Avem   (regula triunghiului).

Dar     

si           (regula paralelogramului)

Ț        (din coliniaritate)

Propozitia 4.  A, B Î E3,  reper. Daca  A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) atunci:

Demonstratie:

Daca  este vectorul liber determinat de , vom nota cu ax = x2 - x1, ay = y2 - y1 si
az = z2 - z1. Rezulta ca
.

Numerele ax, ay si az sunt unic determinate si se numesc coordonatele (componentele) lui  în raport cu reperul .

          1.4. Produs scalar

Definitia 1. Fie . Se numeste produsul scalar al vectorilor liberi  si  si se noteaza cu  urmatorul numar:

unde q Î [0, p] unghiul format de suporturile celor doi vectori.

Propozitia 1.  sunt ortogonali (suporturi perpendiculare) daca si numai daca produsul lor scalar este egal cu 0, .

Demonstratie:

Ț q =

Ü

Proprietati:

1.  - comutativitate;

2.  - asociativitate;

3. Fie ,       .

Atunci  (expresia analitica a produsului scalar), iar .

Demonstratie:

3. Se tine seama ca . Din expresia analitica a produsului scalar avem:

          1.5. Produs vectorial

 

Definitie. Fie . Se numeste produsul vectorial al vectorilor  si  si se noteaza cu , vectorul liber caracterizat prin:

1)      Directie perpendiculara pe planul format de suporturile lui  si ;

2)      Sens dat de regula burghiului, adica sensul sau coincide cu sensul de înaintare al unui burghiu care se roteste de la  catre cu un unghi minim ;

3)      Marime .                          

         Fie O un punct în spatiu,  si . Conform definitiei produsului vectorial,  este perpendicular pe planul determinat de  si , are sensul dat de regula burghiului, iar (vezi figura 8).


Figura 8

     

Proprietati:

1)  - anticomutativ;

2) - distributivitatea produsului vectorial fata de adunarea vectorilor;

3)   sau  si  au suporturile paralele;

4) .

Demonstratie:

2) Consideram O un punct din spatiu si ,   si , unde  este versorul lui , deci . Fie de asemenea un plan P care trece prin O si este perpendicular pe OU.

                                                                                                                   

                                                                                                                                

Fig.21

              

               Fie  proiectia ortogonala a punctului A pe planul P si fie  vectorul obtinut prin rotirea cu 900 (în planul P) a vectorului  astfel încât ,  si  sa respecte regula burghiului.

         Avem .

         De asemenea, avem ca  este perpendicular pe  si pe , deci . Daca notam cu D cel de al patrulea vârf al paralelogramului construit pe  si , atunci .

               Fie  si  proiectiile ortogonale ale punctelor B si D pe planul P si fie  si  punctele din planul P obtinute prin rotirea cu 900 a vectorilor  si .

               Este evident ca patrulaterele  si  sunt paralelograme si ca , iar . Dar ,  si , deci :.

               Amplificând aceasta relatie cu  si tinem seama ca , obținem ca :

.

4) întrucât este perpendicular pe planul  are sensul lui .

În plus , caci  .

Interpretarea geometrica a produsului vectorial

Marimea  a produsului vectorial a doi vectori liberi  si , este aria paralelogramului format de suporturile celor doi vectori   si .

            Consideram O un punct în spatiu, . Construim pe suporturile celor doi vectori paralelogramul .

Demonstratie:

Figura 9

 În particular, rezulta ca aria triunghiului este jumatate din aria acestui paralelogram, deci

.

Expresia analitica a produsului vectorial

Fie un reper cartezian si doi vectori liberi:

 .

Atunci

,

determinant formal pe care îl dezvoltam dupa prima linie.

Demonstratie:

Ţinând cont de 4), de 1) si de 2) avem:

         

1.6. Produs mixt

 

Definitie. Fie . Se numeste produs mixt si se noteaza cu  un numar definit astfel .

Proprietati:

1) ;

2) ;

3)  = 0 Û vectorii  sunt coplanari.

Într-adevar, daca

 coplanari.

Interpretarea geometrica a produsului mixt

Modulul produsul mixt  este egal cu volumul paralelipipedului oblic construit pe suporturile vectorilor si .

Demonstratie:

        

Fie un punct O în spatiu,  si  Fie de asemenea,  unghiul dintre  si  si fie P proiectia ortogonala a punctului A pe planul determinat de  si . Cum AP este paralela cu OD, rezulta ca masura unghiului OAP este .


                   

                                                                 

              

Figura 9

              

               Atunci volumul paralelipipedului oblic construit pe vectorii  este :

, unde aria bazei este aria paralelogramului construit pe suporturile vectorilor  si  si este , iar înalțimea este :

Asadar avem, întrucât volumul trebuie sa fie pozitiv:

 

Expresia analitica a produsului mixt

Fie vectorii  si , cu expresiile lor analitice ,  si . Atunci :

         Demonstratie.  Ţinând seama de expresiile analitice ale produsului vectorial, respectiv scalar, deducem:

        

        

 

Probleme

1. Fie punct fixat din spațiu,,. Fie . Atunci   (expresia vectorului de pozitie al unui punct M care împarte segmentul AB într-un raport dat).

Rezolvare:

Figura 1

Avem ca vectorii si  sunt coliniari, atunci exista , astfel încât . Deci:

.

2. Fie punct fixat din spațiu,. Considram triunghiul DABC si fie AA', BB', CC' mediane. Sa se determine vectorii de pozitie ai punctelor A', B', C' si vectorii  (în functie de vectorii de pozitie a vârfurilor DABC si a marimii laturilor).

Rezolvare:

Avem  (conform problemei 1).

Analog .

.

Analog se calculeaza vectorii  prin permutari circulare.

3) Fie reperul si punctele A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3). Sa se calculeze coordonatele carteziene ale mijloacelor segmentelor AB, BC, CA.

Rezolvare:

Figura 10

Fie si respectiv mijloacele segmentelor AB, BC, CA.

Vectorul de poziție al punctului  este:

 Û

Û

Analog se calculeaza coordonatele mijloacelor segmentelor BC, CA.

4) Se dau vectorii:

Sa se calculeze:

a) ;

b) proiectia ortogonala a lui  pe , notata ;

c) aria paralelogramului construit pe cei 2 vectori;

d) sa se determine un versor perpendicular pe planul format de cei doi vectori.

Solutie:

a) ,

    ,

   

    = .

b)  =  Ț .

c) Aparalelogram .

d) Versorul cautat  este pe direcția normalei la planul planul format de vectorii (vezi figura 11),


Figura 11

adica este pe direcția produsului vectorial , deci este dat de expresia:

.

5) Fie urmatoarele puncte în spațiu : A(1, 2, -1), B(0, 1, 3), C(0, 1, 3). Sa se calculeze :

a) Vectorii de pozitie ai punctelor A, B, C si produsul mixt  ;

b) ;

c) ;

d) Aria triunghiului ABC, ;

e) Volumul tetraedrului OABC,  ;

f) Înaltimea tetraedrului dusa din originea O.

Solutie:

a) , , .

b) .

.

.

c) .

d) .

e)  = .

f)  = .

Probleme propuse

1. Sa se determine vectorul de pozitie al centrului de greutate al unui triunghi si coordonatele carteziene ale centrului de greutate.

2. Sa se determine vectorii de pozitie ai punctelor A', B', C' (AA', BB', CC' sunt bisectoare). Sa se determine vectorul de pozitie al centrului cercului înscris în DABC.

3. Fie A, B, C, D patru puncte din spatiu date într-un reper cartezian A(1, 0, -1), B(3, 1, 2), C(-1, 2, 3), D(2,1,-1). Sa se determine volumul tetraedrului ABCD.

4. Fie reperul. Sa se calculeze perimetrul DABC si unghiurile DABC pentru punctele A(1, 2, -1), B(0, 1, 3), C(0, 1, 3).


Document Info


Accesari: 11414
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )