Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza



























CREATIVITATEA MATEMATICĂ. REZOLVAREA DE PROBLEME sI EXERCIŢII LA CICLUL PRIMAR










ALTE DOCUMENTE

CALCULUL RADIERELOR PE MEDIU WINKLER - BOUSSINESQ
TABLOUL PRIMITIVELOR IMEDIATE
GEOMETRIE CLASA A VI-A
ALGEBRA
Spirala logaritmica
Dreptunghiul
Proiect de lectie - dobāndire de noi cunostinte
Politica privind hazardul - Proceduri privind evaluarea hazardului
CREATIVITATEA MATEMATICĂ. REZOLVAREA DE PROBLEME sI EXERCIŢII LA CICLUL PRIMAR




Universitatea  din  Pitesti

Colegiul  Universitar  de  Institutori

Specializarea : institutor īnvatamānt primar

Directia de studii : Educatie fizica

          L U C R  A R E

               D E

A B S O L V I R E

Coordonator stiintific ,

Lector univ. drd . ,

Neculae Dinuta

                                              Absolvent ,

                                       Bondoc D.Onita

-       2006 -

CREATIVITATEA

   MATEMATICĂ.

REZOLVAREA

              DE

      PROBLEME

             sI

EXERCIŢII

             LA

   CICLUL PRIMAR 

CUPRINS :

Capitolul I .

INTRODUCERE

          I . 1 . Motivarea alegerii temei ;

          I . 2 . Obiectivele lucrarii ;

          I . 3 . Creativitatea prin rezolvarea de probleme si exercitii

- obiectiv major al īnvatamāntului primar .

                   Capitolul II .

                   METODOLOGIA REZOLVĂRII

PROBLEMELOR  DE ARITMETICĂ

          II . 1 . Notiunea de ,,problema"  ;

          II . 2 . Clasificarea problemelor ;

 

         

                    Capitolul III .

METODE DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ

          III . 1 . Metode generale ;

          III . 2 . Metode particulare .

                   Capitolul IV .

ACTIVITATE METODICĂ sI DE CERCETARE

          IV . 1 . Proiect de cercetare ;

          IV . 2 . Proiecte de lectie .

                   Capitolul V .

CONCLUZII

         

V . 1 . Concluzii .

          BIBLIOGRAFIE 

                             Capitolul  I . INTRODUCERE

I . 1 . MOTIVAŢIA ALEGERII TEMEI

         

v    Expunere de motive : 

Am ales aceasta tema deoarece poate fi abordata din diverse unghiuri.                               Sintagma ,, rezolvare de probleme" se refera separat si / sau  unitar la :

-          capacitati sociale ;

-          gāndirea ca proces de rezolvare de probleme ;

-          tip superior de īnvatare ;  

-          nivel de performanta ;

-          metoda ;

-          algoritm ;

-          strategie ;

-          unitate de īnvatare distincta sau subordonata;

-          tratare interdisciplinara , intradisciplinara .   

Cu alte cuvinte , īn lucrare am dorit sa dovedesc ca rezolvarea de probleme  este un scop pentru sine  si  niciodata ales ca mijloc pentru altceva , scop īn functie de care ne dorim si alte lucruri  . ( Aristotel)   

v    Un alt motiv pentru care am ales tema este natura omului - singura  fiinta

īnzestrata cu ratiune , judecata , gāndire , limbaj  . Acestea pot si trebuie dezvoltate prin cunoasterea adevarului , adica prin matematica .

,,Cunoasterea īncepe cu probleme si sfārseste ( īn masura īn care ea se sfārseste vreodata) cu probleme"  K .R . Popper

1 . Pentru a enunta propozitia : ,,Acest mar este rosu"era necesara  o cunoastere prin simturi a lucrului din realitatea exterioara .

2 . Pentru a enunta propozitia : ,,Toate numerele pare se divid cu 2" era necesara o cunoastere a unor adevaruri matematice .   

Prima forma de cunoastere se numeste cunoasterea lucrurilor sau cunoastere  a  posteriori , adica derivata din experienta ( cunoastere intuitiva) . Sursa ei este experienta, iar propozitiile sau judecatile prin care o exprimam nu sunt necesare.

A doua forma de cunoastere se numeste cunoasterea  adevarului sau  cunoastere  a  priori , adica  nederivata din experienta . Sursa ei o constituie ratiunea si judecatile, iar propozitiile prin care o exprimam sunt  necesare           ( adevaruri intrinsec evidente ) . E un adevar matematic care nu are nicio legatura cu experienta ; mai mult , proprietatea afirmata depre numerele pare este necesara , īntrucāt numerele pare nu pot fi decāt divizibile cu 2 .

I . 2 . OBIECTIVELE LUCRĂRII

Mi - am propus prin aceasta lucrare :

Ų     sa demonstrez ca , indiferent de domeniu , rezolvarea creativa de probleme trebuie sa fie atributul ce caracterireaza omul īn orice ipostaza s-ar afla : scoala , familie , mediu , societate ;

Ų     sa argumentez si sa dovedesc  ca matematica este cāmpul deschis al cunoasterii stiintifice unde  brainstorming - ul (sintagma traducerii directe ,,furtuna īn creier" sau ,,asaltul de idei") se poate duela cu algoritmizarea  spre a iesi īnvingatori elevii ;

 

Ų     sa ofer un studiu de caz si un experiment pedagogic pentru o problema controversata : modul de instruire si transferul īnvatarii orizontal , pe grupe valorice de nivel - materii ( omogene , īn functie de aptitudinea speciala matematica ) ;

 

Ų     sa verific ( empiric ) o ipoteza īntemeiata pe studii teoretice privind Introducerea organizatorului cognitiv , ca metoda optima folosita pentru a maximaliza performantele elevului la acest test si la acest obiect - matematica ( pe termen lung );

 

Ų     sa promovez ideea ca prin  matematica se dezolta gāndirea si operatiile ei, creativitatea , taria de caracter , sentimentele si atitudinile pozitive , spiritul de competitie intelectuala .   

I . 3 . REZOLVAREA DE PROBLEME

-obiectiv major al īnvatamāntului primar

          Un imperativ !

          Īnca din primii ani , copilul īncearca sa-si rezolve singur situatiile ,,de viata" cu care se īntālneste . El descopera , (īsi) pune īntrebari , creeaza ,,probleme" si īncearca sa-si rezolve ,,problemele" .

          A actiona , a gresi , a ezita , a clasifica , a alege , a evalua efectele , a cauta modalitati atunci cānd intra īn impas , iata situatiile īn care este ( si trebuie pus ) un copil spre a-l pregati pentru viata .

          Ajuns la scoala copilul trebuie sa intuiasca , sa descopere , sa cunoasca situatiile īn care cunostintele lui dobāndite la ora de matematica se pot aplica si el trebuie sa se convinga treptat ca posibilitatile de a rezolva o problema de viata sunt mult mai mari daca gāndeste problema īn termeni matematici .

          Pentru micul elev situatiile de viata prind sens matematic , iar lectiile de matematica capata sens īn activitatile de cunoastere a lumii .

          Tocmai de aceea noile conceptii pedagogice privind studiul matematicii īn scoala primara sunt axate pe o optica constructivista :

          A face matematica īnseamna a rezolva probleme !

          si , nu īntāmplator , dintre cele 12 standarde curriculare de performanta vizate la sfārsitul ciclului primar , nu mai putin de cinci se refera la rezolvarea problemelor si la modalitati de rezolvare a lor .

          Dar ce īnseamna ,,a rezolva o problema" ? Īnseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate , a gasi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil .

          A gasi solutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei , iar inteligenta este apanajul speciei umane , se poate spune ca , dintre toate īndeletnicirile omenesti , cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristica .

          Spre deosebire de exercitiu īn care majoritatea elevilor aplica un set de reguli de rutina , pentru a ajunge la un raspuns , pentru a rezolva o problema , faci pauza si ... reflectezi pentru gasirea versiunii matematice a problemei .

          De o importanta deosebita devine acum transformarea (punerea) īn exercitiu a versiunii matematice ca rezultat al constientizarii operatiilor matematice necesare . Īntelegerea ( sesizarea , intuirea , relevarea , ... ) situatiilor aditive , situatiilor subatractive , situatiilor multiplicative , situatiilor de īmpartire devine esntiala pentru reusita acestei transformari . Iar dupa transformare , cunoscānd cele patru operatii si proprietatile lor , nu mai este o problema atāt la propriu cāt la figurat ca sa obtinem solutia .    

          Asa cum relevam īn schema de rezolvare a unei probleme , obstacolul cognitiv , dificultatea sau situatia contradictorie ce apare din punct de vedere teoretic sau practic īn situatia initiala poate fi depasit(a) numai printr-o atribuire de sens (matematic).

          Ramāne astfel de maxima actual 535o1424f itate īndemnul de acum mai bine 2000 de ani , facut de Plutarh :

,,Capul copilului nu este un vas pe care sa-l umpli , ci o faclie pe care s-o aprinzi , astfel īncāt , mai tārziu sa lumineze cu lumina proprie ."

          cunoastere                          īntelegere                         aplicare

Recunoaste īn acelasi        Īl recunoaste sub o forma          Foloseste īn alt

         contest                                 diferita                                  context

,,Acolo unde unii doar privesc , eu vad . Acolo unde unii doar vad , eu īnteleg" ar trebui sa fie dictonul cu care sa se māndreasca fiecare dintre elevii nostri .

Sa vrea , sa vada (operatia necesara ) , sa poata sa o vada si īn sfārsit sa stie sa o vada sunt etape īn constientizarea matematicii ciclului primar .

          Trebuie sa-i dam ocazia copilului ,,sa matematizeze" īnainte de ,,a aritmetiza". Matematizarea implica un model al realului , aritmetica presupune formalizarea .

          Care poate fi sensul īnvatarii matematicii pentru elevi , care au memorat perfect tabla adunarii , tabla īnmultirii , si ei nu sesizeaza , pentru versiunea matematica a unei probleme , daca , si / sau cānd este nevoie de o anumita operatie ?

          Ce-ar trebui sa citim īn ochii unei īnvatatoare ai carei elevi raspund īn cor ,,18minute" la īntrebarea din problema:

,,Pentru a fierbe un ou apa trebuie sa clocoteasca 3 minute .

 Cāte minute trebuie sa clocoteasca apa pentru a fierbe 6 oua ?"

Satisfactia ca toti elevii cunosc ,,pe dinafara"- atentie la sensul ghilimelelor - tabla īnmultirii sau jena ca niciunul dintre ei nu a īnteles sensul operatiei de īnmultire ?

Ų     Testarea nivelului de constientizare a situatiilor de adunare ( aditive ) se va face periodic prin rezolvarea īn clasa a urmatoarelor probleme :

1.     Ana are 15 creioane colorate , 2 stilouri si 6 creioane negre .Cāte creioane are Ana ?

2.     Casa familiei Ionescu are 8 metri īnaltime . Chiar īn vārful ei , domnul Ionescu a montat o antena de 3 metri īnaltime . Ce īnaltime are acum casa?

3.     Andrei se afla pe a 38-a treapta a unei scari . El coboara 7 trepte , apoi mai coboara 15 . Cāte trepte a coborāt Andrei ?

4.     Gigel masoara 120 centimetri , iar Victor are cu 10 kilograme mai mult decāt Gigel . a)Cine-i mai greu ?b)Cine-i mai īnalt?

     5.  Esti soferul unui autobuz . Pleci de la capat cu 5 calatori . La prima statie mai urca 4 calatori , la a doua statie mai urca 5 , la a treia statie mai urca 4 . Ce vārsta are soferul?

Ų     Voi prezenta cāteva probleme din ,,folclorul matematic" ce pot fi utilizate ca elemente de verificare a nivelului de constientizare a situatiilor multiplicative :

     1.  Īntr-o punga sunt 15 nuci , de 5 ori mai putine decāt īn a doua punga . Cāte nuci sunt  īn a doua punga?

2.     Trei frati gemeni au īmplinit astazi 8 ani . Cāti ani au trecut de cānd s-au nascut cei trei frati ?

3.      Un turist parcurge 4 kilometri īntr-o ora . Īn cāt timp 3 turisti mergānd cu aceeasi viteza parcurg 24 kilometri ?

4.     Pentru plata a 17 timbre cu 3200 lei bucata , din greseala , vānzatoarea īi solicita lui Virgil 18x 3200 =57600 lei . Virgil plateste , dar vānzatoarea īsi da seama ca a gresit  , calculeaza 17x3200=54400 lei , face diferenta 57600 - 54400 si īi restituie lui Virgil banii īncasati din greseala . Exista o cale mult mai simpla de calcul a sumei de bani ce trebuie restituita lui Virgil ?

Ų     Raspunsurile elevilor la probleme de tipul urmator alcatuiesc un bun indicator al nivelului de īntelegere al situatiilor de scadere :

1.  Mihaela a cumparat 9 banane . Ea i-a dat 4 banane surorii sale . Cāte banane i-au  ramas?

2.      Īn clasa a doua sunt 8 baieti , toti joaca fotbal . Cāti baieti lipsesc pentru a forma o echipa de fotbal ( de 11 jucatori ) ?

3.      Īnaintea ultimei īncercari , Costel avea 58 de puncte . Acum are 49 . Cāte puncte a pierdut la ultima īncercare ?

4.      Anul trecut , Corina avea 27 kilograme , iar anul acesta are 30 . Cāte kilograme a cāstigat īn greutate īn ultimul an Corina ?

5.      Costel are īnaltimea de 121 centimetri , iar David 147 centimetri . Care este diferenta de īnaltime dintre cei doi copii ?

Ų     Tentatia elevilor de a face o īmpartire atunci cānd numerele sunt compatibile va fi temperata de īnvatatoare cu probleme,,capcana"de tipul :

     1.    De acasa si pāna la scoala īn care īnvata Sandu sunt 270 metri . Daca alearga ,Sandu ajunge de 3 ori mai repede decāt daca merge normal . Ce distanta parcurge  Sandu , atunci cānd se duce la scoala ?

2.        Īntr-o punga sunt 20 de caise , de 4 ori mai multe decāt īn prima punga . Cāte caise sunt īn prima punga ?

3.        Daca 3 litri de apa au temperatura d 60 grade Celsius , ce temperatura are un singur litru de apa ?

4.        Calculati a saptea parte din produsele : 3x7 ; 8x7 ; 7x7 ; 1x7 ; 0x7 .

,,Aritmetica - avertiza acum doua sute de ani Gheorghe Asachi - trebuie sa se īnvete ca un mijloc de deprindere a inteligentei , iar nu īn chip mecanic sau ca un lucru numai de tinut minte ."

Analiza problemelor

Cineva spunea cu multa poezie :

,,Intrarea īn cetatea cunoasterii se face pe podul matematicii."

Prin acest pod - o alta metafora care apropie matematica de comunicare - se īntelege o limba si ea construita pentru īntelegere .

          Dar ce facem cānd vrem sa stapānim o limba straina ? Īnvatam cuvintele , dar si gramatica , echivalentul regulilor īn matematica si apoi ne perfectionam citind lectura , ceea ce īn matematica īnseamna rezolvarea de probleme . 

Rezolvarea de probleme trebuie privita ca o poetica a matematicii .

          Dar pāna la urma , ce este o problema ?

Un raspuns satisfacator ar fi cel dat de Paul Fraisse : ,, Orice situatie īn care raspunsul nu poate fi dat imediat constituie o problema."

          Altfel spus , o problema este o situatie noua , necunoscuta , īn fata careia ma aflu si pe care trebuie sa o rezolv , sa iau o decizie , sa gasesc o solutie .

          ,, A rezolva o problema - spune George Polya - īnseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate a gasi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil ."

,,A gasi solutia unei probleme este o performanta apecifica inteligentei , iar inteligenta este apanajul specific speciei umane"  completeaza J.James .

Dar oare pentru a rezolva o problema este suficienta doar inteligenta ?

- Pentru a rezolva un exercitiu, unii aplica un set de reguli de rutina spre a ajunge la raspuns.   

- Pentru a rezolva o problema , reflectezi , īti aduci aminte o problema similara , pasesti pe ,,urma" lasata īn minte sau inventezi pasi pe care nu i-ai mai facut pāna la abordarea acestei probleme .

          Avertizeaza īnsa George Poya : ,, A rezolva o problema imitānd metoda folosita īn rezolvarea unei probleme poate fi o treaba usoara , daca problemele sunt asemanatoare, mai grea sau imposibila , daca asemanarea nu este prea mare ."  

Nevoia , din partea rezolvitorului , de a crea metode este ceea ce deosebeste un exercitiu de o problema. Pe masura ce īsi īnsuseste modalitati de rezolvare generale si unitare , pentru rezolvitor unele probleme devin simple exercitii .

          Pentru un elev din ciclul primar , ,,Cum putem īmparti 96 de creioane la 24 de copii" poate fi o problema , dar pentru un elev de gimnaziu este un exercitiu de rutina : ,,Cāt este 96:24?" exersarea este un ajutor pretios īn īnvatarea matematicii . Exercitiile ne ajuta sa retinem concepte , proprietati , procedee care se pot aplica īn rezolvarea problemelor .

          Rezolvarea de probleme este o actiune continua īn ciclul primar si nu numai . Ea īncepe īnca din primele ore de matematica si se finalizeaza īn clasa aIVa prin rezolvarea de probleme utilizānd metoda figurativa , cu probleme care necesita mai mult de trei operatii .

Īnvatatorul care vrea sa imprime elevilor sai o atitudine corecta īn abordarea problemelor trebuie sa-si fi īnsusit el īnsusi o astfel de atitudine .

          Ce spune problema ? Ce este dat si ce trebuie aflat ? Ai determinat datele cunoscute? Sunt suficiente , sunt redundante ? Se poate gasi vreo legatura īntre problema noastra si o problema care se rezolva mai simplu ? Sau care se rezolva direct ? Acestea sunt īntrebarile care trebuie puse mai īntāi de īnvatatoare , apoi de elev siesi .

De cāte ori elevul se opreste din rezolvarea problemei recomanda acelasi George Polya:

,,Este o prostie sa raspundem la o īntrebare pe care nu o īntelegem . Este neplacut sa lucram īn vederea unui scop pe care nu ni-l dorim . Astfel de lucruri prostesti se īntāmpla adesea īn scoala si īn afara ei , dar īnvatatorul trebuie sa se straduiasca pentru a preīntāmpina producerea lor īn clasa."

          Īnvatatorul are īn fata o sarcina dubla cu laturi īn parte contradictorii . El trebuie sa puna pe elev deopotriva īn situatiile :

-         de a īnvata matematica ,

-         de a face matematica .

De aceea prima si cea mai importanta īndatorire a īnvatatorului īn predarea matematicii este de acorda atentia cuvenita metodologiei de rezolvare a problemelor , mai clar sa asigure experienta de gāndire īn toate genurile de ,,matematica" .

Directia principala pe care o urmareste orice bun īnvatator este aceea prin care transforma rezolvarea anumitor (tipuri de ) probleme īn cele din urma īn simple exercitii , asigurānd īn final elevilor o cunoastere perfecta si sigura a unor procedee de lucru .

Īnvatatorul trebuie sa rezolve el īnsusi foarte multe probleme . Dar acest lucru nu se poate face numai din obligatie profesionala . Adevaratul dascal are el īnsusi placerea de a rezolva problema , de a se entuziasma pentru cele ,,frumoase" , de a le pastra īn atentie si semnala altora .

Continua G. Polya : ,,A sti sa rezolvi problema este o īndemānare practica - o deprindere - cum este īnotul , schiul sau cāntatul la pian ; care se poate īnvata numai prin imitare si exercitiu . Daca vreti sa-i īnvatati pe copii īnotul , trebuie sa-i bagati īn apa , iar daca vreti sa-i īnvatata sa rezolve probleme , trebuie sa-i puneti sa rezolve probleme."

De asemenea īnvatatorul poate īnlocui recomandarea ,, rezolva cāt mai multe probleme" cu recomandarea ,,īnvata cāt mai mult din rezolvarea fiecarei probleme" !

Īn fapt , bunul īnvatator nu-i ,,īnvata" matematica pe elevii sai , ci īi provoaca prin probleme propuse spre rezolvare sa gāndeasca matematic , punāndu-i frecvent īn situatia de a ,,matematiza" aspecte reale din viata .

Pentru atingerea obiectivului - cadru ,, Dezvoltarea capacitatii de explorare / īnvatare si rezolvare de probleme" , prevazut īn programa scolara pentru finele clasei aIVa trebuie dezvoltate la copil urmatoarele capacitati :         

-         capacitatea de a īntelege semnificatia valorii numerice , datele problemei si a relatiilor ce se dau īntre elemente cunoscute ;

-         capacitatea de a īntelege conditia problemei , relatia ascunsa dintre datele problemei si necunoscuta (orice rationament va fi īndrumat pe calea īntāmpinarii necunoscutei) ;

-         capacitatea cuprinderii īn raza gāndirii nu doar a unor fragmente succesive pe care sa le puna cap la cap , ci a īntregului rationament de rezolvare a problemei.

Analiza problemelor este un capitol util pentru īnvatatorul care vrea sa faca schimbari īn predare , si anume īn trecerea de la ipostaza de transmitator de informatii la cea de organizator al unor activitati variate de īnvatare pentru toti copiii , īn functie de nivelul si ritmul propiu de īnvatare al fiecaruia .

Bazele psihopedagogice si metodologice ale rezolvarii problemelor

     Gāndirea ca proces de rezolvare a problemelor

A gāndi īnseamna a raspunde la diferite īntrebari , a opera cu notiunile , principiile si legile , dar mai ales a rezolva probleme . Problema este domeniul predilect al al probarii si afirmarii gāndirii . Īn sens general , problema se defineste ca obstacol de ordin informational - cognitiv pe care gāndirea īl īntālneste pe traiectoria sa de la o situatie initiala (A) catre situatia finala (B).

Īn plan subiectiv , acest obstacol se constientizeaza si se traieste īn forma unei tensiuni , a unei disonante , cu atāt mai puternice cu cāt disponibilitatile imediate de rezolvare sunt mai reduse . Īn definirea si evaluarea  unei probleme , trebuie sa tinem seama atāt de latura obiectiva ( cum este formulata si structurata sarcina ) , cāt si de cea subiectiva ( gradul de pregatire interna anterioara a subiectului īn raport cu tipul dat de sarcini ) . Pentru ca o situatie , considerata problema īn plan obiectiv , sa devina o problema si din punct de vedere psihologic , este necesar ca subiectul sa nu dispuna imediat de solutie , ci sa fie nevoit sa desfasoare o activitate intelectuala speciala , prin īncercari si erori , pentru aflarea rezultatului . O problema poate fi considerata cu atāt mai dificila si mai complexa , cu cāt subiectul trebuie sa efectueze un numar mai mare de explorari de īncercari si de operatii pentru gasirea rezultatului , si invers .

          Dupa gradul de structurare a modalitatii de abordare - rezolvare , problemele au fost īmpartite īn doua mari clase :

a)     probleme bine definite ;

b)    probleme slab definite .

Bine definite sunt considerate problemele a caror rezolvare poate fi fixata īntr-o schema operationala de tip algoritmic ( probleme de matematica ). Slab definite sunt problemele a caror rezolvare nu se preteaza la algoritmizare ( ex. Jocul de sah , elaborarea unei inventii , crearea unei opere literare ) .

          Rezolvarea oricarei probleme autentice are un caracter procesual , etapizat. Orientativ , desprindem urmatoarele etape sau faze mai importante :

a)     perceperea problemei , care poate fi corecta sau alterata , completa sau lacunara , aceasta conditionānd orientarea procesului rezolutiv īntr-o directie corecta sau īntr-una gresita ;

b)    formarea reprezentarii sau modelului intern , care devine premisa pentru organizarea si desfasurarea operatiilor rezolutive ;

c)     reformularea problemei , pentru aducerea ei īntr-o forma mai inteligibila si mai coerenta ; aceasta permite identificarea tipologica si faciliteaza alegerea metodei de rezolvare ;

d)    alegerea si aplicarea metodei ,metoda care poate fi algoritmica sau euristica ; problema este supusa efectiv transformarilor īn vederea gasirii solutiei ;

e)     verificarea rezultatului : daca este corect , procesul se stopeaza , daca se dovedeste eronat , se trece la descoperirea erorilor sau la alegerea altei metode de rezolvare .

          PROGRAMA DE MATEMATICĂ:

v    OBIECTIVE CADRU

2.Dezvoltarea capacitatilor de explorare /investigare si rezolvare de probleme

3.Formarea si dezvoltarea capacitatii de a comunica utilizānd limbajul matmatic

v    A.Obiective de referinta si exemple de activitati de īnvatare

Clasa I :

2.6. sa rezolve probleme care presupun o singura operatie dintre cele īnvatate

       - exercitii de analiza a partilor componente ale unei probleme ;

       - exercitii de adaugare sau extragere de elemente dintr-o multime de obiecte si exprimarea operatiei verbal si īn scris ; verificarea prin numarare ;

       - rezolvarea de probleme cu obiecte sau desene si verificarea prin numarare ;

       - rezolvarea de probleme de tipul a+b=x , a - b =x, īn care a,b sunt numere date;

2.7. sa formuleze oral exercitii si probleme cu numere de la 0 la 30

       - exercitii de transformare a problemelor pastrānd numerele neschimbate ;

       - schimbarea numerelor īntr-o problema data , cu pastrarea tematicii ;

       - exercitii de schimbare a componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;

       - formularea de probleme cu sprijin concret īn obiecte sau desene ;

       - formularea de probleme pornind de la o tema data ;

       - formularea de probleme pornind de la numere date ;

3.1. sa verbalizeze modalitatile de calcul folosite īn rezolvarea unor probleme practice si de calcul

       - exprimarea īn cuvinte proprii a modului de lucru folosit īn rezolvarea unor sarcini care solicita operarea cu obiecte , desene sau numere ;

      - exercitii de utilizare adecvata a limbajului matematic īn situatii cotidiene ;

      - exercitii de descriere a procedeelor utilizate pentru masurarea si compararea obiectelor .

Continuturile īnvatarii :

·        Probleme care se rezolva cu operatiile cunoscute (o operatie sau mai mult de o operatie *).

Clasa aIIa :

2.6. sa rezolve probleme care presupun o singura operatie dintre cele īnvatate

       - rezolvarea de probleme cu obiecte sau cu desene simple:puncte , cerculete , linii etc.;

       - rezolvarea de probleme cu date numerice ;

       - recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care cer efectuarea unor adunari sau scaderi (,,au fost si au mai venit" , ,,s-au pierdut");

       - corelarea expresiilor folosite īn situatii concrete cu operatiile aritmetice īnvatate ;

   *  sa rezolve probleme care presupun cel putin doua operatii de adunare sau scadere

2.7. sa formuleze , oral si īn scris , exercitii si probleme cu numere , care se rezolva printr-o singura operatie

       - formularea de probleme utilizānd tehnici variate :cu sprijin concret īn obiecte ; pornind de la o tema data ; pornind de la numere date ; fara sprijin;

       - exercitii de formulare a īntrebarilor posibile pentru enunturi date īn forme variate ;

          3.1. sa exprime oral , īn cuvinte proprii , etape ale rezolvarii unor probleme

                 - citirea enuntului unei probleme , redarea libera , cu voce tare , a enuntului ;

                 - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele si pasii de   rezolvare ai unei probleme ;

          Continuturile īnvatarii

·        Probleme care se rezolva printr-o operatie *Problemecare se rezolva prin cel putin doua operatii .

          Clasa aIIIa

          2.4. sa foloseasca simboluri pentru a pune īn evidenta numere necunoscute īn   rezolvarea de probleme

-         rezolvarea de exercitii variate care solicita aflarea unui numar

necunoscut notat īn diverse moduri ;

-         rezolvarea ecuatiilor : īn plan mental : rezolvarea unei probleme de tipul:

,,M-am gāndit la un numar , l-am adunat cu 3 si am obtinut 5.La ce numar m-am gāndit?" ; īn plan simbolic : descrierea unei secvente de tipul :     3+? =5 ;

-         codificarea unei īntrebari de tipul : ,,3 plus cāt este egal cu 5 ?" Aflarea numarului necunoscut se face prin īncercare , īnlocuire si verificare .Treptat , se recurge tot mai frecvent la modelul balantei ;

2.5. sa rezolve si sa compuna probleme de tipul : a+ b=x ; a+b+c=x ; axb=x ; a:b=x,b nu este egal cu 0  unde a,b,c, sunt numere naturale date mai mici decāt 1000, iar x este necunoscuta

        - recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor operatii de adunare , scadere , īnmultire , īmpartire (,,cu atāt mai mult" , ,,cu atāt mai putin" , ,,de atātea ori mai mult" , ,, de atātea ori mai putin" , ,,sunt n obiecte , cāte p pe fiecare rānd" , ,, se distribuie īn mod egal n obiecte la p persoane") ;

        - crearea de probleme utilizānd tehnici variate : cu sprijin concret īn obiecte pornind de la numere date ; fara sprijin ;

        - crearea de probleme pornind de la exercitii si invers ; transformarea problemelor īn exercitii ;

        - crearea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;

        - crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b=x ;      a-b=x ) ;

        - analiza partilor componente ale unei probleme ;

        - schimbarea componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;

        - transformarea problemelor de adunare īn probleme de scadere si invers , a celor de scadere īn probleme de adunare ;

        - schimbarea numerelor dintr-o problema data,cu pastrarea tematicii ;

        - transformarea problemelor pastrānd numerele neschimbate ;

        - analiza cuvintelor care sugereaza operatii aritmetice , inclusiv a celor derutante ;

        - stimularea cresterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competitii īntre elevi si probe date īntr-un interval de timp precizat initial ;

3.1. sa exprime clar si concis semnificatia calculelor facute īn rezolvarea unei   probleme

        - exercitii de transpunere a unor enunturi simple din limbaj matematic simbolic īn limbaj cotidian si invers .

Continuturile īnvatarii :

·        Probleme care se rezolva prin cel mult doua operatii ;

-*probleme care se rezolva prin mai mult de doua operatii  .

          Clasa aIVa

          2.5. sa rezolve si sa compuna probleme cu text

                 - recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care presupun

                    efectuare unor operatii de adunare , scadere , īnmultire , īmpartire ;

-         transpunerea unei situatii problema , īn limbaj matematic , īnlocuind numere necunoscute cu simboluri ;

-         analiza unor probeleme de tipul mentionat : identificarea datelor si a necunoscutelor , identificarea operatiilor prin care se ajunge la rezolvare , identificarea tipului problemei ( a formulei) ;

-         alcatuire de probleme ;

-         formularea de generalizari ale unor enunturi date ; crearea si rezolvarea unor probleme cu text , pe baza unor scheme , modele , reguli date ;

-         crearea de probleme utilizānd tehnici variate : cu sprijin concret īn obiecte pornind de la numere date ; fara sprijin ,

-         crearea de probleme pornind de la exercitii si invers ; transformarea problemelor īn exercitii ;

-         crearea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;

-         crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b= x; a - b = x ) ;

-         analiza partilor componente ale unei probleme ;

-         schimbarea componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;

-         transformarea problemelor de adunare īn probleme de scadere si invers , a celor de scadere īn probleme de adunare ;

-         schimbarea numerelor īntr-o problema data,cu pastrarea tematicii ;

-         transformarea problemelor pastrānd numerele neschimbate ;

-         analiza cuvintelor care sugereaza operatii aritmetice , inclusiv a celor derutante ,

-         stimularea cresterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competitii īntre elevi si prin probe date īntr-un interval de timp precizat initial ;

3.1. sa exprime pe baza unui plan simplu de idei , oral sau īn scis , demersul parcurs īn rezolvarea unei probleme

       - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele si pasii de rezolvare a unei probleme

Continuturile īnvatarii :

·        Probleme care se rezolva prin cel mult trei operatii .

·        Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

·        Probleme de estimare ; probleme care se rezolva prin īncercari .

·        Probleme de organizare a datelor īn tabele .

·        *Probleme care se rezolva prin mai mult de trei operatii .

·        *Probleme de logica si probabilitati .

Standarde de performanta

O.C.2

S7. Formularea si rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operatii

S8. Rezolvarea de probleme din alte discipline utilizānd limbajul matematic adecvat

S9. Folosirea corecta a unor modalitati simple de organizare si clasificare a datelor

S10. Realizarea de estimari pornind de la situatii practice

O.C.3

S12. Exprimarea orala si scrisa īntr-o maniera concisa si clara a modului de calcul si a rezultatelor unor exercitii si probleme

Capitolul II . METODOLOGIA REZOLVĂRII DE PROBLEME

         

II . 1 .  NOŢIUNEA DE ,, PROBLEMĂ"

          Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni din domenii diferite .

          Īn sens pshihologic , ,,o problema"este orice situatie , dificultate , obstacol īntāmpinat de gāndire īn activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat .

          Īn general , orice chestiune de natura practica sau teoretica care reclama o solutionare , o rezolvare , poarta numele de problema .

          Notiunea de problema nu este īntālnita numai īn matematica . Dupa cum afirma G. Polya ,,a avea ( sau a-ti pune ) o problema īnseamna īn mod constient o actiune adecvata pentru a atinge un scop clar conceput , dar nu imediat accesibil . A rezolva o problema īnseamna a gasi o asemenea actiune".

          Referindu-ne la matematica , prin problema se īntelege o situatie a carei solutionare se poate obtine esential prin procese de gāndire si calcul .

Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice sau a unui complex de situatii practice īn relatii cantitative si īn care , pe  baza valorilor numerice date si aflate īntr-o anumita dependenta unele fata  de altele si fata de una sau mai multe valori numerice necunoscute , se cere determinarea acestor valori necunoscute .  

          Īn activitatea teoretica si practica  omul īntālneste atāt situatii identice , īn a caror rezolvare aplica metode si procedee standardizate de tip algoritmic , dar si situatii noi pentru care nu gaseste solutii īn experienta dobāndita sau īntre mijloacele deja īnvatate . Cānd situatia poate fi rezolvata pe baza cunostintelor sau deprinderilor anterior formate , deci a unor solutii existente īn experienta cāstigata , elevul nu mai este confruntat cu o problema noua . Īn cazul situatiilor - problema  este nevoie de explorarea situatiei prin aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvitorul īn momentul respectiv , scopul fiind acela al descoperirii implicatiei ascunse , a necunoscutei , a elaborarii rationale a solutiei .

          Rezolvarea problemelor se face fie prin metode euristice , fie prin metode algoritmice .

          Metodele cu ajutorul carora se descopera noi mijloace de rezolvare , se construiesc planuri si programe nestereotipice , sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice . Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica se īnscrie atāt īn zona unor rezolvari stereotipice ( aplicarea aceleiasi metode de rezolvare īn situatii identice , cum este cazul la problemele tipice ) , cāt mai ales īn aceea a rezolvarii euristice .

Rezolvarea problemelor cu ajutorul algoritmilor usureaza mult munca rezolvitorului , aceasta reducāndu-se la recunoasterea tipului de problema si la aplicarea algoritmului corespunzator .

Īn felul acesta , gāndirea si activitatea rezolvitorului se pot concentra asupra altor aspecte , care solicita creativitatea īn mai mare masura . Abordarea algoritmica a problemelor are avantajul ca ne permite accesul la calculatorul electronic . Pentru a rezolva o problema cu un sistem de prelucrare automata a datelor trebuie parcurse urmatoarele etape :

-         formularea problemei ;

-         precizarea datelor de intrare / iesire ;

-         elaborarea schemei logice ;

-         elaborarea programului īn conformitate cu schema logica .

Odata introduse datele si programul īn calculator , acesta va opera asupra informatiilor si va comunica omului rezultatul . Evident ca o astfel de cale pentru rezolvarea problemelor este usoara , comoda , dar ea nu se poate aplica decāt unui numar infim de probleme , pentru care se poate elabora un algoritm de rezolvare . Dintre acestea , unele probleme tip de aritmetica .

Din cele aratate mai sus rezulta ca majoritatea problemelor trebuie rezolvate pe cale euristica . Rezolvitorul trebuie ca , tinānd seama de ceea ce cunoaste , sa afle solutia problemei . Procesul gāndirii īn activitatea de rezolvare a problemelor este deosebit de complex si cu greu se pot obtine date despre desfasurarea lui .

1.     O prima etapa este aceea de clarificare a enuntului , o trecere a acestuia prin prisma experientei anterioare a rezolvitorului .

2.     Urmeaza o a doua etapa , īn care rezolvitorul , folosindu-se de experienta anterioara , cauta mijloacele de rezolvare a problemei .

3.      Īn starea de tensiune care se creaza , apare ideea noua care conduce la rezolvare .

4.     Aceasta etapa este urmata de o alta si ultima , īn care ideea este concretizata , detailata si verificata .

 Viziunea asupra problemei evolueaza īn timp . Īn acest sens , G . Polya reprezinta evolutia viziunii asupra problemei : maturizarea subconstienta a problemei ; din punctul C īncepe activitatea constienta de rezolvare a problemei, urmeaza un punct de stagnare momentana , S . Punctul I care este un punct de inflexiune al curbei si īn care panta are un maxim , corespunde aparitiei ideii decisive , momentul de inspiratie .

          Īn cursul rezolvarii problemei , īn functie de experienta anterioara si de aptitudinile rezolvitorului , acesta poate aprecia stadiul īn care se afla rezolvarea, modul īn care ea evolueaza .  

Operatiile implicate īn rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya īntr-o schema :

                                                Izolare

                             recunoastere          regrupare

mobilizare                   previziune                organizare

                   reamintire              suplimentare

                                 combinare 

Rezolvarea īncepe cu mobilizarea īn vederea gasirii solutiei . Ea este īnsotita de recunoasterea unor aspecte cunoscute si de reamintirea unor definitii , teoreme . Are loc izolarea unui detalui , precum si combinarea detaliilor disparate . Urmeaza regruparea datelor si suplimentarea viziunii asupra problemei . Īn centrul acestor operatii se afla previziunea , īntrucāt toate operatiile mentionate urmaresc sa ne conduca spre solutie . Īn final se realizeaza organizarea , adica corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei .

                                                                                                 

Problema si exercitiu

          Īn general , īntre un exercitiu si o problema distinctia se face īn functie de prezenta sau absenta textului prin care se dau date si corelatii īntre ele si se cere , pe baza acestora , gasirea unei necunoscute .

Exercitiul ofera elevului datele ( numerele cu care opereaza si semnele operatiilor respective ) , sarcina lui constānd īn efectuarea calculelor dupa tehnici si metode cunoscute.

Problema  impune īn rezolvarea ei o activitate de descoperire . Textul problemei indica datele ,conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscute) si īntrebarea problemei , care se refera la valoarea necunoscuta .

Pe baza īntelegerii datelor si a conditieie problemei , raportānd datele cunoscute la valoarea necunoscuta , elevul trebuie sa construiacsa sirul de judecati care conduce la gasirea solutiei .

Deci , matematic vorbind , distinctia īntre exercitiu si problema nu trebuie facuta dupa forma exterioara a acestora , ci dupa natura rezolvarii . Clasificarea unor enunturi matematice īn exercitii si a altora īn probleme nu se poate face , īnsa , īn mod transant , fara a tine seama si de experienta de care dispune si pe care o poate utiliza cel care rezolva. Un enunt poate fi o problema pentru un copil din clasa I , un exercitiu pentru cel din clasa a IVa si doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician .

Pe masura ce elevul īsi īnsuseste modalitati de rezolvare mai generale si mai unitare, pe masura ce creste experienta lui īn rezolvarea problemelor , treptat , enunturi care constituiau pentru el probleme devin simple exercitii .

Efortul pe care īl face elevul īn rezolvarea constienta a unei probleme presupune o mobilizare a proceselor pshice de cunoastere , volitive si , firesc , motivational - afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitata si antrenata este gāndirea , prin operatiile logice de analiza , sinteza , comparatie , abstractizare si generalizare . Rezolvānd probleme , formam la elevi priceperi si deprinderi de a analiza situatia data de problema , de a intui si descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere īn problema . Īn acest mod , rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea si dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gāndirii , la sporirea flexibilitatii ei , a capacitatilor anticipativ - imaginative , la educarea perspicacitatii si spiritului de initiativa , la dezvoltarea īncrederii īn fortele proprii .

Rezolvarea de probleme de matematica contribuie la clarificarea , aprofundarea si fixarea cunostintelor īnvatate la acest obiect de studiu . Īn acelasi timp , explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme īn cadrul carora se subliniaza o proprietate , o definitie sau o regula ce urmeaza a fi īnvatate .

Īn cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea - īnvatarea matematicii īn ciclul primar , rezolvarea problemelor reprezinta o activitatea de profunzime , cu caracter de analiza si sinteza superioara . Ea īmbina eforturile mintale de īntelegere a celor īnvatate si aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative , inventive , totul pe fondul stapānirii unui repertoriu de cunostinte matematice solide ( notiuni , definitii , reguli , tehnici de calcul ) , precum si deprinderi de aplicare a acestora .

Valoarea formativa a rezolvarilor de probleme sporeste pentru ca participarea si mobilizarea intelectuala a elevilor la o astfel de activitate este superioara altor demersuri matematice , elevii fiind pusi īn situatia de a descoperi ei īnsisi modalitatile de rezolvare si solutia , sa formeze ipoteze si apoi sa le verifice , sa faca asociatii de idei si corelatii inedite .

Rezolvarea problemelor pune la īncercare īn cel mai īnalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor , le solicita acestora toate disponibilitatile psihice , īn special inteligenta , motive pentru care si īn ciclul primar programa de matematica acorda problemelor o mare atentie .

Prin rezolvarea problemelor de matematica elevii īsi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala , care se vor reflecta pozitiv si īn studiul altor discipline de īnvatamānt . Īn acelasi timp , activitatile matematice de rezolvare si compunere de probleme  contribuie la īmbogatirea orizontului de cultura generala al elevului prin utilizarea īn continutul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de īnvatamānt . Este cazul informatiilor legate de distanta , viteza , timp , pret de cost , plan de productie , norma de productie , cantitate , dimensiune , greutate , arie , durata unui fenomen etc.

Problemele de aritmetica , fiind  strāns legate prin īnsusi enuntul lor de viata , de practica , dar si de rezolvarea lor , genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic , formāndu-le deprinderea de a rezolva si alte probleme practice pe care viata le pune īn fata lor . Rezolvarea sistematica a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi , deprinderi si atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva īn mod independent probleme , de a compune ei īnsisi probleme .

Prin continutul lor , prin tehnicile de abordare si solutionare utilizate , rezolvarea problemelor de matematica conduce la formarea si educarea unei noi atitudini fata de munca , a spiritului de disciplina constienta , dar si a spiritului emulativ , a competitiei cu sine īnsusi si cu altii . Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative , al conduitei rezolutive .

Etapele rezolvarii problemelor

Introducerea elevilor īn activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenāndu-i īn depunerea de eforturi marite pe masura ce īnainteaza īn studiu si pe masura ce experienta lor rezolutiva se īmbogateste. Astfel , odata cu īnvatarea primelor operatii aritmetice (de adunare si scadere ) se īncepe rezolvarea pe cale orala si pe baza de intuitie , a primelor probleme simple . Treptat , elevii ajung sa rezolve aceste probleme si īn forma scrisa. Un moment de salt īl costituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.Varietatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mintal si eficinta formativa a activiatii de rezolvare a problemelor . Trebuie sa delimitam īnsa doua situatii īn rezolvarea problemelor , situatii care solicita īn mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor :

a ) - Cānd elevul are de rezolvat o problema asemanatoare cu cele rezolvate anterior sau o problema-tip ( care se rezolva prin aceeasi metoda , comuna tuturor problemelor de tipul respectiv ).Īn acest caz elevul este solicitat sa recunoasca tipul de problema caruia īi apartine problema data . Prin rezolvarea unor probleme care se īncadreaza īn aceeasi categorie , avānd acelasi mod de organizare a judecatilor , acelasi rationament , īn mintea elevilor se fixeaza principiul de rezolvare a problemei , schema mintala de rezolvare . īn cazul problemelor tipice , aceasta schema se fixeaza ca un algoritm de calcul , algoritmul de rezolvare a problemei .

b ) - Īn cazul cānd elevul īntālneste probleme noi , necunoscute , unde nu mai poate aplica o schema mintala cunoscuta , gāndirea sa este solicitata īn gasirea caii de rezolvare ; experienta si cunostintele de rezolvare , desi prezente , nu mai sunt orientate si mobilizate spre determinarea categoriei de probleme si spre aplicarea algoritmului de rezolvare . Elevul trebuie ca , pe baza datelor si a conditiei problemei , sa descopere drumul spre aflarea necunoscutei . Īn felul acesta realizeaza un act de creatie , care consta īn restructurarea datelor propriei sale experiente si care este favorizat de nivelul flexibilitatii gāndirii sale , de capacitatea sa combinatorica si anticipativa . Īn rezolvarea unei probleme , lucrul cel mai important este construirea rationamentului de rezolvare , adica a acelui sir de judecati orientate catre descoperirea necunoscutei .

          Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape . Īn fiecare dintre aceste etape , datele problemei apar īn combinatii noi , reorganizarea lor la diferite nivele ducānd catre solutia problemei . Este vorba de un permanent proces de analiza si sinteza ( prin care elevul separa si reconstituie , desprinde si construieste rationamentul care conduce la solutia problemei ) , de o īmbinare aparte a analizei cu sinteza , caracterizata prin aceea ca diferitele elemente luate īn consideratie īsi dezvaluie mereu noi aspecte ( analiza ) īn functie de combinatiile īn care sunt plasate ( sinteza ) .

          Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea si formularea unor ipoteze si verificarea lor . Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspiratii , ci presupune atāt un fond de cunostinte pe care elevul le aplica īn rezolvarea problemelor , cāt si o gama variata de deprinderi si abilitati intelectuale necesare īn procesul rezolvarii problemelor . Diferitele ipoteze         ( enunturi ipotetice care ne vin īn minte īn legatura cu problema pusa ) nu apar la īntāmplare . Ele iau nastere pe baza asociatiilor , pe baza cunostintelor asimilate anterior . Cu cāt cunostintele sunt mai   profunde , cu atāt sansele ca ipotezele care se nasc īn mintea rezolvitorului īl conduc mai repede la o solutie , cu cāt fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat cu atāt solutia este mai buna . De aceea , īn orice domeniu , capacitatea de a rezolva probleme complexe este conditionata de o solida pregatire de specialitate , dar si de cultura generala.

          Īn rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici , procedee , moduri de actiune , deprinderi si abilitati de munca intelectuala independenta . Astfel sunt necesare unele deprinderi si abilitati cu caracter mai general cum sunt : orientarea activitatii mintale asupra datelor problemei , punerea īn legatura logica a datelor , capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut , extragerea acelor cunostinte care ar putea servi la rezolvarea problemei precum si unele deprinderi specifice referitoare la detaliile actiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).

          Cu toata varietatea lor , problemele de matematica nu sunt independente , izolate , ci fiecare problema se īncadreaza īntr-o anumita categorie . Prin rezolvarea unor probleme care se īncadreaza īn aceeasi categorie , avānd acelasi mod de organizare a judecatilor , deci acelasi rationament , īn mintea copiilor se contureaza schema de rezolvare , ce se fixeaza ca un algoritm sau un semialgoritm de lucru , care se īnvata , se transfera si se aplica la fel ca regulile de calcul . Aflarea caii de rezolvare a unei probleme este mult mai usurata īn cazul īn care elevul poate subsuma problema noua unei categorii , unui tip determinat de probleme , deja cunoscute . Dar aceasta subsumare se poate face corect numai daca elevul a īnteles particularitatile tipice ale categoriei respective, rationamentul rezolvarii ei , daca o poate descoperi si recunoaste īn orice conditii concrete s-ar prezenta problema ( domenuil la care se refera , marimea si natura datelor etc.).

          De o mare importanta īn rezolvarea problemelor este īntelegerea structurii problemei si a logicii rezolvarii ei .

          Elevul trebuie sa cuprinda īn sfera gāndirii sale īntregul ,, film" al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential , pe care apoi sa-l generalizeze la īntreaga categorie de probleme . Pentru a ajunge la generalizarea rationamentului comun al unei categorii de probleme , elevii trebuie sa aiba formate capacitatile de a analiza si de a īntelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de orienta logic sirul de judecati catre īntrebarea problemei .

          Cānd se rezolva o problema compusa , aparent elevul rezolva pe rānd mai multe probleme simple . Īn esenta , nu este vorba de probleme simple care se rezolva izolat . Acestea fac parte din structura problemei compuse , rezolvarea fiecareia dintre ele facāndu-se īn directia aflarii necunoscutei , fiecare problema simpla rezolvata reprezentānd un pas īnainte , o veriga pe calea rationamentului problemei compuse , de natura sa reduca treptat numarul datelor necunoscute .

          Īn activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape . Īn fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei , pe baza activitatii de orientare a rezolvitorului pe drumul si īn directia solutiei problemei .

          Aceste etape sunt :

A.   - Cunoasterea enuntului problemei

B.    - Īntelegerea enuntului problemei

C.   - Analiza problemei si īntocmirea planului logic

D.   - Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din plan logic

E.    - Activitati suplimentare :

-         verificarea rezultatului

-         scrierea sub forma de exercitiu

-         gasirea altei cai sau metode de rezolvare

-         generalizare

-         compunere de probleme dupa o schema asemanatoare

A.Cunoasterea enuntului problemei

          ,,O problema bine īnteleasa este pe jumatate rezolvata" Eugen Rusu

Este etapa de īnceput īn rezolvarea oricarei probleme . Cunoasterea enuntului probleme se realizeaza prin citire de catre īnvatator sau de elevi sau prin enuntare orala . Se va repeta problema de mai multe ori , pāna la īnsusirea de catre toti elevii . Se vor scoate īn evidenta anumite date si legaturile dintre ele , precum si īntrebarea problemei . Se vor scrie pe tabla si pe caiete datele problemei ( folosindu-se scrierea pe orizontala sau pe verticala ) .

          B. Īntelegerea enuntului problemei

Nu este posibil ca elevul sa formuleze ipoteze si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei decāt īn masura īn care cunoaste termenii īn care se pune problema .Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii .Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor , a analizei si sintezei , precum si a generalizarilor ce se fac treptat pe masura ce se īnainteaza spre solutie . Īntrebarea problemei indica directia īn care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor . Acest minimum de informatii trebuie receptionat īn mod optimal de catre elevi prin citirea textului problemei , prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni cānd este cazul .

          C. Analiza problemei si īntocmirea planului logic

Este etapa īn care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei .

          Aceasta este etapa īn care se ,, construieste" rationamentul prin care se rezolva problema , adica drumul de legatura dintre datele problemei si necunoscuta . Prin exercitiile de analiza a datelor , a semnificatiei lor , a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute  se ajunge sa ne ridicam de la situatiile concrete pe care le prezinta problema la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si īntreg .

          Transpunānd problema īntr-un desen , īntr-o imagine sau īntr-o schema evidentiem esenta matematica a problemei , adica reprezentarea matematica a continutului ei . Īn momentul īn care elevii au transpus problema īn relatii matematice , solutia este ca si descoperita .

          D. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic

Aceasta etapa consta īn alegerea si efectuarea calculelor din planul de rezolvare , īn constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale ce se obtin prin calculele respective si , evident , a rezultatului final .

E. Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei

Ea consta īn verificarea solutiei problemei , īn gasirea si a altor metode de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune . Este etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului īn care s-a īnsusit enuntul problemei , asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs .

          Dupa rezolvarea unei probleme se recomanda - pentru a se scoate īn evidenta categoria din care face parte problema - fixarea algoritmului ei de rezolvare , scrierea ( transpunerea ) datelor problemei si a relatiilor dintre ele īntr-un exercitiu sau , dupa caz , īn fragmente de exercitiu . Prin rezolvarea de probleme asemanatoare , prin compunerea de probleme , cu aceleasi date sau schimbate dar rezolvabile dupa acelasi exercitiu , īnvatatorul descopera cu elevii schema generala de rezolvare a unei categorii de probleme . Este o cerinta care nu duce la schematizarea , la fixitatea sau rigiditatea gāndirii , ci , din contra , la cultivarea si educarea creativitatii , la antrenarea sistematica a intelectului elevilor .

          Procesul de rezolvare a problemelor antreneaza īn sistem elementele ajunse la automatizare , dar mai ales coreleaza elemente a caror actiune trebuie sa ramāna īn permanenta sub controlul constiintei . Abilitatile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general , adica intra īn actiune la rezolvarea oricarei probleme , fie specifice si se aplica la probleme tipice , ori la detaliile actiunilor ( procedee de calcul ) si , īn acest caz , au statut de deprinderi .

          Sarcina principala a īnvatatorului cānd pune īn fata elevilor o problema este sa-i conduca pe acestia la o analiza profunda a datelor , analiza care sa le permita o serie de reformulari care sa-i apropie de solutie . E necesara analiza datelor īn special datorita lipsei unei vederi de ansamblu ( a perspectivei ) asupra problemei si constientizarii īntregului rationament de rezolvare a acesteia .

          O problema este cu atāt mai   dificila cu cāt ea difera mai mult de problemele rezolvate anterior , deci cu cāt situatia noua cere o restructurare mai profunda a experientei anterioare .

Retorica etapelor rezolvarii unei probleme :

1.Īntelegerea problemei

a) Īntelegerea enuntului problemei īn ansamblul sau , fara a avea īn vedere detaliile .

b) Separarea partilor principale ale problemei si reprezentarea lor (daca este posibil) printr-un desen conventional .

Dupa G . Polya , partile principale ale unei ,,probleme de aflat" sunt: datele , necunoscuta si conditia ; ale unei ,,probleme de demonstrat" sunt:ipoteza ( ceea ce se da )si concluzia ( ceea ce trebuie demonstrat) . 

c)Examinarea fiecarei date , fiecarei componente a necunoscutei , fiecarei clauze a conditiei .

          Avansarea unor ipoteze asupra solutiei :

-         Poate fi satisfacuta conditia ?

-         Este conditia suficienta pentru a determina necunoscuta ?

-         Sau este insuficienta ?

-         Sau redundanta ?

-         Sau contradictorie ?

Puneti-va aceste īntrebari pentru problemele :

1 . ,,Cāt costa 1 kg de orez si cāt costa 1 kg de faina , daca 2 kg de orez si 3 kg de faina costa 1840 lei , iar 3 kg de orez si 2 kg de faina costa 1835 le ?"

2 . ,,2 kg de orez si 3 kg de faina costa 1840 lei . S-a cumparat orez si faina īn valoare de 1835 lei . Cāt costa 1 kg din fiecare produs ?"

3 . ,, Cāt costa 1 kg de orez si cāt costa 1 kg de faina daca 2 kg de orez si 3 kg de faina costa 1840 lei , iar 4 kg de orez si 6 kg de faina costa 2940 lei ?"

4 . ,, Pretul unui kg de orez este cu 5 lei mai mic decāt al unui kg de faina . Pentru 2 kg de orez si 3 kg de faina s-au platit 1840 lei . Cāt costa 1 kg din fiecare produs , daca alta data pentru 3 kg de orez si 2 kg de faina s-au platit 1835 lei ?"

          Īn prima problema conditia este suficienta pentru determinarea solutiei ; īn a doua problema conditia este insuficienta pentru determinarea solutiei            (problema are o infinitate de solutii , este nedeterminata) ; īn a treia problema conditia este contradictorie , iar īn a patra , conditia este redundanta(contine date de prisos) .   

2.Īntocmirea unui plan

- Problema se īncadreaza īntr-unul din tipurile studiate ?

Daca da , trebuie sa ne amintim metoda prin care se rezolva problemele de tipul respectiv .

Daca nu , recurgem la metodele generale de rationament : analiza si sinteza .

a)Metoda analizei consta īn a face rationamentul problemei pornind de la necunoscuta la date .

- Sa cercetam necunoscuta !

- Din ce marimi rezulta ea ?

- Cum pot fi deduse aceste marimi ? ( si asa mai departe pāna ajungem la datele problemei).

          b) Metoda sintezei consta īn a face rationamentul problemei pornind de la date spre necunoscuta .

- Am putea deduce ceva util din datele problemei ?

- putem folosi rezultatul obtinut pentru a afla noi marimi utile īn rezolvarea problemei ? ( si asa mai departe pāna ajungem la necunoscuta).

Indiferent prin ce metoda facem rationamentul problemei , planul rezolvarii se face de la date spre necunoscuta !

Planul rezolvarii unei probleme de aritmetica trebuie sa constituie o īnlantuire de probleme simple , astfel īncāt solutia ultimei dintre ele sa fie solutia problemei date !

3 . Realizarea planului

Se efectueaza succesiv operatiile care conduc la solutiile problemelor simple cuprinse īn planul de rezolvare .

- Au fost utilizate toate datele ?    

          4 . Privire reptrospectiva      

          a) Apreciere generala asupra rezultatului .

          - Poate constitui aceasta solutia problemei ?

          b) Verificarea rezultatului : Se īnlocuieste solutia īn problema si se verifica enuntul .

          c) Cautarea altor cai de rezolvare a problemei :

          - Se putea rezolva problema pe alta cale ?

          - Exista o cale mai directa de rezolvare ?

          d) Concluzii :

          - Ce am īnvatat rezolvānd problema ?

          - Ce-mi poate fi de folos īn rezolvarea altor probleme ?

          - Pot face generalizari ?

          - Sunt particularizari ?

          II.2. Criterii de clasificare a problemelor de aritmetica

          Adoptam , dupa G.Polya , o prima clasificare a problemelor īn probleme ,,de aflat" si probleme ,,de demonstrat". Aceasta clasificare este inspirata dintr-o traditie care dureaza īnca de la Euclid , termenul de problema ,, de aflat" corespunzānd celui de problema , iar cel de problema ,,de demonstrat" corespunzānd termenul de theorema.

          Scopul unei probleme ,,de aflat" este de a gasi necunoscuta problemei . Scopul unei probleme ,,de demonstrat" este de a arata ca o anumita asertiune este adevarata sau falsa . Uneori , cele doua operatii - de aflare si de demonstrare - se pot īntālni īn aceeasi problema . Īn matematicile elementare predomina ,,problemele de aflat" .

          Dupa numarul operatiilor necesare aflarii solutiei , problemele de aritmetica se clasifica īn doua mari grupe : probleme simple si probleme compuse . Se numesc simple problemele īn care solutia se obtine printr-o singura operatie aritmetica , iar compuse - problemele a caror rezolvare se face cu doua sau mai multe operatii aritmetice .

          Dupa scopul imediat pe care īl urmaresc ( aplicarea unei reguli sau teoreme , dezvoltarea judecatii , formarea deprinderilor de calcul ) problemele se clasifica īn :

1 . Exercitii ;

2 . Probleme teoretice ;

3 . Probleme practice ;

4 . Probleme artificiale ;

5 . Probleme  recreative .

          Exercitiile sunt probleme usoare , formulate de obicei cu date mici , care servesc pentru aplicarea unei reguli , a unei teoreme demonstrate la ora de curs , sau pentru a pune īn evidenta unele proprietati ale numerelor si operatiilor". De fapt , daca tinem seama ca rezolvarea unei probleme implica o dificultate , exercitiile n-ar trebui sa fie īncadrate printre probleme .

          Probleme teoretice . ,,Problemele care sunt mai grele decāt exercitiile si care urmaresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecata , asimilarea temeinica a cunostintelor teoretice din aritmetica , aflarea diferitelor proprietati ale numerelor si formarea gustului pentru studiul matematicilor , se numesc probleme teoretice" .

          Probleme practice . ,,Problemele care contin date luate din lumea īnconjuratoare legate de procesul de productie , asa cum se desfasoara el īn realitate īn uzine , pe ogoare , īn laboratoare , aplicatii tehnice , din calcule financiare , din comert etc...., se numesc probleme practice".

          Probleme artificiale . Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor sa aplice o metoda , sa foloseasca anumite reguli sau procedee de calcul . Autorul unei asemenea probleme se straduieste ca datele si problema īnsasi sa fie cāt mai aproape de realitate .

          Citez din lucrarea lui Gh.A.Chitei o problema artificiala : ,,O vulpe urmarita de un ogar are un avans de 49 sarituri īnaintea lui . Dupa cāte sarituri ogarul va ajunge vulpea , stiind ca el face sase sarituri īn timp ce vulpea face sapte sarituri , iar trei sarituri ale ogarului fac cāt patru ale vulpii ?"

          De ce este artificiala aceasta problema ? Pentru ca o persoana nu poate numara īn acelasi timp numarul sariturilor facute de vulpe si ogar , iar pe de alta parte acestea nu au o marime constanta . Totusi , problema este instructiva , prin rationamentul care conduce la rezolvare .

          Probleme recreative . ,,Problemele care contin chestiuni distractive, cu toate ca īn rezolvare a lor cer rationamente riguroase din punct de vedere matematic , se numesc probleme recreative".  

CRITERII :

         

a) dupa numarul de operatii  - simple

          - compuse

b) dupa gradul de generalitate  - generale

                                                  - tipice

                                                  - recreative

c) dupa sfera de aplicabilitate  - teoretice 

                                                 - practice

d) dupa continut  - de miscare

                            - amestec si aliaj

                            - geomatrie

                            - algebra

e) dupa modul de implicare al creativitatii  - demonstrativ-aplicative

                                                                     - reproductiv creative

                                                                     - euristic creative

                                                                     - de optimizare

f) dupa rolul de implicare īn procesul didactic  - formativ

                                                                           - informativ

PROBLEME SIMPLE . PROBLEME COMPUSE

         

Rezolvarea problemelor simple

          Primele probleme simple sunt acelea pe care si le pune copilul zilnic īn scoala , īn familie , īn timpul jocului si care sunt ilustrate cu exemple familiare lui .Pentru a-i face sa vada īnca din clasa I utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor este necesar ca micii scolari sa īnteleaga faptul ca īn viata de toate zilele sunt situatii cānd trebuie gasit un raspuns la diferite īntrebari . Īn aceasta perioada de īnceput , activitatea de a rezolva si compune probleme se face numai pe cale intuitiva . De aceea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub forma de joc si au caracter de probleme-actiune si carora li se asociaza un bogat si variat material didactic intuitiv . Rezolvarea lor se realizeaza la un nivel concret , ca actiuni de viata ( au mai venit ...,s-au spart .... , au plecat ...., i-a dat..., au māncat ....) . Activitatea de rezolvare se afla aproape de aceea de calcul, dificultatea principala pe care o īntāmpina elevii consta īn transpunerea actiunilor concrete īn relatii matematice . Acum elevii sunt familiarizati cu termenul de ,,problema" , ,,īntrebarea problemei" , ,,rezolvarea problemei", ,,rezultatul problemei".

          Introducerea īn rezolvarea problemelor simple se face īnca din perioada pregatitoare primelor operatii . Īnvatatorul se foloseste de ,,probleme actiune"care dupa ce au fost puse īn scena vor fi ilustrate cu un desen schematic.

          Desi rezolvarile de probleme simple par usoare , īnvatatorul trebuie sa aduca īn atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o operatie aritmetica .

          Care sunt , īn esenta , aceste tipuri ?

·        Probleme simple bazate pe adunare pot fi :

-         de aflare a sumei a doi termeni ;

-         de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decāt un numar dat;

-         probleme de genul ,,cu atāt mai mult" .

·        Probleme simple bazate pe scadere pot fi :

-         de aflare a diferentei , a restului ,

-         de aflare a unui numar care sa aiba un numar de unitati mai putine decāt un numar dat ;

-         de aflare a unui termen atunci cānd se cunosc suma si un termen al sumei ;

-         probleme de genul ,,cu atāt mai putin" ;

-         probleme de aflare ,,cu cāt este mai mare / mai mic" un numar decāt altul .

·        Probleme simple bazate pe īnmultire sunt , īn general:

-         de repetare de un numar de ori a unui numar dat ;

-         de aflare a produsului ,

-         de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decāt un numar dat .

·        Probleme simple bazate pe īmpartire pot fi :

-         de īmpartire a unui numar dat īn parti egale ;

-         de īmpartire prin cuprindere a unui numar prin altul ;

-         de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decāt un numar dat ;

-         de aflare a unei parti dintr-un īntreg ;

-         de aflare a raportului a doua numere ;

-         de cāte ori este mai mare / mai mic un numar fata de altul .

Īn general dificultatea frecventa consta īn confundarea operatiei ce trebuie efectuate .Se recomanda abordarea unei mari varietati de enunturi .

          Prin procedeele folosite se urmareste nu o īnvatare a problemelor , ci formarea capacitatilor de a domina varietatea lor . Prin rezolvare elevii ajung sa opereze īn mod real cu numere ,sa faca operatii de compunere si descompunere , sa foloseasca strategii si modele mintale anticipative .

Rezolvarea problemelor compuse      

Rezolvarea acestor probleme nu īnseamna rezolvarea succesiva a unor probleme simple . Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusa constituie dificultatea principala īntr-o problema cu mai multe operatii, ci legatura dintre verigi , construirea rationamentului .

Examinarea unei probleme compuse se face , de regula , prin metoda analitica sau sintetica . Cele doua metode se pot folosi simultan sau poate sa predomine una sau alta , caz īn care metoda care predomina īsi impune specificul asupra cailor care duc la gasirea solutiei . Atāt o metoda cāt si cealalta constau īn descompunerea problemei date īn probleme simple care , prin rezolvare succesiva , duc la gasirea solutiei finale . Deosebirea dintre ele costa , practic , īn punctul de plecare al rationamentului . prin metoda sintezei se pleaca de la datele problemei spre gasirea solutiei ei , iar prin metoda analizei se pleaca de la īntrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice īntre ele .

Īn practica s-a stabilit ca metoda sintezei este mai accesibila , dar nu solicita prea mult gāndirea elevilor . Mai mult , se constata ca unii elevi pierd din vedere īntrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare īn gasirea solutiei peoblemei . Metoda analitica pare mai dificila , dar solicita mai mult gāndirea elevilor si , folosind-o , īi ajuta pe copii sa priveasca problema īn totalitatea ei , sa aiba mereu īn atentie īntrebarea ei .

Odata cu analiza logica a problemei se formuleaza si planul de rezolvare . Planul trebuie scris de īnvatator pe tabla si de elevi pe caiete , mai ales la rezolvarea primelor probleme . Īn clasa I , planul problemei se īntocmeste la īnceput oral , treptat se scrie . Forma īn care se scrie planul este variata .

O atentie deosebita trebuie sa acorde īnvatatorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare , deoarece se cultiva mobilitatea gāndirii , creativitatea , se formeaza simtul estetic al elevilor . Formarea priceperilor de a gasi noi procedee de rezolvare constituie o adevarata gimnastica a mintii , educāndu-se astfel atentia , spiritul de investigatie si perspicacitate al elevilor . De multe ori elevii nu sesizeaza de la īnceput existenta mai multor cai de rezolvare . Sarcina īnvatatorului este aceea ca prin maiestria sa pedagogica,prin analiza īntreprinsa cu clasa , prin īntrebari ajutatoare ,sa-i determine pe elevi sa gāndeasca si alte modalitati de rezolvare .

Alt procedeu are la baza ca modalitate de rezolvare folosirea modelului logico-matematic obtinut prin etape succesive :

,,Modelul ofera elevului posibilitatea sa vada unitar structura unei probleme , sesizānd organizarea interna a continutului ei . Elaborarea modelului īn forme si modalitati dintre cele mai variate - cu cerculete ,cu patrate , cu litere, cu cuvinte , cu prescurtari ,este un instrument ajutator īn rezolvarea problemei . prin alcatuirea modelului , elevul parcurge o etapa de gāndire , patrunde īn procesul de rezolvare , probeaza ca a īnteles structura logica a con'inutului problemei , īsi exerseaza gāndirea divergenta , creatoare , precum si abilitatile de compunere de probleme ."

O categorie de probleme careia īnvatatorul trebuie sa-i acorde o atentie deosebita este aceea īn care datele sunt īn relatii de ,,cu atāt mai mare /mai mic" sau ,,de atāteaori mai mare / mai mic" . Pentru elevii din clasa aIIa īn special , aceste notiuni au caracter abstract si daca nu face o analiza foarte atenta a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute . Dificultatea consta mai ales īn faptul ca o marime se ia de mai multe ori : a+(a+b) ; a - (a - b); a+a x  b ; a - a:b ; a+(a+b)+(a+c) si daca elevul nu si-a īnsusit notiunile respective le va neglija , deci nu le va mai lua īn calcul a doua sau , dupa caz , a n-a oara , sau , elevul īn aceste situatii nu stie cum sa procedeze .

          Īn aceste cazuri se recomanda descompunerea problemei compuse īn probleme simple si apoi recompunerea din acestea a problemei initiale .

          Īn analiza problemelor este bine sa nu se foloseasca  totdeauna datele concrete asa cum sunt ele prezentate , explicāndu-se copiilor ca acestea pot fi altele īntr-o alta problema sau situatie-problema.

          Rezolvarea problemelor dupa un plan de rezolvare necesita de multe ori folosirea schemelor , desenelor , graficelor , iar pentru formarea unei gāndiri sintetice , formule numerice sau literale . Daca atunci cānd se predau operatiile aritmetice se insista asupra notarii cu litere a termenilor si factorilor , daca operatiile aritmetice sunt scrise la modul general si se cere elevilor sa rezolve si sa compuna probleme simple de aflare a unui termen , a unui factor , a sumei , diferentei , produsului , cātului , sa mareasca , sa micsoreze o cantitate de atātea ori - folosind formule literale , elevii nu vor mai īntāmpina greutati mari īn actiunile de schematizare si generalizare a unei probleme compuse printr-un exercitiu numeric sau formula literala .

          Rezolvarea problemelor tip ( standard )  

O īncercare de a pune ,,ordine" īn multitudinea problemelor de aritmetica, o posibila clasificare a problemelor de aritmetica :

I - Probleme cu operatiile relativ evidente .

Sunt problemele cel mai des īntālnite īn manualele din clasele I-IV . Acestea sunt : A.Probleme simple .

                                B.Probleme compuse .

Ca metode de rezolvare sunt , īn principal , doua :

- metoda analitica si metoda sintetica .

          II - Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

          III - Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la acelasi termen al comparatiei )

          IV - Probleme de presupunere ( metoda falsei ipoteze )

          V - Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers )

          VI - Probleme de amestec si aliaje cu doua variante :

A.   De categoria I

B.    De categoria aIIa

VII - Probleme de miscare ( bazate pe relatia d=vxt ) , cu doua variante :

A.   Īn acelasi sens

B.    Īn sensuri contrare

VIII - Probleme cu marimi proportionale , cu doua variante :

A.   Īmpartirea unui numar īn parti direct proportionale

B.    Īmpartirea unui numar īn parti invers proportionale

C.   Īmpartirea unui numar īn parti care luate perechi formeaza rapoarte date

IX - Probleme care , depinzānd de alcatuirea īntrebarii si de date , rezolvate si īncadrate la categoriile specificate mai sus , dar cu continut specific :

                   A.Probleme cu continut geometric

                   B.Probleme cu continut de fizica

                   C.Probleme asupra actiunii si muncii īn comun

          X.Probleme nonstandard ( recreative , rebusistice , de perspicacitate , probleme - joc etc.)

          Prin  problema - tip  īntelegem acea constructie matematica a carei rezolvare se realizeaza pe baza unui anumit algoritm specific fiecarui tip . O asemenea problema se considera teoretic rezolvata īn momentul īn care i-am stabilit tipul si suntem īn posesia algoritmului de rezolvare .

Voi prezenta īn continuare o clasificare a problemelor tipice si pentru fiecare tip o metoda de rezolvare . Pentru identificarea metodei ( algoritmului ) voi rezolva ,, model" unele dintre cele mai semnificative probleme apartinānd unui anumit tip .

Problemele pentru fiecare tip urmaresc īn primul rānd consolidarea metodei (algoritmului), iar la alte probleme care sunt mai complexe si pot contine īn enuntul lor doua sau mai multe tipuri diferite de probleme,rezolvitorul trebuie sa stabileasca ce tipuri anume apar īn enunt si apoi sa le rezolve corespunzator   .

          Nu suntem adeptii unor sabloane , pentru ca rezolvitorii s-ar putea transforma īn niste roboti , posesori ai unor cartele pe care sunt imprimati algoritmii si sarcina lor ar fi doar sa stabileasca tipul , sa ,,traga" cartele corespunzatoare si sa le adapteze datelor problemei . Īnsa un rezolvitor de probleme trebuie sa fie , pe lānga un bun specialist al matematicii , si un tip creator , novator , īntreprinzator - calitati disjuncte ale ,,robotului" , īn sensul clasic al cuvāntului .                                      

          Rezolvarea problemelor tip pe cale aritmetica presupune cunoasterea metodei specifice aplicabila tipului respectiv .

Sa trecem īn revista principalele probleme tip :

a)Probleme de aflare a doua numere cānd se cunoaste suma si diferenta lor

          Aceste probleme sunt de forma :

Suma a doua numere a si b ( a >b ) , este s, iar diferenta lor este d . Sa se afle cele doua numere .

          Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentāndu-se prin segmente cele doua numere si punāndu-se īn evidenta suma si diferenta lor .

                                   d

a   |-------------------|--------|

                                              } s

b   |-------------------|

Se ajunge la concluzia ca numarul mai mare este egal cu semisuma dintre s si d , iar numarul mai mic este egal cu semidiferenta lor :

                   a=s+d     ,           b= s - d  

                           2                           2

          Aceste formule nu trebuie sa se aplice mecanic , ci sa se faca apel la imaginea intuitiva a relatiei dintre cele doua numere .

          Probleme de suma si diferenta sunt si problemele de forma : Suma a doua numere este S , daca din primul se scade a' si din al doilea b' , se obtin numere egale . Care sunt cele doua numere ?

                                    a'

a  |---------------|---------------------|

                                                          } s

b  |---------------|------|

                           b'

Īn cazul acesta diferenta celor doua numere este egala cu a' - b' . Pentru problemele de suma si diferenta se poate face si urmatoarea generalizare :

          Suma a  n  numere este  s , diferenta dintre al doilea si primul este  d 1 , diferenta dintre al treilea si primul este d 2  , diferenta dintre ultimul numar si primul este  d n -1 . Care sunt numerele ?

          Folosind metoda figurativa ,

          Obtinem  a 1  =  ( d1 + d2 + .... + dn-1  )

                                               n

a1  |---------------|

                             d1

a2  |---------------|------|

                                     d2

a3  |---------------|--------------|

...........................................................

                                    dn-1

an   |---------------|--------------------------|

 

b)Probleme de aflare a doua numere cānd se cunoaste suma si raportul lor

          Aceste probleme sunt de forma : suma a doua numere a si b este s , iar raportul lor este  r . Sa se afle aceste doua numere .

          Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentānd prin segmente cele doua numere si punānd īn evidenta relatiile dintre ele .

a   |-----|

                                                  } s

b   |-----|-----|-----|-----|-----|

Se obtine :   b =     s    ,             a =     s  . r

                           r+1                       r+1  

c)Probleme de aflare a doua numere cānd se cunoaste diferenta si raportul lor

          Enuntul problemelor de acest tip este de forma :

Diferenta a doua numere a si b ( a >  b ) este d , iar raportul dintre ele este  r . Care sunt cele doua numere ?

          Rezolvam problema facānd apel la metoda figurativa .

b  |-----|

a   |-----|-----|-----|-----|

            |___________|

                       d

observam :  b =  d    ,    a =   d  . r         pentru r # 1

                          r-1              r-1

pentru r=1 consideram cazurile :

          1) d= 0, atunci numerele sunt egale

              avem nedeterminare

          2) d# 0 , imposibilitate

         

d)Probleme de eliminare a necunoscutei prin suma sau diferenta

          Rezolvarea acestor probleme revine la rezolvarea unui sistem de forma :

          (1)     x + y = a                    x-y=a

                 265   

b |----------|

I . Rezolvarea explicativa initiala

a ) Primul mod : prin eliminarea partii neegale din suma data

          1p+1p=2parti egale

          265 - 17= 248 ( reprezinta marimea a doua parti egale )

          248 : 2 = 124( marimea unei parti )

          124 x 1 = 124 ( marimea lui b )

          124 x 1 + 17 = 141 ( a )

b ) Rezolvarea tipica ( propunere )

          265 - 17 = 248 ( 2p egale )

          248 : 2 = 124 ( 1p)

          b = 124 x 1

          b= 124

          a= 124 x 1 + 17

          a = 141

Verificare

          a + b = 141 + 124 = 265 ( suma )

          a - b = 141 - 124 = 17  ( diferenta )

II . Al doilea mod : prin completarea numarului mic cu marimea diferentei , suma marindu-se cu aceasta diferenta

a ) Rezolvarea explicativa initiala :

a |----------------|

                            } 265

b |----------|.......|

                    17

          265 + 17 = 282 ( reprezinta marimea a doua parti egale )

          282 : 2 = 141 ( marimea unei parti )

          141 x1= 141 ( a )

          141 - 17 = 124 ( b )

          Dupa formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor prin metoda figurativa de aflare a doua numere cānd se cunoaste suma si diferenta lor , se poate aplica formula de aflare

Astfel :

Numarul mare = ( S + D ) : 2

Numarul mic = ( S - D ) : 2

PROBLEMĂ

Daca se asaza cāte doi elevi īntr-o banca ramān 14 elevi īn picioare . Daca asezam cāte 2 elevi īntr-o banca ramān 3 banci libere . Cāti elevi si cāte banci sunt ?

-         datele sunt marimi discrete ( banci si elevi ) , care se pot pune īn corespondenta dupa criterii desprinse din analiza textului ; figuram fie cu desen ( dreptunghiuri si cerculete ) , fie cu litere ( banca cu B, elevul cu e ) :Obtinem grupe de forma :

situatia de la īnceput

e        e        e        e        e        e        e        e

B       B       B       B       B       B       B       B     14 elevi

                                                                                                                  e

Daca īi asezam cāte doi īntr-o banca , deci alcatuind grupe de forma  B e  

Vom realiza :

e        e        e        e        e                           e        e

B       B       B       B       B............................B      B

e        e        e        e        e                           e                           14 elevi

Avem deci :

e        e        e        e                  e                  e        e

B       B       B       B..................B                  B.......B

e        e        e        e                  e                  e        e

|__________________________|                   |_____|

                14                                                      nu stim cāte

e        e        e                           e                  e        e        e

B       B       B............................B               B       B       B       B       B       B

e        e        e                           e                  e        e        e                 

|__________________________|                   |__________|          |___________|

                 14 B                                                      3B                             3B

TOTAL  14 B +3B+3B=20 B

1X20 +14 =34 ELEVI

PROBLEMĂ

Īntr-un vas de fructe sunt de trei ori mai multe prune decāt mere . La masa sunt patru persoane . Fiecare din ele īsi ia cāte un mar si cāte o para . Ramān īn vas de 4 ori mai multe prune decāt mere . Cāte prune si cāte mere au fost la īnceput?

Figuram marul cu M si pruna cu p . Situatia de la īnceput ar arata astfel :

          p        p        p        p        p                 p        p

          Mp    Mp    Mp    Mp    Mp..............          Mp    Mp

          p        p        p        p        p                 p        p

Cele patru persoane īsi iau cāte un mar si o pruna .

Figuram ce a ramas :

          p        p        p        p        p                 p        p

                                                   Mp................Mp         Mp

          P       p        p        p        p                 p        p       

Deci au ramas 8 prune ,,izolate"si grupe de cāte un mar cu cāte 3 prune fiecare .

Īn partea a doua a problemei , enuntul ne indica faptul ca ramān īn vas de 4 ori mai multe prune decāt mere , deci suntem obligati sa realizam grupe de forma

                                      P

                             P       M      P

                                          P

Cum  obtinem acest lucru ? ,,Obligānd" cāte o pruna sa treaca la o grupa de cāte un mar si cu cāte 3 prune pentru a completa pāna la 4 prune fiecare grupa : Observam ca cele 8 prune vor completa 8 grupe PPMPP , adica 8 mere , deoarece īn fiecare grupa se afla cāte un mar .

Asadar īn vas ramān 8 mere dupa ce cele patru persoane au servit cāte un mar . La īnceput au fost 8+4=12 mere  si de trei ori mai multe prune decāt mere , deci 12x3= 36 prune .

          Rezolvarea si compunerea de probleme de aflare a unor numere consecutive necesita cunoasterea unor notiuni si aplicarea lor . Spre exemplu elevii trebuie sa stie sa scrie forma generala :

-         a numerelor consecutive ;

-         a numerelor consecutive pare sau impare ;    

Aceasta metoda figurativa devine ,,o ghicitoare foarte atractiva" pentru elevii claselor primare atunci cānd li se cere sa compuna probleme . Prin joc ei respecta relatiile si conditiile observate pe desen , utilizānd īn acelasi timp teoria si limbajul matematic corespunzator (doua numere consecutive pare sau impare , a trei numere consecutive  pare sau impare ) .

v    Metoda dublului raport

Problema dublului raport are la baza matoda figurativa si se desfasoara ae trei etape :

1.     etapa initiala ;

2.     etapa transformarilor ;

3.     etapa finala ( a celui de - al doilea raport )

Rezulta ca exista un raport initial , apoi un alt raport final .

Cerinte metodice :

I . se vor face cāteva exercitii de īmpartire īn grupe pe valori cunoscute ;

II. pentru vizualizarea corecta a relatiilor dintre date este bine ca etapa initiala sa contina un numar de grupe pe partea finala īncāt sa asigure vizualizarea dupa etapa de transformare ;

III. simbolurile pentru elementele din grupe sa contina de obicei literele cu care īncep , evitam aceeasi litera

PROBLEMĂ

Īntr-un vas sunt de trei ori mai multe prune decāt mere . Daca se iau 4 mere si 4 prune , īn vas ar ramāne de 4 ori mai multe prune decāt mere . Cāte prune si cāte mere sunt ?

Notam p - prune si m - mere

Raport initial 

                                                               p

P |-----|-----|-----|      grupe 1 mar si trei prune           m  p

m|-----|                                                                              p

Aflarea numarului de grupe e dat de numarul de mere

I .     m ppp .......mppp            mppp                 mppp    mppp     mppp

II . m ppp .......mppp                ppp              ppp       pp        __

III. ppmpp .......ppmpp

Schema de rezolvare :

-         sa vada ca īn raportul final al doilea raport e 1 la 4

-         grupele si-au mantinut prunele

-         grupa finala a aparut prin completarea grupelor cu cāte 1 pruna

1)     cāte prune sunt pentru completarea grupelor ? 3+3+2=8prune

2)     cāte grupe vor completa 8 prune ? 8 grupe

3)     care e numarul total de grupe ? 8+4=12

4)     1x12=12mere    3x12=36prune

PROBLEMĂ

Un elev are de 5 ori mai multi porumbei decāt iepuri . Daca ar cumpara 4 iepuri si 8 porumbei el ar avea de 4 ori mai multi porumbei decāt iepuri .

Raportul initial - mai mare

Raportul final - mai mic

I . ippppp.......ippppp

                                                                               *       *        *

II. ippppp.......ippppp        ippppp     ippp     i         i    

|__________9 grupe __________________|

III. ppipp ........ppipp          ppipp        ppipp    ppipp    ppipp

       |_______________________________|

completam

1) cāti porumbei ne trebuie pentru completarea grupelor ?

                  1+4+4=9      raportul 1 la 4

2) cāte grupe sunr cele care se vor completa cu cei 9 porumbei ?

                     9:1 = 9 grupe

3) cāte grupe sunt initial ?

                   9-1=8

nr. Iepuri 1x8=8             nr . porumbei 5x8=40

Experimente īntreprinse īn scopul studierii eficientei metodelor folosite īn rezolvarea problemelor

          Experimentele īntreprinse īn scopul studierii eficientei metodelor folosite īn  rezolvarea problemelor se refera la :

          1 . Utilizarea fiselor ;

          2 . Recunoasterea tipului caruia īi apartine o problema ;

          3 . Alcatuirea unei probleme de un anume tip ,

          4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode . 

 

          1 . Utilizarea fiselor

          Un prim rezultat pe care l-am obtinut īn utilizarea fiselor este cel al unei participari active a elevilor la descoperirea si īnsusirea metodei speciale de rezolvare a unui tip de probleme . Acest lucru a stat la baza trainiciei cunostintelor elevilor .

          Īn general fisele folosite pentru studiul unui tip de probleme contin trei parti : o problema , indicatii asupra rezolvarii si rezolvarea . Elevul trece la partea urmatoare numai dupa ce o rezolva pe precedenta . Pentru aceasta cele trei parti ale unei fise ( problema , indicatii , rezolvarea ) pot fi prezentate separat . Nu toate fisele contin solutii , ci doar īntrebari care-i conduc pe elevi la aflarea solutiei .

FIsĂ

Problema

O gospodina a facut dulceata de prune si de gutui . Cantitatea de dulceata de prune este cu 8 kg mai mare decāt cea de gutui , iar cea de gutui este de 9 ori mai mica decāt cea de prune .

          Cāte kg de dulceata a facut din fiecare ?

1. Rezolva problema

2. Indicatie : De cāte ori se cuprinde cantitatea de dulceata de gutui īn diferenta dintre cantitatea de dulceata de prune si cea de gutui ?

3. Solutie : Reprezentam cantitatile de dulceata de prune si de gutui prin prin doua segmente care sa respecte relatiile din problema .

                    8 kg                            cantitatea de dulceata de gutui se cuprinde

pr. |--|--|--|--|--|--|--|--|--|                                    de 8 ori īn diferenta

g.  |--|                                                    celor doua cantitati de dulceata

Rezolvare

Proba

4. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5. Alcatuieste o problema de acelasi tip cu problema data .

FIsĂ

Problema

Īntr-un depozit erau 963 kg de zahar si de orez . Cantitatea de orez era de 8 ori mai mare decāt cea de zahar . Cāte kg de zahar si cāte kg de orez erau īn depozit?

1 . Rezolva problema .

2 . indicatie : De cāte ori cantitatea de zahar se cuprinde īn cantitatea totala de zahar si orez ?

3 . Solutie : Reprezentam cantitatile de zahar si de orez prin doua segmente (unul de opt ori mai mic decāt celalalt) .

z. |--|

                                      } 963

o. |--|--|--|--|--|--|--|--|  

Cantitatea de zahar se cuprinde īn cea totala de zahar si orez  de 9 ori

4 . Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5 . Alcatuieste o problema de acelasi tip cu problema data .

FIsĂ

Problema

Un camion a parcurs īn doua zile 453 km . Īn prima zi a mers cu 211 km mai putin decāt īn a doua zi . Cāt a mers īn fiacare zi?

1 . Rezolva problema

2 . Indicatie : Folosind matoda figurativa , reprezinta spatiul parcurs de camion īn cele doua zile prin doua segmente .

I  |----------|

                              } 453 km

II |----------|------|

                    211

Observam ca , daca scoatem din spatiul total parcurs īn cele doua zile spatiul parcurs īn plus a doua zi fata de prima , obtinem de doua ori spatiul parcurs īn prima zi . Deci :

1)  I =453 - 211                              2) II =453 - 211

                 2                                                       2

Explica rezolvarea .

3. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

4 . Alcatuieste o problema de acelasi tip cu problema data .

          2. Recunoasterea tipului caruia īi apartine o problema sau a metodei aplicabile constituie o conditie necesara a folosirii algoritmului de rezolvare a problemelor tip . Dau , mai jos , doua teste folosite īn acest scop .

TESTUL A

Indicati de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

1 . Un camion a parcurs īn 560 km . Sa se afle cāt a parcurs īn fiecare zi , daca īn prima zi a parcurs cu 160 km mai mult decāt īn a doua zi ?

          2 . Īntr-o scoala sunt 396 elevi . Numarul elevilor dintr-o clasa este de 10 ori mai mic decāt numarul total al elevilor din celelalte clase . Cāti elevi sunt īn clasa respectiva ?

          3 . Un elev cumpara 3 carti si 2 caiete si plateste 962 lei . Altadata , pretul ramānānd acelasi , pentru 8 carti si 10 caiete plateste 3410 lei . Care este pretul unei carti si al unui caiet ?

          4 . Trei copii au cules o cantitate de nuci . Unul din ei a īmpartit nucile prin numarare īn trei parti egale si si - a luat o parte . La fel a procedat fiecare copil cu nucile ramase dupa operatia facuta de predecesorul sau si au ramas la urma 48 nuci . Cāte nuci au fost la īnceput ?

          5 . Īntr-un vas sunt de 5 ori mai multe prune decāt mere . Daca se mai adauga īn vas doua mere si se scot 14 prune , īn vas ramān de 3 ori mai multe prune decāt mere . Cāte prune si cāte mere au fost ?

          6 . Un tata este cu 39 ani mai mare decāt fiul sau , iar peste 7 ani va avea de 4 ori vārsta fiului sau . Cāti ani are fiecare ?

         

TESTUL B

Indicati de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

          1 . Trei obiecte , notate cu A , B , C , costa īmpreuna 14 880 lei . stiind ca B costa cu 4950 lei mai putin decāt A si cu 3720 lei mai mult decāt C , sa se afle cāt costa fiecare .

          2 . Īntr-o livada sunt 28 de pomi , meri si pruni . Numarul prunilor este de trei ori mai mare decāt al merilor . Cāti pomi sunt de fiecare fel ?

          3 . O carte are cu 225 pagini mai mult decāt o brosura , iar numarul paginilor brosurii este de 10 ori mai mic decāt cel al cartii . Cāte pagini are cartea si cāte are brosura ?

          4 . Mama si fiica au īmpreuna 109 ani . Sa se afle cāti ani are fiecare , stiind ca mama este cu 31 ani mai īn vārsta decāt fiica .

          5 . Pentru 2 kg de zahar si 5 kg de orez s-au platit 3615 lei . Alta data , preturile , ramānād aceleasi , pentru 2 kg de zahar si 3 kg de orez s-au platit 2885 lei . Cāt a costat 1 kg de zahar si cāt a costat 1 kg de orez ?

          6 . Am o suma de bani . Dublez aceasta suma si iau dupa aceea din ea 20 lei . Suma obtinuta astfel o dublez iarasi si iau din ea din nou 20 lei . A treia oara, dublez suma ramasa , iau din ea 20 lei si nu mai ramāne nimic . Cāt a fost suma de la īnceput ?

3. Alcatuirea de probleme de un tip dat

          Prin alcatuirea de catre elevi a unui numar de probleme de un tip dat am urmarit doua scopuri : īnsusirea caracteristicilor problemelor de tipul studiat si a metodei de rezolvare ; īnsusirea tehnicii de alcatuire a unei probleme , a partilor principale pe care orice problema trebuie sa le cuprinda ( date , necunoscuta , conditie ) . Elevilor li s-a dat ca tema alcatuirea de probleme tip , īn general dupa o lectie īn care s-a īntreprins studiul tipului respectiv de probleme . De asemenea am īntreprins si actiunea de durata mai īndelungata a īmpartirii elevilor unei clase pe colective care sa redacteze probleme de un anume tip , īn scopul alcatuirii unei culegeri de probleme .

          Problemele alcatuite de elevi demonstreaza , īn general , ca ei stiu sa formuleze o problema de un tip dat . Cel mai usor formuleaza probleme care se rezolva prin metoda figurativa , iar dintre acestea problemele numerice ( datele sunt  numere naturale ) sunt la īndemāna elevilor de clasa a patra .     

          4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode constituie un prilej de dezvoltare a creativitatii gāndirii elevilor . Iata doua probleme care se pot rezolva prin mai multe metode :

          1 . Un centru de legume si fructe a vāndut struguri cu 220 lei kg si cu 240 lei kg . Cāte kg de struguri de fiecare fel a vāndut acest magazin daca a īncasat suma de 13680 lei pe cantitatea totala de 60 kg ?

2. La un magazin alimentar sunt doua calitati de mere . Prima calitate se vinde cu 140 lei kg , iar a doua cu 118 lei kg . Cāte kg trebuie sa se ia din fiecare calitate pentru a se forma un amestec de 110 kg care sa se vānda cu 133 lei kg ?

          Elevii au rezolvat aceste probleme prin metodele : falsa ipoteza , figurativa , algebrica sau īncadrādu-le īn categoria problemelor de eliminare a unei necunoscute prin suma .

          9 . Concluzii

          Pornind de la analiza aspectelor psihologice ale activitatii de rezolvare a problemelor , am scos īn evidenta necesitatea promovarii unui īnvatamānt activ īn īnsusirea de catre elevi a metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetica . Īn acest scop , punctul de plecare īn studiul unei metode l-a constituit munca independenta pe baza de fise . Urmata de discutii si concluzii deduse sub īndrumarea īnvatatorului aceasta activitate constituie baza unei īnsusiri temeinice a cunostintelor de catre elevi . Continutul fiselor de munca independenta īn rezolvarea problemelor este redat īn ,,Caietul de initiere īn rezolvarea problemelor de aritmetica" anexat lucrarii . Experimentele īntreprinse precum si observatiile zilnice asupra rezultatelor muncii elevilor īn rezolvarea  problemelor de aritmetica scot īn evidenta superioritatea metodelor folosite fata de metodele clasice .

         

                   Capitolul IV .

ACTIVITATE DE CERCETARE sI METODICĂ

IV . 1 . PROIECT DE CERCETARE

1 . TIPUL  CERCETĂRII

Cercetare :

Ų     De didactica (īn functie de cele doua domenii principale ale pedagogiei);

Ų     Experimentala (īn functie de metodologia adoptata );

Ų     Teoretico - fundamentala si practic - aplicativa (īn functie de scopul si complexitatea problemei);

Ų     De sinteza (īn functie de componentele structurale ale actiunii educative) .

 

2 . OPERAŢIONALIZAREA 

     INDICATORILOR  OBSERVABILI

Indicatorul 1:

Institutul de stiinte ale Educatiei si Ministerul Educatiei si Cercetarii elaboreaza si experimenteaza la nivel national noul plan de īnvatamānt, noile programe analitice si a manualelor alternative pentru īnvatamāntul primar .

Actiunea 1: Pilotaj , titlul proiectului ,, Experimentarea noilor programe si manuale de matematica" .

Instrumente de lucru:

- programa de continut de tip curricular de matematica;

- planificarea de inovatie ;

- modalitati proprii de abordare si aplicare creatoare a continutului manualului si a altor materiale auxiliare ;

- strategii de īnvatare īn vederea maximalizarii performantelor si competentelor elevilor .

Indicatorul 2:  

Aplicarea creatoare a programei analitice si manualului pentru clasa aIVa din viziunea ,,clasa a patra - chintesenta īnvatamāntului primar" .

Introduc ca obiectiv specific - recapitularea si sistematizarea : scop , mijloc si tehnica de evaluare īn acelasi timp .

Actiunea 2:

Studiu de caz :Verificarea experimentala a introducerii organizatorului cognitiv (rezolvarea de probleme - metode )īn predarea - īnvatarea , consolidarea , recapitularea si sistematizarea , evaluarea la matematica , clasa aIVa .

Experimentul s - a desfasurat .

Instrumente de lucru:

- planificarea calendaristica la disciplina matematica ;

- analiza structurii logice a continutului manualului;

- proiecte de lectii īn variante;

- fise de dezvoltare cu sarcini diferentiate ca obiective , continut , realizare pe grupe de nivel (omogene) .

3 .   ,,PAsI"

ĪN CONCEPEREA , ELABORAREA , PERFECŢIONAREA sI EVALUAREA CERCETĂRII  PEDAGOGICE , sTIINŢIFICO-METODICE

Formularea ipotezei initiale (intuitiv) :

1. atragerea colaboratorilor care exprima ,,teoria",dar si ,,practica educationala" , ,,inovatia procesului de īnvatamānt" , ,,arta predarii - īnvatarii - evaluarii" , dar si ,, stiinta" proiectarii pedagogice .

2. initierea īn metode de explorare organizata a realitatii si anume

 metoda experimentala dubla - element nou !  

Ų     experiment cu caracter de cercetare (descoperire);

Ų     experiment aplicativ (pedagogic).

3. cunoasterea noilor intrari si iesiri īn/din sistem ;mutatii spre īnvatamāntul formativ presupune inversarea raporturilor , trecerea de la conceptia potrivit careia o programa de īnvatamānt sa arate ,,ce" trebuie īnvatat , la una care pune accentul pe ,,cum" trebuie īnvatat ; ,,ce" sa fie subordonat lui ,,cum" (cunostinsele predate - formarii de capacitati ale intelectului) .

4. elaborarea programelor de continut de tip curricular .

Reforma programelor ridica īntrebarea - problema ,,īn ce fel sa se īntocmeasca programe dupa care īnvatatori obisnuiti sa predea unor elevi obisnuiti si care , īn acelasi timp , sa reflecte principiile de baza sau fundamentale ale diferitelor domenii ale cercetarii ?                                Problema e dubla : mai īntāi , cum sa fie revizuit materialul de predat īn asa fel īncāt ideile forta si atitudinile legate de ele sa capete un rol central ; īn al doilea rānd , cum sa echilibreze materia de īnvatamānt cu capacitatea elevilor care dispun de aptitudini diferite si frecventeaza grade de īnvatamānt diferite" (Bruner ) .

          ,,Ideile forta" sunt acelea care constituie ,,structura disciplinei" . Dupa Bruner ,,structura optima se refera la un ansamblu de propozitii din care poate genera un corp mai īntins de cunostinte, caracteristic fiind faptul ca configurarea unei asemenea structuri depinde de progresul realizat īntr -un anumit domeniu al cunoasterii . Deoarece perfectiunea structurii depinde de puterea ei de simplificare a informatiei , de generare de propozitii noi si de amplificare a corpului de cunostinte , structura trebuie sa fie raportata īntotdeauna la situatia de īnzestrare a elevului . Privita din aceasta prisma , structura optima a unui corp de cunostinte nu este absoluta , ci relativa." (Bruner).

5. formarea formatorilor care sa tina pasul cu aceste modernizari preconizate de reforma , prin :

a)efort de proiectare si de ,,executie"- aplicarea creatoare  a programelor existente ;

b)elaborarea planificarilor de inovare care includ trei tipuri de studiu: diagnoza-previziune-prospectiva.

6. acceptarea unei mai īntinse colaborari cu alte cadre didactice si schimbarea structurii relatiilor dintre ei privind activitatea de cercetare - experimentare , care asigura o baza mult mai buna pentru concluzii documentate asupra tehnologiei predarii , decāt pura speculatie nesprijinita pe vreo comparatie obiectiva ca urmare a asistentei la unele ,,lectii demonstrative" .

7. diversificarea functiilor īnvatatorului īn raport cu organizarea continutului disciplinelor de īnvatamānt necesita o abordare responsabila , critica , originala , īn functie de stilul caracteristic sau de variabilele specifice personalitatii sale , realizānd sisteme de lectii cu un maximum de utilizare a tehnologiei  didactice moderne care - l conduc pe elev sa īnvete cum sa īnvete si sa - si faureasca propria personalitate īn functie de idealul sau educational .

8. individualizarea īnvatarii īn asa fel īncāt sa cunoastem cum progreseaza elevii atāt īn ceea ce priveste propriile lor potentialuri(constientizarea realista a statutului nostru intelectual relativ , este un fapt de viata la care noi toti trebuie īn cele din urma sa ne adaptam ).

9. dobāndirea unor reguli superioare de operare eficienta īntr - un ansamblu de idei dat (stilul) , fie printr - un mod de predare , fie prin efort propriu .

          Proiectele actuale care īncearca sa analizeze si sa predea stilul īn mod explicit , oricāt de dezirabil ar fi acest lucru , nu trebuie sa neglijeze si sa nege fantasticul potential creator al elevului .

Examinare (preliminara) a criteriilor   

-         operationalizarea obiectivelor (performante , competente) ;

-         identificarea unor puncte slabe (adica a neputintei de a produce rezultate satisfacatoare īn legatura cu unele teluri de atins īn comportamentul elevilor ) ;

Exemplu :   Culegerile de probleme .

Auxiliarele didactice .

                    Forme de munca intelectuala independenta  .

                    Calculatorul . Limbajul instruirii programate .

                    Informatizarea scolilor .

Programul AEL - lectii pe computer .

-         determinarea ordinii de prioritate pentru īmbunatatirile care ar putea fi

īncercate :

1.     introducerea notiunilor de problema si rezolvare a problemelor prin metode aritmetice  ;

2.     alegerea strategiilor de predare-īnvatare-evaluare ;

3.     realizarea manualelor alternative diferentiate īn functie de aptitudinea matematica (speciala);

  

Examinarea (preliminara) a variabilelor independente

          Fie dat un anumit continut din programa si manualul de matematica pentru clasa a patra , am decis ca notiunile uzuale ale acestei discipline ar trebui examinate prin prisma aplicabilitatii lor la problema gasirii metodei  ,,optime" .

          Formularea ipotezei initiale

          Stabilirea testului criterial general prin care eu am pus problema specifica: ,, Ce metoda s - ar putea folosi spre a maximaliza performantele elevului la acest test si la acest obiect (pe termen lung) ?"

          Identificarea interactiunilor presupuse :

Īntre :

-         metoda organizatorului cognitiv  si metodele A ;B ; C ;

-         cele trei variante de lectie si stilul de munca intelectuala al elevului;

-         strategii didactice colective si strategii didactice cu sarcini diferentiate: pe grupe , individual ;

-         cele trei variante de lectie si evaluarea (personalitatea);

-         stilul (bazat pe activitatea personala a elevilor si cel dialogat) si mijloace de īnvatamānt ;

-         coeficientul de inteligenta si īnvatarea creatoare ;

-         coeficientul de inteligenta si grupele valorice de nivel - materii  , diferentiate prin modul de instruire ;

-         elevi - elevi (care apartin unor colective diferite de care se separa pentru a se grupa īntr - un colectiv nou , cu obiectiv comun de īnvatare) .

Definirea variabilelor criteriale

-         1 nivel de aptitudine matematica speciala ;

-         3 ( 4 ) niveluri de performanta : īntelegere , aplicare , rezolvare de probleme , ( creativitate ) ;

-         1 nivel de personalitate ( extravertiti - introvertiti cu rezultate bune );

-         Am redus numarul variabilelor criteriale la exemplul cel mai simplu de realizat  1 x 3 x 1 = 3 grupuri experimentale .

 Definirea tratamentelor 

Inspectia cauzala a vastului cortegiu de variabile cu care s - ar putea opera demonstreaza ca numarul de tratamente distincte este limitat de capacitatea noastra inventiva .

          Deci , drept rezultat al documentarii si refletiei preliminare , sunt selectate ca posibile cai de actiune urmatoarele tratamente :

Introducerea organizatorului cognitiv , ca metoda

( ilustreaza principiul diferentierii progresive si serveste aceasta functie īn raport cu orice tema sau subtema fata de care este utilizat )

ORGANIZATORUL  COGNITIV al acestui experiment este reprezentat de īntrebarea  pe care ne - o punem aici ce metoda folosim īntr - o :

-         lectie de predare īn care am introdus un organizator cognitiv expozitiv;

-         lectie de consolidare īn care am introdus un organizator cognitiv comparativ;

Raspunsul īl vom primi īn urma experimentului aplicat .

Studiu de caz :

 

Verificarea experimentala a introducerii metodei organizatorului cognitiv la trei metode :

Metoda A - care pune accentul pe exersarea gāndirii si a exprimarii logice ,

matematice  (adica armonizare integrativa);

Metoda B - care pune accentul pe (metoda)  exploratorie

                      (adica pe reguli de interferenta);

Metoda C - care pune accentul pe predarea strategiilor de rezolvare a

                      problemelor . 

                   Imaginea proiectului experimental :

Plan de determinare a influentelor variabilelor independente asupra rezultatelor la testul criterial

 

Niveluri de performanta

Organizatorul cognitiv comparativ

1. Īntelegere

Ideea - ancora :

specia(problema) discriminare dintre doua probleme aproape identice , sa distinga problema tip  ;

2. Aplicatie

Ideea - ancora :

Probleme metoda figurativa - desprinderea algoritmului

3. Rezolvare

          de

     probleme

Limbaj matematic  

Ideea- ancora :

-limbajul obisnuit / limbajul matematic ;

-cuvinte cheie , notatii , indice ;

-citirea si interpretarea desenului;

-realizarea planului de rezolvare ;

Metode

de

rezolvare

a

problemelor

Ideea - ancora :

-probleme prin metoda figurativa,categorii ;

-alte probleme , dar care se rezolva tot prin metoda figurativa ;

Joc didactic

Ideea - ancora :

-cunostintele,judecatile, deprinderile,priceperile matematice sub forma de joc ;

-rezolvare de probleme - munca suplimentara

4. Creativitatea

Ideea - ancora :

Disponibilitatile pentru alegerea temei

                   Organizarea experimentului

3 Variante de lectie :

Ų     Metoda A - LECŢIE MIXTĂ

-         grupa experimentala nr . 1 - LIMBAJ MATEMATIC

 

Ų     Metoda B - LECŢIE MIXTĂ

-         grupa experimentala nr . 2 - METODA FIGURATIVĂ

 

Ų     Metoda C - LECŢIE MIXTĂ

-         grupa experimentala nr . 3 - JOC DIDACTIC

3 Tipuri de sarcini didactice :

- colectiv ;

- īn grup ;

- individual .

Tip de īnvatare :

-         īnvatare prin descoperire bazat pe activitatea personala a elevilor .

 

Īnvatare  inovatoare

 

Īntelegerea - organizator cognitiv cu sarcina didactica colectiva ;

Aplicatia - organizator cognitiv cu sarcina didactica individuala ;

Rezolvarea de probleme - organizator cognitiv cu sarcina didactica diferentiata pe grupe .

Transferul īnvatarii   

 

Īn acest tip de experiment , organizatorul cognitiv este diferentiat pe grupe dupa modul de instruire .

Deci , transferul īnvatarii este orizontal , deoarece avem subiecti cu aceleasi aptitudini .

v    Verticalitatea implica diferentierea subiectilor īn functie de aptitudinea intelectuala generala (inteligenti , mediocri , slabi) , modul de instruire fiind acelasi pentru toti , iar diferentierea are loc la evaluarea produselor . Ne - am obisnuit sa le spunem acestora grupe diferentiate, matricea lor aratānd astfel :

                             a n             b n         c n

                                .                 .              .

                                     .                 .              .

                                     a"              b"           c"

                                       ,                 ,              ,                                    

                                     a                b             c

                                     a                b             c 

                                                             

 Figura matricei ,, verticale"

         

Ori acest fapt nu īl punem īn discutie atāta timp cāt el se afla īn prezent īn actiune : manuale pentru cultura generala īn trunchi comun .

 

Pe noi tocmai modelul orizontal ne intereseaza .  

v    Orizontalitatea implica diferentierea subiectilor īn functie de aptitudinea intelectuala specifica (exemplu : verbala) , grupele de nivel - materii , matricea lor aratānd astfel :

                                                      ,

                                      a  . . . . . a . . . . . a" . . . . . a n

                                                       ,      

                                       b . . . . .  b . . . . .b" . . . . . b n

                                                        ,

                                        c . . . . .  c . . . . .c" . . . . . c n

                                                       

 Figura matricei ,,orizontale"

         

Acest tip de inteligenta necesita un mod de instruire special si confrm aptitudinilor , evident ca de aici rezulta necesitatea unei masuratori adecvate si un program .

Pentru acesti elevi experimentam programe si manuale alternative , pentru acesti elevi trebuie sa ridicam barierele anilor scolari si ale claselor traditionale si sa le deschidem drumul pe care singuri au stiut sa si - l aleaga !

          Identificarea populatiei tinta

-         test standard de determinare a aptitudinilor mintale generale (colectiv);

-         test standard de determinare a aptitudinilor mintale specifice (colectiv sau individual);

-         selectarea esantionului reprezentativ .

Selectarea populatiei tinta esantion :

 

-         criteriul nr. 1 : rezultatele la testarea aptitudinilor matematice ;

-         criteriul nr. 2 : optiunea ;

-         criteriul nr. 3 : personalitatea (extravertiti - introvertiti cu rezultate bune) ;

-         criteriul nr. 4 : (care poate coincide sau nu cu criteriul nr.1) olimpicii cu rezultate validate .

Ų     Rezulta ca , oricare ar fi vārsta cronologica a subiectului , el va fi īncadrat īn Grupa de nivel - materii (aptitudine speciala matematica) dupa vārsta mintala .

Ų     Īn consecinta , un copil va apartine la tot atātea clase de apartenenta la cāte se īnscrie , dar numai la una singura de aptitudine speciala .

Etape īn evaluarea experimentului . Analiza datelor .

 

Etapa I:Jocul ,,Bingo" - test de criterii generale - concurs (oral)

 

-         sa descifreze mesajul (dintre litere nesemnificative sa separe literele care contin ,,cheia" mesajului );

-         sa fie capabil sa īnteleaga enuntul problemei  ;

-         sa reprezinte grafic partile principale ale unei probleme;

-         sa avanseze ipoteze asupra solutiei ;

-         sa īncadreze problema īn tipurile studiate  ;

-         sa cunoasca si / sau sa selecteze si sa aplice algoritmul ; 

-         sa gāndeasca divergent ;

-         sa aprecieze , sa emita judecati critice ;

-         sa rezolve si sa compuna probleme  ;

-         sa solutioneze unele probleme matematice , stabilind metoda de rezolvare;

 

Etapa aIIa - Tema pentru creatie

-         alegerea ei (optiunea , conflictul de idei , motivatia );

-         pastrarea sau schimbarea optiunii spontane , īn timpul dat;

-         dependenta pastrarii sau schimbarii optiunii de mai multi factori (test psihologic );

-         selectarea , cautarea , īntocmirea fiselor selective din materialul auxiliar ;

-         preconceperea (planul);

-         redactarea (īn clasa).

Etapa aIIIa - Analiza lucrarilor si stabilirea criteriilor

-         īnsusirea etapelor principale īn rezolvarea sau compunerea problemelor , pe de o parte prin utilizarea principiilor organizarii cognitive-transfer orizontal, iar pe de alta parte prin unificarea principiilor temei ( transfer vertical ) ;

-         analiza  lucrarii fiecarui elev ;

-         verificarea si aprecierea obiectiva a continutului stiintific , comportamentului si performantei la care a ajuns elevul ;

-         compararea concluziilor desprinse din analiza lucrarilor cu ipoteza cercetarii ;

-         stabilirea coeficientului de randament .

Etapa aIVa - Mediile tratamentelor ipotetice

 

                            TEST               CRITERIAL

Tratamente

Īntelegere

Aplicatie

Rezolvare

    de

probleme

Creativitate

Rezultat

total

la test de criterii

Organizator

Cognitiv:

Gāndire si exprimare logico - matematica  

Organizator

Cognitiv

Metode

de

rezolvare

a problemelor

Organizator

Cognitiv :

Strategii de rezolvare de probleme

4 . PROIECTAREA  DIDACTICĂ A EXPERIMENTULUI

SCHEMA GENERALĂ A METODELOR

                     STUDIU DE CAZ

METODA ORGANIZATORULUI COGNITIV

       ņ                                                                         ņ

Metodele :                                                            Metodele :

- dezbaterea                                                          - comparatia

- algoritmizarea                                                    - instruirea programata

- demonstratia                                                       - analiza si sinteza

- lectura problematizata                                        - lectura selectiva

- īnvatarea prin descoperire                                  - problematizarea

- exercitiul creator                                                - exemplul (modelul grafic)

             |____________________________________|

                                                 ņ

METODA REZOLVĂRII DE PROBLEME .

MUNCII INTELECTUALE INDEPENDENTE

ņ                                                 ņ                                                               ņ

METODA A                       METODA B                                     METODA C

- brainstorming                  - comparatia                       - rezolvare de probleme

- rezolvare de probleme    - algoritmizarea                  - exercitiul

- instruirea programata     -  descoperirea                    - demonstratia                                                                                       

                                                                                           

- problematizarea              - analiza si sinteza               - problematizarea

                                                                                                                 

- explicatia                        - rezolvare de probleme       - modelarea

 

__________________          _______________            _______________ 

        strategie                                strategie                            strategie

      euristica                                algoritmica                        analogica  

                                            inductiva ; deductiva

__________________         _________________         _______________

              ņ                                            ņ                                     ņ

METODA EXERCIŢIULUI sI A DEMONSTRAŢIEI

                                                        ņ   

                                                        

                                METODA JOCULUI DIDACTIC   

                                                          ņ

                                                 C R E A Ţ I E

SCHEMA GENERALĂ A EXPERIMENTULUI

Continut

Obiective

Operationale

Strategii

Didactice

Evaluare

C 1

PROBLEMA 1

Enunt  īn īntregime

O 1

sa recunoasca

o problema tip

S 1 /  I 1

-demonstratia (plansa)

-sarcina didactica colectiva   

Initiala (predictiva)

-prin test de inteligenta

-probe orale

C 2

PROBLEMA 1

Text selectiv (datele ,

Necunoscuta ,

Conditia )

O 2

*sa completeze  

*sa scrie corect partile unei probleme

S 2 I    / I 2 I

S 2 II  / I 2 II

S 2 III / I 2 III

-demonstratia (fise)

-sarcina didactica diferentiata pe grupe I , II , III  

Formativa

-prin autodictare selectiva

C 3

PROBLEMA 1

Enunt din bucati

 

O 3

*sa delimiteze partile problemei  

*sa precizeze caracteristicile  problemei tip

*sa selecteze algoritmul de rezolvare

*sa ordoneze logic textul

S 3 / I 3

-demonstratia (planse)

1.delimitarea partilor

2.text ordonat logic

-sarcina didactica colectiva  

Formativa

-prin definitie

-desen schematic

-text īncurcat

,,Problema puzzle"

C 4

PROBLEMA 2

*metoda figurativa

PROBLEMA 3

 *metoda analizei si sintezei

 

O 4

*sa perceapa auditiv  mesajul din enuntul  problemelor

*sa reconstituie īntregul prin analiza si sinteza partilor componente

*sa aleaga ,  

sa justifice,

sa recunoasca ,

sa indice ,

*sa distinga dintre  

S 4 / I 4

-lectura model a īnvatatorului

-sarcina didactica colectiva

Formativa

-prin organizator cognitiv comparativ

(analiza raspunsurilor si observarea comportamentului elevilor;stimulare, corectare )

C 5  I

PROBLEMA 1

C 5  II

PROBLEMA 4

Metoda figurativa

PROBLEMA 5

Metoda figurativa

C 5   III

PROBLEMA 1 si PROBLEME

O 5

*sa-si dezvolte capacitatile cognitive, competentele de rezolvare a problemelor si a tehnicilor de munca individuala,

creatoare

*activitati intelectuale de tipul

-sa aplice,

sa descopere ,

sa completeze reguli ,sa generalizeze, sa deduca , sa alcatuiasca ,

sa reformuleze

sa stabileasca , sa explice , sa raspunda, sa-si puna īntrebari ,

sa indice,

sa compare ,

sa analizeze ,

sa sintetizeze ,

sa construiasca ipoteze ,

S 5 / I 5 I

-demonstratia (fise )

-sarcina didactica diferentiata

S 5 / I 5 II

-demonstratia

(fise)

-sarcina didactica diferentiata

S 5 / I 5  III

-demonstratia (fise)

-sarcina diferentiata 

Formativa

-prin analiza orala a produselor activitatii

-prin organizator cognitiv diferentiat dupa modul de instruire specific grupei

-prin instruire programata (feed-back)

-evaluare orizontala pe grupe(transfer orizontal al īnvatarii)

-aprecieri prin calificative (analiza modului de lucru) 

C 6

PROBLEMA 1

Termeni de limbaj matematic .

Īntrebari .

O 6

*sa descifreze mesaje, simboluri

*sa solutioneze unele analogii verbale, stabilind reguli de grupare

*sa gāndeasca divergent , descoperind mai multe solutii pentru rezolvarea unei probleme

 

S 6  / I 6

-demonstratia (plansa,fise)

-sarcina didactica a reprezentantilor participanti la concurs

Formativ-sumativa

-prin joc didactic Bingo (pe criterii generale test )

C 7

PROBLEMA 1

Algoritmul

O 7

*sa practice rational metodele de rezolvare a problemelor

*sa reflecteze activ asupra matematicii

*sa utilizeze corect limbajul matematic īn diverse situatii de comunicare orala si īn scris 

*sa dezvolte planul de rezolvare

 

S 8 / I 8

-demonstratia (tabla)

-sarcina colectiva

Formativ-sumativa

-prin realizarea educatiei

-prin transfer vertical al īnvatarii prin tema de creatie

C 8

Caietul de initiere īn rezolvarea problemelor de matematica

Culegerea de probleme

O 8

*sa trezim interesul pentru rezolvarea de probleme  

*sa cultivam pasiunea pentru matematica

*sa dezvoltam deprinderi de lucru exploratorie

*sa se descurce sa lucreze cu computerul   

S 8 / I 8

-demonstratia (activitate suplimentara)

-sarcina colectiva

Formativa

-prin rezolvari de probleme suplimentar  

C 9

Tema de creatie

O 9

*sa redacteze texte de diverse tipuri :

probleme , compuneri de probleme dupa model grafic ,  dupa algoritm ,dupa tipul indicat ,

*sa exprime īn scris corect relatii dintre date , conditii   

S 9 / I 9

Formativ-sumativa

Prin verificarea temei de creatie

v    Īnvatatoare : Bondoc Onita, organizator proiect cercetare

         

v    Clasa aIVa A , aIVa C , aIVa D

v    Obiectul : matematica

v    Subiectul : Probleme care se rezolva prin metoda figurativa  

                          

v    Tipul lectiei : mixta (consolidare - evaluare )

v    Sistemul de lectii :

            2 ore predare - īnvatare

                                           2 ore consolidare - evaluare formativa

                                           1 - 2  ore evaluare sumativa

 

v    Scopul sistemului de lectii : 

-         consolidarea notiunii de problema si problema tip si metode aritmetice de rezolvate a problemelor , prin reactualizarea, recapitularea , completarea si sistematizarea cunostintelor din clasele I - IV ;

-         verificarea nivelului cunostintelor , priceperilor si deprinderilor , a capacitatii de exprimare orala si scrisa a elevilor prin terminologia matematica ;

-         dezvoltarea si consolidarea capacitatilor cognitive , competentele de rezolvare de probleme , precum si a metodelor si tehnicilor de munca individuala , creatoare ;

-         abordarea interdisciplinara si intradisciplinara a temei ;

-         dezvoltarea interesului pentru rezolvarea si compunerea de probleme

1.Reactualizarea cunostintelor :

- Sarcina didactica colectiva

- analiza plansei cu problema 1

- citirea enuntului problemei īn īntregime

 

          2.Verificarea cunostintelor :

 

- sarcina didactica diferentiata pe grupe ;aplicatie individuala :

          Problema 1

          Rodica , Ioana si Andreea au cules īmpreuna 108 flori . Rodica a cules de 3 ori mai multe decāt Ioana , iar amāndoua au cules dublul numarului de flori culese de Andreea .

          Cāte flori a cules fiecare fetita ?

-         Autodictare selectiva :

Ų     Grupa experimentala nr . 1 :

Completati spatiile cu cuvintele care lipsesc :

 ,,Pentru primul buchetel Rodica culege .......flori , Ioana aduce ......floare , Andreea culege ......flori .   Deci numarul total de flori ,108 se pot face  buchetele de .......flori        [3flori +1floare+2flori ]"  

 

Ų     Grupa experimentala nr . 2 :

Completati spatiile corect cu cuvintele care lipsesc :

 ,, Ioana  a cules ....................................................decāt  Rodica".

 ,, Andeea a cules ..................................   .decāt Rodica si Ioana īmpreuna"

 ,, ........flori reprezinta numarul total de flori culese de cele trei fete , dar .......īn īn mod egal".

Ų     Grupa experimentala nr . 3 :

Gānditi - va si scrieti cele trei nume ale fetitelor īn ordinea crescatoare , apoi descrescatoare , īn functie de indicatiile despre numarul obiectelor fiecareia :

1............      3.............................

2............      2.............................

3............      1.............................

          3. Consolidarea notiunii de problema  :

 

- sarcina didactica colectiva

- dezbatere , problematizare , exercitii creatoare , demonstratia ;

Plansa :   Problema 1

text scris + reprezentare grafica   

1 .  Indica metoda prin care se rezolva acesta problema !

2 . Argumentati !

3 . De ce nu se poate rezolva prin plan ca ,,problemele de aflat"?

4 . Delimitati pe plansa : enuntul , datele , necunoscutele , conditiile  !

5 . Ce fel de marimi are acesta  problema tip ?

6 . Precizati īn ce categorie se īncadreaza ?

7 . Ce sarcina de lucru aveti de īndeplinit ?

8 . Cum sunt prezentate conditiile ?

9 . Stabiliti ordinea corecta , logica ! ( dupa marimea cea mai mica)

Plansa : Problema 1  - text ordonat logic

Rodica , Ioana si Andreea au cules īmpreuna 108 flori , dar .....................................................................................................

Ioana  a cules .............................................decāt Rodica  .

Andreea  a cules ....................................decāt Rodica si Ioana .

Rodica si Ioana au cules amāndoua ................numarului de flori culese de Andreea .

Cāte flori a cules fiecare fetita ?

 

Benzi de cuvinte ( )   

de 3 ori mai putin ; de 2 ori mai putin ; dublul  

  9 . Comparati folosind  <   >  seria   R     A    I   sau  I    A    R !

10 . Verificati respectarea conditiilor pe desen !

11 . Ce termeni cuprinde problema ? La ce se refera aici ,,dublul  "?

12 . Ce desprindem , ce īnvatam din aceasta problema ?

13 . Ce categorie de probleme reprezinta aceasta problema ?

        ( probleme īn care cunoastem suma a doua sau mai multe numere si raportul dintre ele )

14 . Explicati  rezolvarea ! Faceti proba !

Probleme pentru elevi de performanta -clasa aIV-a

1.                 Suma a trei numere este 134.

a)     Daca din fiecare se scade acelasi numar se obtin numerele 30, 35 si respectiv 51;

b)    Daca la fiecare se adauga acelasi numar, se obtin numerele 48,53 si respectiv 69.

Aflati numerele date.

2.  Aflati trei numere, stiind ca suma primelor doua este 72, suma ultimelor doua este 93, iar suma dintre primul si al treilea este 127.

3.  Īn doua cosuri sunt 99 mere. Daca s-ar lua 17 mere din primul cos si s-ar pune īn al doilea, īn primul cos ar ramāne cu 25 mere mai multe ca īn al doilea.

     Cāte mere sunt īn fiecare cos?

4.     Continua tu sirul cu īnca trei numere:

11, 12, 21, 111, 112, ......, ........, ........

5.     Un baiat are atātia frati cāte surori are, dar sora lui are de doua ori mai multi frati decāt surori. Cāti frati si cāte surori sunt?

6.     Daca trei litri de apa au temperatura de 60 grade Celsius, ce temperatura are un singur litru de apa?

7.     Este vineri, 22 martie. Īn ce luna va fi urmatorul vineri 22?

8.     Aflati suma a patru numere stiind ca:

a.      Suma primelor doua dintre acestea este 42;

b.     Numarul al treilea este mai mare decāt numarul al patrulea cu 32;

c.     Al patrulea numar, daca ar fi mai mare cu 37 ar egala suma primelor doua numere.

9.     Īntr-un teanc sunt cu 11 caiete mai multe decāt īn al doilea. Cāte caiete trebuie transferate īn al doilea teanc pentru ca īn acesta sa fie cu trei caiete mai mult decāt īn celalalt?

10. Care sunt cele trei numere consecutive pare, din a caror suma, daca scadem suma numerelor consecutive impare ce se afla īntre ele, obtinem 16 ?

11. Calculati:

3a + 5b + 2c   daca: a + b = 54           b + c = 56

4a + 8b + c     daca: 3a + 8b = 70      a + c = 30

Pentru elevi de performanta

1.                Sa se afle cel mai mic nr. natural a care īmpartit la un numar natural b  da cātul 18 si restul 7.

2.                Daca a + b = 24 ; b + c = 32, calculati a + 3b +2c = ?

3.     90 + = 100

4.              Un liliac a māncat īn patru nopti 1050 muste. Īn fiecare noapte a māncat cu 25 muste mai multe decāt īn noaptea precedenta. Cāte muste a māncat īn a patra noapte?

5.             Suma a patru nr. naturale este 1206. Sa se afle fiecare numar, stiind ca al doilea este cu 6 mai mare decāt primul luat de patru ori, al treilea este egal cu suma primelor doua numere  plus 6, iar al patrulea nr. este egal cu diferenta dintre al treilea  si al doilea , micsorata cu 6.

6.              Se dau nr. a, b, c, d, e astfel īncāt:

-a este de trei ori mai mare ca b;

-c este cu 6 mai mare decāt b;

-d este de 3 ori mai mare decāt c;

-e este de 2 ori mai mic decāt d.

          Sa se afle numerele, stiind ca c + d =  208.

7.               Avem 30 grinzi de 3 si 4 metri lungime, a caror suma a lungimilor este 100 m. Cu cāte taieturi se pot realiza din aceste grinzi butuci cu lungimea de un metru?

8.                Dintr-o carte a cazut o parte din ea. Prima pagina a acestei parti avea numarul 387, iar numarul ultimei pagini era format din aceleasi cifre, dar īn alta ordine. Cāte pagini are partea care a cazut?

Analiza si sinteza , compararea ,alegerea si justificarea , recunoasterea si distingerea (discriminarea)

 

Dintre doua probleme  , pe cea care se rezolva prin metoda figurativa  :

1 . Problema 2 :

          Īntr-o livada sunt 300 meri si cu 200 mai multi pruni decāt meri   . Afla numarul total al pomilor din livada .

          Sau

          Īntr-o livada sunt 800 de pomi . 300 pomi sunt meri , iar pruni sunt cu cu 200 mai mult decāt meri .

          Afla numarul prunilor .

     Problema 3 :

          Īntr-o livada sunt 1000 pomi , meri si pruni .

          Afla cāti meri si cāti pruni sunt , daca numarul prunilor este cu 200 mai mare decāt numarul merilor .

2 . Ce conditii trebuie sa īndeplineasca o problema pentru a fi tip ?

3 . Sunt alcatuite din aceleasi  conditii  problemele ?

4 . Deci , prin ce se deosebeste problema 2 de  problema 3 ?

5 . Spre care dintre ele īnclinam s - o consideram problema de aflat ? Spre care dintre ele īnclinam s-o consideram problema prin metoda figurativa ?

6 . Recititi problema 2  !Comparati-o cu problema 3 !

7 . Care problema are nevoie de reprezentare grafica pentru rezolvarea ei ?

8 . Spre care dintre ele īnclinam s - o consideram prin metoda figurativa dupa necunoscutele ei ?

9 .  Spune rezolvarea fiecarei probleme printr-o singura expresie !

10 . Care este īntrebarea la fiecare problema ? Se deosebesc ?

12 . Comparati  algoritmul de rezolvare  a celor doua probleme  !

         

          4 . Anuntarea lectiei :

-         anuntarea sarcinilor diferentiate ale fiecarei grupe ;

-         anuntarea obiectivelor urmarite ;

Rezolvarea sarcinilor didactice din fise

                                                      

Grupa experimentala nr . 1 :

FIsA DE EXERCIŢII

 

Grupa experimentala nr . 2 :

FIsA DE REZOLVARE DE PROBLEME  

 

Grupa experimentala nr . 3 :

FIsA DE DEZVOLTARE

-         sarcina didactica diferentiata pe grupe

-         aplicare individuala

-         verificare orala , prin aprecieri calitative

FIsA 1

1 .     Calculeaza :

    a)   10 - : 9 =

    b)1 - =

2.    Rezolva  exercitiile , apoi  valorile  necunoscutelor  regaseste-le  printre  datele  importante  din  literatura  romāna :

     a)   ) 48 843 : 81 - 3 + y ) : 7 = 145 + 205   

     b) x 4 = 100

     c)  90 + ( 3 045 + m ) : 44 + 9 999 - 10 000 = 200

3.     Gaseste  numerele  notate  cu  F , R , U , M , O , S  ,  stiind  ca :

     R + U + M = 48             S = 4  x  M              U + M = 13                M = 24 : 8           

 M + O = 180 : U

                                                         F + R + U + M + O + S = 94

4.     Suma  a  patru  numere  naturale  este  74 . stiind  ca  fiecare  dintre  ele  este  cu  5  mai  mare  decāt  cel  dinaintea  lui , sa  se  afle  numerele .

5.        Suma  a  trei  numere  naturale   este  514 . Al  doilea  numar  este  dublul  primului  si  cu  14  mai  mic  decāt  al  treilea . Afla  numerele .

6.      Perimetrul  unui  teren  dreptunghiular  este  de  600 m . Lungimea  īntrece  dublul  latimii  cu  60 m .

         Care  sunt  dimensiunile  terenului ?

7.      Cele  90  de  apartamente  ale  unui  bloc  sunt  cu  2  si  cu  3  camere . Daca  numarul  camerelor  este  210 , care  este  numarul  apartamentelor  cu  3  camere ?

8.      Valoarea  lui  a  din  egalitatea    a + 24 + a + 39 + a = a + a + a + a    este  :

                         A)   63 ;                        B)   36 ;                               C)  9 .      

9.    Īn  gradina  bunicului  sunt  4  gutui . Crengile  copacilor  sunt  reprezentate  prin  numere  consecutive . Pe  fiecare  creanga  atārna  cāte  10  fructe . Bunicul  a  cules  īn  total  260  de  gutui .

       Cāte  crengi  are  fiecare  gutui ?

10.     Determina  pe  m  din  egalitatile :

          a)    m : m + m x 0 + m - m : m =  10                               

b)  m x 1 x 2 x 3 + m x 2 x 2 = 100

FIsA 2

Metoda  figurativa

1.        La  o  florarie  s-au  adus  430  fire  de  trandafiri  si  garoafe . Daca  trandafiri  erau  cu  76   mai  putini  decāt  garoafe , cāte  fire  s-au  adus  din  fiecare  fel  de  floare ?

2.        Īn  doua  depozite  sunt  168 400 kg  de  lemne . Īn  primul  depozit  se  afla  o  cantitate  de  7  ori  mai  mica  decāt  īn  al  doilea  . Ce  cantitate  de  lemne  se  afla  īn  fiecare  depozit ?

3.       Suma  a  patru  numere  naturale  consecutive  impare  este  448 . Care  sunt  numerele ?

4.      Diferenta  a  doua  numere  este  135 . Daca  le  īmparti , obtii  cātul  4  si  restul  12 .

         Care  sunt  numerele ?

5.     Īntr-o  livada  sunt  620  de  pomi . Meri  sunt  de  2  ori  mai  multi  decāt  caisi  si  cu  15  mai  putini  decāt  peri . Cāti  pomi  sunt  de  fiecare  fel  īn  livada ?

6.     Compune  probleme , folosind  urmatoarele  reprezentari :


  I.        a


b                                                                                 288

                                                             30

c


II.         m

    40

 n

                                            280

FIsA 3

1.   Calculeaza :

   a)     30 + : 2 =                                             ( 92 )

   b)     10 x : 5 =                                       ( 160 )

2.   Afla  valoarea  numarului  necunoscut  din  egalitatile :   

    a)  682 - 9 x 8 + 8 x 7 - 63 : 7 - m  =  329 - 9 x 6 - 6 x 6 - 81 : 9                             ( 427 )

    b)   y x 5 + 36 x 4 + 36 x 3 + 36 x 2 = 504                                                                     ( 36 )

3.   Suma  a  trei  numere  este  986 . Sa  se  afle  numerele , stiind  ca  al  doilea  este  cu  2  mai  mare  decāt    primul  si  de  2  ori  mai  mic  decāt  al  treilea .                                                                                                                                            ( 245 ; 247 ; 494 )

4.    Īntr-o  lada  se  gasesc  305  portocale  si  lamāi . Dupa  ce  s-au  vāndut  26  de  portocale  si  14  lamāi , au  ramas  īn  lada  de  4  ori  mai  putine  portocale  decāt  lamāi .

       Cāte  portocale  si  cāte  lamāi  au  fost  la  īnceput  īn  lada ?                                                                                                                                              ( 79 ; 226 )

5.     Dimensiunile  unui  dreptunghi  sunt  exprimate  prin  numere  impare  consecutive . Perimetrul  sau  este  de  320 m .  Afla  dimensiunile  dreptunghiului .                                                                                                                                                 ( 79 ; 81 )

6.    Calculeaza  dimensiunile  unui  dreptunghi , stiind  ca  are  perimetrul  de  570 cm , iar  latimea  este  jumatate  din  lungimea  sa .                                                                                                                                               ( 95 ; 190 )

7.     Suma  a  trei  numere  este  80. Daca  īmpartim  primul  numar  la  al  doilea , obtinem  cātul  1  si  restul  egal  cu  al  treilea  numar . Afla  numerele , stiind  ca  al  treilea  numar  este  cu  20  mai  mic  decāt  al  doi lea  numar .                                                                                                                                                (  10 ; 30 ; 40 )

8.    La  ora  de  educatie  fizica , elevii  unei  clase  sunt  asezati  īn  rānd  cāte  unul .Un  elev  constata  ca    cei  5  elevi  din  spatele  sau  reprezinta  un  sfert  din  numarul  elevilor  din  fata  sa .

        Cāti  elevi  participa  la  ora  de  educatie  fizica ?

         

5 . Evaluare formativa

Elevul.......

Clasa.......

TEST-GRILA

    Matematica  

1)Cangurul calculeaza:  4+0+4x0+4:4+4x4=

Rezultatul este:

A)0             B)4              C)20            D)21            E)1

2)Carmen rupe 10 betisoare in doua.Jumatate sunt rupte din nou in doua. Cate betisoare a obtinut?

A)20            B)30            C)60            D)40            E)25

3) 4 carti diferite pot fi asezate in cate moduri?

A)4              B)5              C)6              D)7              E)8

4) Ceasul meu o ia inainte cu 3 minute pe ora. Dupa cat timp a inaintat cu jumatate de ora?

A)20ore       B)o zi          C)30ore       D)6 ore        E)600minute

5)La fiecare 6 ore, iau o pastila. Cat timp voi lua 10 pastile?

A)3 zile        B)2 zile        C)2 zile si 10 ore    D)24ore       E)2zile si 6 ore

6)In curtea scolii sunt 15 baieti si 18 fete. De cati copii mai este nevoie pentru a se imparti in grupe de cate 10?

A)4              B)5              C)6              D)7              E)8

7)Dan este cu 5 ani mai mare decat sora lui.Peste cati ani va avea dublul varstei surorii sale?

A)2              B)3              C)4              D)5              E)10

8)Scrie numarul cincisprezece milioane cincisprezece mii cincisprezece:

A015 115 115        B0150 150 150      C)15 15 15       D)15 015 015

          E)15 015 015 015

9)Pisicile dorm 2/3 din zi. Cate ore dorm pe saptamana?

A)112                    B)16            C)56            D)49            E)114

10)Este ora 8:53.Peste doua ore si 30 minute va fi;

A)10:53       B)10:30        C)11:30       D)11:23       E)11:33

11) Operatia al carei rezultat  nu este 15 este:

A) 6x(3-1)+3         B)6+9                   C)6-2x3+3   D)15-15:15+1        E)15x1

12) Cifra inlocuita cu o litera este:                 5a7+299=886

A)7              B)8              C)9              D)6              E)5

13)Care din numerele urmatoare are cifra unitatilor mai mica decat toate celelate cifre ale sale?

A)413          B)203          C)97            D)244          E)5 015

14)Azi e miercuri 2 aprilie.Tot miercuri va fi pe:

A) 10aprilie            B)16 aprilie  C)9 aprilie    D)22 aprilie        E) 31 aprilie    

15) Cat este jumatatea jumatatii lui 20?

A)10            B)5              C)40            D)4              E)2

16)Dana imparte prietenelor sale cate 2 acadele. Ii raman 5 acadele.  Daca le-ar da cate 3, un copil ar ramane fara  acadele. Cate prietene are Dana?

A)5              B)6              C)7              D)8              E)9

17)Perimetrul unui dreptunghi este de 48 cm. Lungimea este dublul latimii. Cat este lungimea?

A)16cm       B)8cm         C)160cm     D)4cm         E)12cm

18)Cate cifre se folosesc pentru scrierea unei carti cu 155 pagini?

A)357          B)389          C)155          D) 305         E)105

19)Dintr-un cub cu latura de 8cm, se scot jumatate din cubuletele cu latura de 1cm, adica:

A)64            B)8              C)16            D)32            E)80

20)Dan  are acelasi numar de timbre pe care il au Alin si Doru impreuna. Alin are cu 20 timbre mai multe decat Doru. In total au 80 timbre. Doru  are..

A)40            B)20            C)60            D)80            E)Alt raspuns

6 . Tema de creatie  ( la alegere ) :

- rezolvare de probleme date prin metoda figurativa ( categorii )

- compunere de probleme dupa model grafic

- compunere de probleme dupa relatii date

Matematica, clasa a IV-a

 

                      ITEMI    SUBIECTIVI

ITEMI     REZOLVARE    TIP     PROBLEMA

          I. STANDARD DE PERFORMANTA: S12

Exprimarea orala si scrisa intr-o maniera concisa si clara a modului de calcul si a rezultatelor unor exercitii si probleme.

 

II.OBIECTIV DE EVALUAT :

Sa exprime pe baza unui plan simplu de idei in scris demersul parcurs in  rezolvarea unei probleme.

Citeste cu atentie apoi  rezolva prin metoda grafica urmatoarea problema:

 Suma a doua numere este 130, iar diferenta dintre ele este 30. Care sunt numerele?

III.DESCRIPTORI DE PERFORMANTA:

1.   Reprezinta schematic in desen numerele, suma si diferenta lor.

2. Rezolva problema prin metoda grafica

a) o operatie

b) doua operatii

c) trei operatii

Barem de corectare

S1,2(a)

B1,2(a,b)

F.B.(a,b,c) 

Matematica, clasa a IV-a

                      ITEMI SUBIECTIVI

                     ESEU STRUCTURAT 

I.                 STANDARD DE PERFORMANTA :S7

Formularea si rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operatii.

 

II.             OBIECTIV DE EVALUAT :

2.5.      Sa compuna exercitii si probleme cu numere naturale .

   Compune si rezolva o problema folosind urmatoarele informatii:

50; de 3 ori mai mult ; cu 20 mai putin;

 

      III.           DESCRIPTORI DE PERFORMANTA:

1)Compune probleme corect:

a)enuntul problemei cu datele mentionate

b)inlantuirea logica a ideilor

c)pune intrebarea corect;

 

2)Rezolva problema corect

a)1 operatie corecta

b)2 sau mai multe operatii

Barem:

S:1(a) 2(a)

B:1(a,b,c) 2(a)

Ff.b:1(a,b,c) 2(a,b)

5.REZULTATELE

   (PRELUCRAREA , MĂSURAREA , INTERPRETAREA sI

    VERIFICAREA CU IPOTEZA )

      TABELUL  1

                       MEDIILE TRATAMENTELOR IPOTETICE

 

Tratamente

TESTUL CRITERIAL(rezultate medii)

Rezultatul total la test

Īntelegere

Aplicatie

Rezolvare de probleme

Control

N = 16

   16 , 6

  13 , 6

  11 , 2

  41 , 4

Organizator

N = 16

   15 , 7

  18 , 2

  13 , 4

  47 , 3

Strategii

N = 16  

   14 , 9

   15 , 5

  15 , 7

  46 , 1

 

          Examinarea mediilor ne dezvaluie ca :

 

Ų     METODA ORGANIZATORULUI COGNITIV a dat rezultate superioare celorlalte metode si s - a dovedit avantajoasa la nivelul aplicatiei cunostintelor .

Ų     Despre celelalte metode , consider dupa limitele maxime pe care le - au atins īn diferite pozitii : grupul de control īn īntelegere , grupul care a lucrat prin strategii īn aplicare si rezolvare de probleme , ca au fost eficiente la un anumit nivel de performanta , dar nu totalizeaza un punctaj mai mare decāt īn cazul utilizarii organizatorului .

Ų     De asemenea usor de observat si constatat corelatia dintre tipul experimentului - consolidare , aplicare - si metoda organizatorului cognitiv comparativ utilizat .

Ų     Singura maxima care īntruneste si cel mai mare punctaj total este      18,2 la nivelul aplicatiei īn grupul caruia i - a fost aplicat tratamentul organizator .

TABELUL 2

Comportarea rezultatelor īnvatarii :

                 - īn clasa A ( folosind cursul A ) ;

                 - īn clasa B ( folosind cursul B );

                 - īn clasa C ( folosind cursul C )

                   si interpretarea lor :

Situatia

Compararea rezultatului

Cea mai probabila interpretare

A.

Variabila de aptitudine

A = B = C

Variabilele mediului

A < C = B

Variabile de proces

A < C < B 

A < C < B

Cele mai multe diferente ale rezultatului pot fi atribuite diferentelor de mediu si de instruire .

B.

Variabila de aptitudine

A = C = B

Variabilele de mediu

A < C = B

Variabile de proces

A < C < B

A < C < B

Nu exista diferente .

Īntruneste punctaj maxim .

C.

Variabila de aptitudine

A = C = B

Variabilele de mediu

A < C = B

Variabile de proces

A < C < B

A < C < B

Diferentele īn rezultate pot fi cauzate de instruire .

Daca īn conditii  - de aptitudini egale ( aproximativ )

                           -  de instruire deosebite 

                           - de mediu diferit doar pentru unul dintre grupuri

atunci rezulta ca diferentele rezultatelor sunt atribuite , īn toate cazurile , modului de instruire si numai īntr - un singur caz diferentelor de mediu .

          O analiza a efectelor interactiunii dintre cele trei tratamente pentru fiecare grup si coeficientul de inteligenta (QI) , arata ca diferenta de performanta dintre grupuri se datoreaza metodei organizatorului cognitiv .

Prezentarea grafica a interactiunii tratament - coeficient de inteligenta :

Rezultatul la testarea :          

·        Rezolvare de probleme

·        Aplicatie

·        Īntelegere

 

                  Īntelegere                  aplicatie                 rezolvare

                                                                                        de

                                                                                   probleme

              

                    control                  organizator              strategii

6 . REDACTAREA RAPORTULUI FINAL AL LUCRĂRII

Este sau nu este acest studiu de caz o inovatie ?                 

          Elaborarea si experimentarea manualelor alternative de matematica pentru clasa a IV a , ar satisface :

v    Conditia stiintifica prin :

      INTRODUCEREA ORGANIZATORULUI COGNITIV

-       METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR  -

-       īn predare - īnvatare , consolidare , recapitulare si sistematizare , verificare si evaluare ;

v    Conditia complementara  , daca :

-         manualul de matematica ar oferi permanent o  completare cu probleme propuse spre rezolvare , aprofundare , extindere ;

v    Conditia pedagogica prin :

-         modificarea accentului de pe anumite functii ale īnvatamāntului īn raport cu organizarea continutului unei discipline - pe realizarea unor sisteme de lectii cu un maximum de utilizare a tehnologiei didactice   ( strategii de lectie , strategii de īnvatare ) ;

v    Conditia psihopedagogica daca :

-         īn activitatea de īnvatare pe grupe omogene īn functie de aptitudinea matematica speciala s - ar utiliza manualul alternativ destinat unui astfel de coeficient de inteligenta , atunci , la testarea matematica , īnvatatorii vor formula criterii ( itemi ) echivalenti pentru stabilirea nivelului performantei maxime a elevilor .

 

v    Dar la rāndul lor solicita :

-         individualizarea īnvatarii ;

-         reguli superioare de operare eficienta ;

-         cabinete de informatica  .

Analiza lucrarilor

I . Alegerea temei

- Numar total elevi implicati īn experiment          = 4 8 ( 100  % )

- Procent  elevi stabili īn alegerea temei               = 4 7 (  97,9% )

- Procent elevi stabili īn alegerea temei ,

   dar care se autodepasesc                                    =    1 (    2,1% )

Tema 1 : Rezolvarea problemelor prin metoda figurativa  

               Fie dupa algoritm , fie singuri , fie aplicānd regula

                24 elevi

Tema 2 : Compozitii de probleme  dupa model grafic

                 18 elevi -                      

Tema 3 : compunere de probleme dupa relatii

                6 elevi

               

               

          II . Redactarea temei

Ų     EXCEPŢIA este īn alegerea si redactarea temei 2 :

Compozitii de probleme  ( dupa model grafic sau relatii date  ) .

Cota cea mai īnalta de performanta - CREATIVITATEA - este  atinsa de grupul caruia i - a fost aplicat tratamentul cu organizatorul cognitiv : metode de rezolvare a problemelor  .

          Rezulta ca elevii īsi īnsusesc si utilizeaza principiile organizarii cognitive ale problemei  .

Deci , īn acelasi timp , īndeplinesc cerintele unei compozitii si care este problema .

          si se constata  , īn plus , ca elevii au fost exersati īnaintea experimentului īn creatii libere de diferite tipuri , deoarece compozitiile lor se remarca printr - un mod de concepere si stil de exprimare īncarcat de simboluri .

Modul de redactare a temei īn celelalte grupuri se deosebeste :

Ų     Grupul care lucreaza īn aplicatie prin strategii de descifrare a enuntului problemei , cunoaste principiile organizarii cognitive si compune oral , probleme , dar prefera sa aleaga , īn scris , rezolvare de probleme dupa algoritm dat . Rezulta ca si - a spus cuvāntul modul de instruire anterior experimentului ( axat pe explicarea limbajului matematic ; creatii libere pornind de la relatii) si se impune sporirea actiunilor de īncadrare a problemelor īntr-un tip  .

Ų     Grupul care lucreaza īn aplicatie pe limbaj matematic , stapāneste notiunea de problema . Rezulta ca grupul īntāmpina greutati la unificarea principiilor de alcatuire a unei compozitii , deoarece prefera sa rezolve  .

Ų     Acest obiectiv poate fi reīnvatat prin analiza si delimitare pe texte a partilor principale , prin exercitii de ordonare , exercitii de dezvoltare a unor parti din problema . Se constata ca grupul are elevi introvertiti , predispusi gāndirii divergente, meditatiei profunde , care au o putere mare de concentrare pe probleme care ridica probleme , ca si mediul lor familial. Cauta sprijinul si siguranta unui text  pe care īl abordeaza foarte atent si critic .

PROIECTE

DE

LECŢII

7 . MĂSURI sI PROPUNERI . CONCLUZII

          Dupa ce a pilotat o īntreaga lucrare ea revine si la final si anume pentru ce fel de reforma optam īn īnvatamāntul romānesc actual ? 

Ų     Reforma profunda , partiala si discreta ;

Ų     Reforma īnvatamāntului romānesc a schimbat viziunea asupra proiectarii activitatii didactice ;

Ų     Proiectarea activitatii didactice va ridica la superlativ absolut activitatea de īnvatare a elevului .

Ų     Din activitatea de instructie si educatie trebuie eliminat definitv termenul,, uniform=acelasi =la fel = general valabil "  

Cāteva masuri au fost deja percepute . Spre exemplu :

Ų     Libertatea de actiune pe care o ofera noile programe , pentru un cadru didactic implicat ;

Ų     Organizarea concursurilor pentru elaborarea manualelor alternative , cu consultarea cadrelor didactice cu experienta ;

Ų     Sintagma ,, manual alternativ" sa devina o certitudine practic - aplicativa si nu numai una formala , iar alternanta sa concretizeze  relatia de echivalenta īntre continutul disciplinei / tratarea individuala īn conformitate cu aptitudinile speciale ; 

 

PROPUNERILE concrete ,originale considerate de mine ca fiind imperative :

Ų     Modificarea structurii īnvatamāntului primar la 5 (cinci) ani de studiu accentuānd prima si ultima treapta :                           I + II , III , IV ,V ;

Ų     Modul de instruire si transferul īnvatarii sa fie orizontal , pe grupe valorice de nivel - materii ( omogene , diferentierea subiectilor īn functie de aptitudinea intelectuala speciala ) ;

Ų     Manualul de matematica( īn acest caz) sa fie unic pe durata celor cinci ani scolari si sa apartina aceluiasi elev ;

Ų     Manualul alternativ sa introduca metode de rezolvare a problemelor  pe īntelesul elevilor ;

Ų     Organizarea activitatii didactice a īnvatatorilor sa fie similara cu cea a elevilor , adica sa lucreze si dascalii īn echipa , avānd unitate de vedere si de actiune , dar mai ales capacitati de organizatori cognitivi ai continutului īnvatarii ;

CONCLUZII :

Ų     Teoretic , cercetarea atinge punctele de slabiciune  ale īnvatamāntului romānesc .

Ų     Pedagogic, acest curriculum national , centralizat, prestabilit , este , dupa parerea mea , depasit , īnchistat īn vechile tipare .

Ų     Cauzele care stau la baza necesitatii schimbarii sunt multiple :

-         īn īnvatamāntul preuniversitar de stat modalitatile de organizare sunt pe verticala : clase paralele A,B,C,D,....si raportate la vārsta cronologica . Īn concluzie , elevii unei scoli apartin unei clase , unui cadru didactic , unei serii (I , aIIa,aIIIa,aIVa, ... , aXIIa), unei scoli , unei comenzi sociale prestabilite de altii pentru si īn numele lor , dar nu īsi apartin lor īnsisi / īnsesi !

Ų     Īnvatamāntul propus de mine vizeaza o tratare individuala īn conformitate cu aptitudinile speciale , trebuintele , dorintele , optiunile , aspiratiile , īnclinatiile =zestrea nativa = talentul fiecarui subiect scolar .

Ų     Idealul educational sa fie centrat pe individ , sa satisfaca īmplinirea lui spirituala ca om , īn domeniul īn care are aptitudini si nu sa fie o comanda sociala care nu ajunge sa īndeplineasca pāna la urma nici comanda societatii , nici idealul propriu al unei personalitati umane .

Ų     Schimbarea mentalitatii : scoala este la dispozitia individului uman si nu invers . Societatea , ca macrosistem social , prospera cu cāt totalitatea indivizilor din care este alcatuita sunt mai pregatiti , mai educati , civilizati si progreseaza ajungānd la un anumit nivel de bunastare materiala si spirituala .

Ų     Relatiile dintre educat - educator trec īn sfera cooperarii , comunicarii deschise , constructive . Reciprocitatea , libertatea de actiune , de a lua decizii īn ce priveste formarea personalitatii , sunt atribute ce definesc noul model de relatii .

Ų     Mod de instruire special si conform aptitudinilor cerut de acest tip de inteligenta , evident ca de aici rezulta necesitatea unei masuratori adecvate si a unui program . Facilitatea speciala a programului se regaseste īn trecerea de la o etapa la alta atunci cānd subiectul singur se simte pregatit si hotaraste momentul . Decizia nu este īngradita de bariera anilor scolari, ci de nivelul propriu de pregatire .

Ų     Managementul este categoric descentrat si axat īn principal pe o oferta bogata de optionale propuse de elevi si / sau parinti . Aparent simplu ca organizare ( grupe omogene de nivel , cu numar aproximativ redus de subiecti ) , managementul este complex din punctul de vedere al programului de instruire , al organizarii cognitive al continutului . 

          Bibliografie

1.     Ausubel ,G.U.si Robinson ,F. 1982 , Īnvatarea īn scoala .     O introducere īn psihogia pedagogica , Editura Didactica si Pedagogica , Bucuresti .

2.     Bunescu , V., Proiectarea - rigoare , creativitate si spontaneitate īn conditiile unui proces didactic formativ ,īn ,,Revista de pedagogie" nr.12 / 1988 .

3.     Cristea , S . , 1991, Planurile de īnvatamānt īn ,,Īnvatamāntul īn antecamera reformei" , Editura Porto-Franco , Galati .

4.     Cristea , S. , 1996 , pedagogie generala ,Editura Didactica si Pedagogica , Bucuresti .

5.     Crisan , Al.,Programele scolare īn contextul reformei , īn ,,Tribuna īnvatamāntului",nr.1-2/ 1993 si nr.11/1994 .

6.     Dancila ,Eduard ; Dancila , Ioan - Matematica pentru bunul īnvatator , ERCPres , Bucuresti , 2002

7.     Dinuta , Neculae - Metodica predarii matematice la clasele I-IV, Edit . Universitatii din Pitesti , 2003

8.     Joita , E ., 1994 ,Didactica aplicata, partea I ,īnvatamāntul primar Editura Gheorghe Alexandru , Craiova .

9.     Jurca , Maria Georgeta - Cum rezolvam probleme de aritmetica Editura Transpres , 1994 .

10. M.E.N., Planuri - cadru de īnvatamānt pentru īnvatamāntul preuniversitar coord.D.Georgescu ,M.Cerchez , M.Singer , L.Preoteasa Editura Corint , Bucuresti .

11. M.E.N. , Consiliul National pentru Curriculum . Programe scolare .

12. M.E.N. , Programul de formare al profesorilor .Curriculum . Evaluare .

13. Muster , D., 1985 , Metodologia cercetarii īn educatie si īnvatamānt Editura Litera , Bucuresti .

14. Neacsu , Ioan -Metodica predarii matematicii la clasele I-IV, E.D.P. Bucuresti 1988.

15. Pārāiala ,Dumitru ; Pārāiala,Viorica -Aritmetica . Probleme tipice rezolvate prin mai multe metode si procedee, Institutul European , Iasi , 1993.

16. Polya , George

    -Cum rezolvam o problema ? Un nou aspect al metodei matematice ,

-       Descoperirea īn matematica . Euristica rezolvarii problemelor,

Editura stiintifica , Bucuresti , 1971 .  

17. Radu , I.T., Īnvatamāntul diferentiat . Conceptii si strategii.Editura Didactica si Pedagogica , Bucuresti .

18. Stoica , A ., Necesitate , atributii , activitate SNEE , MEN. Buletinul informativ , Bucuresti , 1999.

19. Stoica , D .si Stoica , M ., 1982 , Psihopedagogie scolara, Editura Scrisul Romānesc , Craiova .

20. Stoica , M. , 1997 , Pedagogie pentru definitivat , gradul al II lea , gradul I si studenti ,Editura Gheorghe Alexandru , Craiova .

21. Vlasceanu , L . , 1979 , Decizie si inovatie īn īnvatamānt , Editura Didactica si Pedagogica , Bucuresti .

 


Document Info


Accesari: 53214
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )