LIMITE DE FUNC|II

LIMITE DE FUNC|II

Definitie:Data fiind o multime , punctul  se numeste punct de acumulare al  multimii D daca in orice vecinatate V a lui x₀ au loc Ø.

Definitie : Fie  , o functie si  un punct de acumulare al multimii D. 

                Spunem ca  este limita functiei f in punctul  si scriem f(x) = l, daca    

                pentru orice vecinatate V a lui l, exista o vecinatate U a lui  astfel inc@t pentru    

                orice  au loc (definitia cu vecinatati).

Teorema 1 (de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct):

                Daca ,  si  este un punct de acumulare al multimii D,  

                atunci sunt echivalente afirmatiile:

                                 a) f(x) = l  ()

                           b) Oricare ar fi , exista  astfel inc@t pentru orice cu     

        proprietatea  sa rezulte ( definitia cu  ).

Teorema 2 (de caracterizare a limitei fu 20320h714u nctiei intr-un punct):

                Daca  ,  si  este un punct de acumulare al multimii D, 

                urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

                     a) f(x) = l   ( )

                     b)  Oricare ar fi sirul (),  cu    atunci  

                           (definitia cu siruri).

Observatie :  Daca exista, limita unei functii intr-un punct este unica.

Observatie :  O functie ,  nu are limita in punctul , punct de acumulare

                     al multimii D, daca exista doua siruri , , ,  

                     cu  ,  astfel inc@t exista una din situatiile:

                      a) unul din sirurile ,    nu are limita

                      b) exista f() = , f() =  dar .

Exemplu : Functia lui Dirichlet , f(x) =nu au limite in nici un punct.

 Solutie : Fie  un punct de acumulare pentru R. Consideram un sir  si

         _{=  1  =  1. Consideram un sir �}),  si 

 Atunci  EMBED Equation.3  . Cum  EMBED Equation.3   rezulta conform observatiei anterioare ca functia nu

 are limita in punctul .

B.   Limite laterale .

Definitie : 1) Fie functia punct de acumulare pentru multimea

               . Spunem ca numarul  este limita la st@nga a functiei f  in        

                punctul  daca restrictia lui f la  are limita in punctul  si este egala cu .

                2) Fie functia  punct de acumulare pentru multimea

              . Spunem ca numarul  este limita de dreapta a functiei f in

               punctul  daca restrictia lui f la  are limita in punctul si este egala cu .

Notatie :   =  f(x) = f(x) = f()

                   =  f(x) = f(x) = f()

Teorema : Fie functia si  punct de acumulare al multimii D' cu proprietatea ca          

                 functia f are limite laterale in  EMBED Equation.3  . Atunci sunt echivalente afirmatiile:

a)functia are limita in punctul  EMBED Equation.3  

b) EMBED Equation.3  .

         {n aceste conditii  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  .

C.

C.Proprietati ale limitelor de functii. Operatii cu limite de functii.

1)

1)Dacaf(x) = l atunci  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  

Fie  EMBED Equation.3   punct de acumulare al multimii D. Daca existaf(x)  EMBED Equation.3  g(X) si exista o vecinatate V a lui  EMBED Equation.3  astfel inc@t  EMBED Equion.3   atunci 

2)     Fie  punct de acumulare al multimii D. Daca exista    si exista o vecinatate V a lui  astfel inc@t ,  atunci exista (Criteriul cleste).

3)     Daca  ,  atunci exista o vecinatate V a lui  astfel inc@t  

      f(x) >  (<)

4)     Criterii de majorare : Fie functiile un punct de acumulare al   

multimii D':

a)     Daca si exista  si V o vecinatate a lui astfel inc@t

     atunci

b)     Daca  atunci .

c)      Daca si exista M>0 astfel inc@t  atunci ;

d)     Daca  si exista o vecinatate V a lui , astfel inc@t ,  atunci .

e)     Daca  si exista o vecinatate V a lui , astfel inc@t ,  atunci .

5)     Fie functiile un punct de acumulare al multimii D,    , au sens operatiile: +, -, ,/, si f(x)+g(x),

       f(x)-g(x), f(x)g(x), f(x) / g(x), pentru si ,  

     , , .

     - daca in plus exista o vecinatate V a lui  astfel inc@t    

      atunci .

     Cazuri exceptate:  

     Operatii simbolice:   

    

   

6)     Fie functiile  un punct de acumulare al multimii A. Daca  

    exista   este punct de acumulare al multimii B, exista o vecinatate V    

    al lui astfel inc@t  si exista o , atunci

    functia are limita in punctul  si .

D.    Limitele unor functii uzuale

     1) Functii polinomiale:

-         Daca

-        

          -    

     2) Functii rationale :         

-         daca si  atunci    

-        

-        

     3) Functia radical: Pentru  si  punct de 

         acumulare:

               -                              -  

     Pentru

-          atunci

-        

     4) Functii trigonometrice:

   Pentru    

   Pentru

   Pentru

   Pentru

   Pentru

   Pentru

   Pentru

   Pentru

     5) Functia exponentiala:

-        

   Pentru       Pentru

     6) Functia logaritmica:

-

   Pentru

   Pentru

     7) Daca r>0 si functia  este functia exponentiala de baza e, atunci functia  este compunerea celor doua functii:

 si se numeste functia putere.

-

 -   

 -

E.     Limite remarcabile :

   1)

   2)                   3)

   4)                            5)

   6)                               7)

  Dacasi daca exista o vecinatate V a lui  astfel inc@t

atunci :

   1)

   2)

   3)                   4)

  Daca  atunci:                          5)   

   6)               7)

  Observatie : Aceste limite remarcabile sunt utile atunci c@nd apar cazuri de nedeterminare.

F.  Asimptote :     Fie functia  punct de acumulare pentru D.

Definitie: 1) Spunem ca dreapta de ecuatie  este asimptota verticala la st@nga a lui f daca 

                     sau

                2) Spunem ca dreapta de ecuatie  este asimptota verticala la dreapta a lui f daca

                     sau

                3) Spunem ca dreapta de ecuatie  este asimptota verticala a  lui f daca este asimptota 

                    verticala la st@nga sau la dreapta a lui f sau de ambele parti.

Observatii: 1) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca f sa fie definita in .

                       Daca  este punct de acumulare pentru f atunci functia nu are asimptota verticala    

                      .

                   2) Functia polinomiala fiind continua pe R, nu are asimptote verticale.

                   3) Functia rationala are ca asimptote verticale dreptele , unde  este radacina a

                       numitorului.

                   4) Functia logaritmica  are ca asimptota

                       verticaladreapta de ecuatie x = 0.

                   5) Functia f(x) = tg x are ca asimptote verticaledreptele de ecuatie

                     

Definitie: Fie functia , unde D contine un interval de forma . Spunem ca

                dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura spre  a functiei f, daca

                distanta dintre dreapta si grafic, masurata pe verticala tinde catre zero c@nd x tinde catre

                adica daca:  

Definitie: Fie functia  , D contine un interval de forma . Spunem ca

                dreapta y = m'x + n' este asimptota oblica la ramura spre  a functiei f daca

              

Teorema: 1) Dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura spre  a lui f daca si

                    numai daca  (finite) unde

                2) Dreapta de ecuatie y = m'x + n' este asimptota oblica la ramura spre  a lui f  daca si  

                    numai daca (finite) unde

Observatii: 1) Practic pentru a determina asimptota oblica la  parcurgem etapele :

-         se calculeaza ;

-         daca nu este finit, atunci se calculeaza ;

-         daca n este finit, atunci dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica spre .

                      Pentru determinarea asimptotei oblice spre  se procedeaza analog.

                  2) Daca cel putin una dintre cele doua limite nu exista sau este infinita, atunci nu exista 

                  asimptota oblica spre pentru f.

                  3) Daca m=0 si n este finit, atunci y=n si se numeste asimptota orizontala spre a lui f.

                  Daca m=0 si n' este finit, atunci y=n' si se numeste asimptota orizontala spre  a lui f.

Observatie: O functie nu poate admite at@t asimptote oblice c@t si asimptote orizontale la .

Exemple:

A.      1) Sa se arate ca   nu exista.

    Solutie: Consideram functia  este punct de acumulare al  domeniului de definitie. Consideram sirurile . Dar  si . Cum  rezulta ca  nu exista.

  Exercitii propuse: Sa se arate ca urmatoarele limite nu exista: a) ; b) ;

c)

Limitele laterale nu sunt egale, rezulta  nu exista.

     2) Sa se determine  astfel inc@t functia  cusa aiba limita in punctul x=3.

Solutie: Daca f are limita in x=3 => f(3-0)=f(3+0)

 

Exercitii propuse:

   1) Stabiliti daca urmatoarele functii au limite in punctul indicat:

a)        

b)    

c)     

d)        e)  

   2) Determinati constanta  pentru care functiile au limita in punctul indicat:

a)    

b)    

c)     

B.      1) Sa se calculeze limitele:

a)    

      trecem la limita in inegalitate:   

     

b)      Consideram functia f(x)=cos x ;;

Exercitii propuse: Calculati limitele:

C.      Sa se calculeze limitele:

1)     a)  b)

      c)  

2)     a)  b)  c)

       d)

   e) f)

3) a)  b)  c)

4) a)  b)  c)

5) a)b)  c)

6) a)  b)  c)

7) a)  b)

Exercitii propuse: Calculati urmatoarele limite:

1) a)  b)  c)

2) a)  b)  c)  d)  e)

    f)  g)  h)

3) a)  b)  c)

4) a)  b) c)  d)

5) a)  b)  c)  d)  e)

6) a)  b)  c)  d)

7) a)  b)  c)

D.      Calculati limitele:

1) a)  b)

 c)

 d)

 e) . Notam

. C@nd  . 

Exercitii propuse: Calculati limitele:

2) a)  b)

 c)

 d)  Consideram

 e)

Exercitii propuse:

            .

3) a)  b)

 c)

Exercitii propuse:

4) a)  b)

 c)

d)  e)

Exercitii propuse: .

Cazuri de nedeterminare

   Reamintim, cazurile de nedeterminare sunt:

I.   Cazul  poare fi int@lnit in situatiile: 

a) limite de functii rationale in puncte finite .

, daca  este radacina de ordin k pentru q se face simplificarea fractiei

b) limitele de functii rationale in grupare cu functia modul.

c) limite de expresii defite prin c@t de expresii irationale.

- se amplifica cu conjugata numitorului, numaratorului sau a ambilor.

1)

2)

3)

 4)

 5)  

d) limite de functii trigonometrice (se utilizeaza limitele:

)

1)  2)

3)  Notam  

4)

e) limite de functii exponentiale, logaritmice (se utilizeaza limitele:

)

1)  2)

3)

f) limite de functii care se calculeaza cu regula lui l'Hospital.

Teorema: Fie  doua functii cu proprietatile: 1) f,g divizibile prin (a,b) ;

2) 3)  4) exista .

Atunci exista limita  si mai mult

Exemple: 1) 2)  ;

3)

II. Cazul  poate fi int@lnit in situatiile:

a) limite de functii rationale.

1)  2)

b) limite de functii irationale, exponentiale, logaritmice.

1)

2)

c) limite de functii care se calculeaza cu regula lui l'Hospital.

Teorema: Fie  doua functii cu proprietatile: 1) f,g sunt derivabile pe (a,b);

2)  3)  4) exista . Atunci exista limita  si mai mult are loc egalitatea  

Exemple: 1)  2)

 3)

III. Cazul :

a) limita de functii rationale (se aduce la acelasi numitor). 

b) limite de functii irationale (se amplifica cu conjugata).

1)    

2)    

3)    

c) limite de functii exponentiale, logaritmice.

1) 2)

d) scriem f - g intr-o alta forma:  sau

1)

2)

IV. Cazul . Se scrie produsul fg in unul din urmatoarele moduri:

 daca  pentru  sau  daca , fiecare caz

reduc@nduse la cazul  sau .

1)  2)

 3)

V. Cazul . (Se utilizeaza limita ).

1)

2)

3)

VI. Cazul . (Se foloseste scrierea ).

1) 2)

3)

VII. Cazul .

1) 2)  Notam

Limite de functii cu parametri

1)   Sa se determine a,b astfel inc@t

Solutie:  Daca  nu are limita 0 atunci limita va fi  sau . Obtinem  si 1-a = 0 => a=1. 

 Obtinem .

2)     Sa se determine a,b,c astfel inc@t .

Solutie: .

 Pentru ca limita sa fie finita este necesar ca 2 - 2b = 0 => b=1.

 Obtinem

F.   Sa se determine asimptotele pentru functiile:

1)

- asimptote verticale. Cautam in  si . 

                      x                    -2                 2                 

=> ca x = -2 este asimptota verticala a lui f.          + + + + + + + 0 - - - - - - - 0 + + + + + + +

 De asemenea     => ca x = 2 este asimptota verticala a lui f.

- asimptote orizontale.

 y = 1 este asimptota orizontala spre

 y = 1 este asimptota orizontala spre  

- asimptote oblice nu cautam deoarece exista asimptote orizontale.

2)

-asimptote verticale. Cautam in

 x = - 5 este asimptota verticala.

- asimptote orizontale.

 ca nu exista asimptote orizontale.

- asimptote oblice:

 dreapta y = x - 5 este asimptota oblica spre .

 dreapta de ecuatie

y = x - 5 este asimptota  oblica spre

3)

- asimptote verticale:   

dreapta x = 0 este asimptota verticala la dreapta in 0.

- asimptote orizontale: ca f nu poseda asimptote orizontale.

- asimptote oblice: - spre  

9)  10)  11)

12)  13)  14)  15)  16)

17)  18)

II. Determinati parametrii reali a,b,c astfel in@t sa aiba loc: 

1)      ; 2)  ;

 3) .

III. Determinati asimptotele urmatoarelor functii , unde D reprezinta domeniul maxim de definitie:

1) 2)  3)

IV. Se considera functia definita prin expresia , a fiind un parametru real, a>0.Sa se determine a astfel inc@t graficul functiei sa aiba o singura asimptota verticala.

                                                                                  (Bacalaureat - 1999).