Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza



























LOGICA MATEMATICA

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Test de evaluare sumativa -Calcul de arii si volume ale corpurilor rotunde
Modelul matematic general al problemelor de tip transport
LUCRARE SCRISA LA CLASA A VIII-A Mate
Semidreapta
PROBLEME REZOLVATE CU MATRICE
APLICATII ALE CIRCUITELOR LOGICE COMBINATIONALE UZUALE
ALGEBRA SI ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA
Prin interiorul unei multimi se intelege multimea punctelor din multimea originala, aflate la distanta nenula de complementul multimii
Tiberiu Popoviciu
PROBLEME MATEMATICA




LOGICA MATEMATICA

1)  Notiunea: enunt, propozitie si predicat

Definitie: Prin enunt intelegem un ansamblu de simboluri (semne) carora li s-a atribuit un sens.

Exemple: 1) "" ; 2) "" ; 3) "Numerele 2,3 si 7 sunt numere prime" ; 4) "" ; 5) ""; 6) "Diagonalele unui romb sunt perpendiculare".

Observatie: Intr-un enunt trebuie sa distingem doua parti:

-       subiectul (subiectele) enuntului

-       partea predicativa a enuntului

Exemplele care urmeaza nu sunt enunturi:

1)    "Patratul si triunghiul" ; 2) "Numerele 2 si 3".

In matematica exista doua tipuri de enunturi:

A)   Propozitia

Definitie: Prin propozitie intelegem un enunt despre care putem afirma, fara ambiguitate, ca este un adevar sau un fals.

Exemple de propozitii: 1) "" ; 2) "" ; 3) "" ; 4) "" ; 5) "3 divide pe 6" ; 6) "singurul numar prim par este 2" ; 7) "".

Propozitiile se noteaza de obicei cu literele: , , , , , ., , , ., , , . etc.

Calitatea unei propozitii de a fi adevarata sau falsa o vom numi valoare de adevar. Valoarea de adevar a unei propozitii p o vom nota cu .

Spunem ca o propozitie  este adevarata daca are valoarea de adevar "adevarul" si vom nota , iar o propozitie  este falsa daca are valoarea de adevar "falsul" si vom nota .

B)    Predicat

Definitie: Un enunt care contine una sau mai multe variabile se numeste predicat.

Observatii: 1) Se mai spune ca un predicat este un enunt cu cel putin un subiect al sau nedeterminat.

2)    Un predicat se mai numeste si propozitie cu variabila (variabile).

3)    Pentru fiecare variabila a predicatului, daca aceasta rezulta din context, se precizeaza multimea sa de definitie.

In functie de numarul variabilelor, predicatele logice sunt unare, binare, ternare, etc. Un predicat cu  variabile il numim predicat -ar.

Predicatele se noteaza: , , . (predicate unare cu variabila ), , , . (predicate binare cu doua varibile  si ), , . (predicate ternare cu trei variabile ,  si ), etc.

Exemple de predicate: 1) : "" ; 2) : "" ; 3) : "" ; 4) : "".

2)  Operatii logice elementare (conectori logici)

Cu propozitiile logice simple (numite si atomi) pentru care valoarea de adevar se stabileste imediat, prin intermediul unor operatori logici sau conectori logici, se pot formula propozitii logice complexe, numite formule ale calculului propozitional.

De regula se consider trei conectori logici fundamentali: negatia logica, conjunctia logica si disjunctia logica. Din acestia mai rezulta inca doi conectori derivati: implicatia logica si echivalenta logica.

a)     Negatia propozitiilor

Se considera propozitia notata cu .

Definitie: Prin negatia propozitiei , intelegem o propozitie (notata cu ญญญญญ si citim "non ") care este propozitie adevarata cand  este falsa si este propozitie falsa cand  este adevarata.

Valoarea de adevar a propozitiei  ("non ") este data in urmatorul tabel:

1

0

0

1

Exemple de propozitii si negatiile lor:

1) : "Numarul 6 este numar prim" ; : "Numarul 6 nu este numar prim"

2) : "2+5=7" ; : "2+5=7"

3) : "Apa ingheata la " ; : "Apa nu ingheata la "

4) : "Diagonalele unui paralelogram se injumatatesc" ; : "Diagonalele unui paralelogram nu se injumatatesc"

5) : "" ; : ""

6) : "" ; : "".

Exercitiu: Pentru orice propozitie p, avem  (legea negarii negatiei). Alcatuim tabelul de adevar:   

1

0

1

0

1

0

b)  Disjunctia propozitiilor

Se considera propozitiile , .

Definitie: Prin disjunctia propozitiilor , , intelegem o propozitie (notata cu  si citim " sau ") care este o propozitie adevarata cel putin una dintre propozitii este adevarata si este falsa cand ambele propozitii sunt false.

Valoarea de adevar a propozitiei  (" sau ") este data in tabelul de adevar alaturat.

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Exemple: Se dau doua propozitii simple si formam propozitia compusa aplicand conectorul ""

1)  : "" ; : "" ; : " sau "

Avem , , de unde  (conform afirmatiei).

2)  : "Diagonalele unui dreptunghi sunt perpendiculare" ; : "" ; : "Diagonalele unui dreptunghi sunt perpendicular sau "

Avem , , de unde .

Exercitiu: Oricare ar fi propozitia , propozitia  este adevarata (se mai zice si tautologie).

Observatie: Prin tautologie (sau lege sau formula valida) intelegem o formula a calculului propozitional (adica propozitie compusa sau format cu conectori logici care au valoarea de adevar "adevarul", oricare ar fi valoarea de adevar a propozitiilor componente.

Revenind la exercitiu, vom alcatui tabla de adevar a propozitiei :

1

0

1

0

1

1

Observatie: Legea  se mai numeste principiul tertului exclus.

c)     Conjunctia propozitiilor

Se considera propozitiile , .

Definitie: Prin conjunctia propozitiilor , , intelegem o propozitie (notata cu  si citim " si ") care este o propozitie adevarata daca ambele propozitii sunt adevarate si este falsa in restul situatiilor.

Valoarea de adevar a propozitiei  (" si ") este data in tabelul de adevar alaturat:

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Exemple: Se dau doua propozitii simple si formam propozitia compusa aplicand conectorul ""

1) : "" ; : " ; : " si "

Avem , , de unde .

2) : "" ; : "" ; : " si "

Avem , , de unde .

Exercitiu: Oricare ar fi propozitia p, propozitia  este falsa. Intr-adevar, alcatuind tabelul de adevar al propozitiei  se observa ca

1

0

0

0

1

0

Observatie: Propozitia  se numeste principiul contradictiei.

d)     Implicatia propozitiilor

Plecand de la conectorii fundamentali (negatia, disjunctia si conjunctia) obtinem conectori derivati cum ar fi implicatia si echivalenta.

Fie propozitiile , . Cu aceste propozitii formam propozitia , pe care o vom nota de aici incolo cu  (" implica ").

Definitie: Prin implicatia propozitiilor , , intelegem o propozitie care este propozitie falsa cand  este adevarata si  falsa si este propozitie adevarata in restul situatiilor.

Valoarea de adevar a propozitiei  (" implica ") este data de tabelul de adevar alaturat:

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Retinem: Propozitia  este una si aceeasi cu propozitia .

Exemple: Se consider doua propozitii simple si formam propozitia compusa aplicand conectorul ""

1) : "" ; : "Balena zboara" ; : " implica balena zboara"

Avem , , de unde .

2) : "" ; : "" ; : " implica "

Avem , , de unde .

3) : "" ; : "" ; : " implica "

Avem , , de unde  (falsul implica adevar).

4): "" ; : "" ; : " implica "

Avem , , de unde .

e)     Echivalenta propozitiilor

Se considera propozitiile , .

Definitie: Prin echivalenta propozitiilor , , intelegem o propozitie (notata cu  si citim " echivalent cu ") care este o propozitie adevarata daca ambele propozitii au aceeasi valoare de adevar si este o propozitie falsa in restul situatiilor.

Valoarea de adevar a propozitiei  (" echivalent cu ") este data de tabla de adevar alaturata:

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Exemple: Se dau doua propozitii simple si formam propozitia compusa aplicand conectorul ""

1): "" ; : "" ; : " echivalent cu "

Avem , , de unde .

2) : "" ; : "" ; : " echivalent cu "

Avem , , de unde .

3) : "" ; : "" ; : " echivalent cu "

Avem , , de unde .

Exercitiu: Sa se verifice ca :

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

Se observa in tabel ca in ultimele doua coloane avem aceeasi valoare de adevar oricare ar fi valorile de adevar ale propozitiilor , .

3)    Cuantificatori (pentru predicate unare)

Prin prin predicat intelegem un enunt cu cel putin un subiect al sau nedeterminat. Subiectele nedeterminate se numesc variabile.

In continuare se va da un procedeu de a forma propozitii particulare plecand de la predicat! Acest procedeu il vom aplica pentru predicatele unare si binare.

Sa consideram predicatul unar : "". Inlocuind pe  cu un numar intreg  se obtin propozitii  care sunt ori adevarate, ori false.

Fie  un predicat. ( este domeniul variabilei)

Definitie: Propozitia "oricare ar fi  are loc " se numeste propozitie universala asociata predicatului .

Notatie: Propozitia universala se noteaza "" (citim: "oricare ar fi  are lor ").

Observatie: Cuantificatorul "oricare ar fi" sau "pentru oricare" se numeste cuantificatorul universal si se noteaza cu simbolul "".

Valoarea de adevar: 1) Propozitia  este adevarata daca pentru oricare , propozitia  este o propozitie adevarata.

2) Propozitia  este falsa daca exista cel putin un  pentru care propozitia  este falsa.

Exemple:

1) Fie predicatul : "". Propozitia  este o propozitie adevarata deoarece pentru orice , propozitia : "" este adevarata.

2) Fie predicatul : "


Document Info


Accesari: 4762
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )