Limite de functii

Limite de functii

          Notatii: f:D®R, DÌR, a - punct de acumulare a lui D;

II.1. Definitii ale limitei

          Definitia II.1.1. , dacã pentru orice vecinãtate V a lui l existã o vecinãtate U a lui a astfel încât " xÎDÇU, x¹a, sã rezulte f(x)ÎV.

          Definitia II.1.2. , dacã pentru orice sir (x_n)_n³0, x_nÎD\, având  rezultã   (criteriul cu siruri);

          Definitia II.1.3. , dacã "e>0,  $d_e >0 astfel încât "xÎD\ si çx - aç< d_e rezultã çf(x) - lç< e;

          Definitia II.1.4. , dacã l_s = l_d = l, unde  si .

II.2. Operatii cu limite de functii

f:D®R, g:D®R, a - punct de acumulare a lui D, , , l₁,l₂ÎR;

II.3. Limite tip

, ;

4.

, , dacã a > 1;

, , dacã 0 < a < 1;

1.    

 si  dacã a > 1;

 si  dacã 0 <  a < 1;

6.,

,

,

7. ,

,

,

,

, ;

8. , , , ;

9.

1.    

2.    

3.     ,

4.      .

II.4. Continuitatea functiilor

          Definitia II.4.1. Fie f:D®R, x_oÎD, x_o - punct de acumulare a lui D, f este continuã în x_o, dacã , x_o se numeste punct de continuitate.

          Definitia II.4.2. Fie aÎD, a este punct de discontinuitate de prima spetã dacã existã si sunt finite limitele laterale în a, dar functia nu este continuã în a.

          Definitia II.4.3. Fie aÎD, a este punct de discontinuitate de speta a doua dacã nu este de prima spetã.

          Teoremã. Dacã f:I®R, I - interval si f continuã pe I, atunci J = f(I) este interval ( o functie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).