Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza



























MATRICI

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Corelatii
PROBĂ DE EVALUARE FINALĂ - CLASA a - II - a
Paralelogramul
CONTROLUL CORECŢIEI COMPASULUI. PROCEDEE PENTRU EXECUTAREA CORECŢIEI COMPASULUI
PROBLEME GEOMETRIE
7 CRITERII DE DIVIZIBILITATE CU 7
Serii de valori si indicatori statistici
Analiza de sarcina
Functii trigonometrice
Poligoane convexe




MATRICI

Definitie Fie M=,N= multimea primelor m respectiv n, numere naturale nenule.Se numeste matrice de tip (m,n) functia A:MxNC definita prin tabloul A= notata prescurtat A=(aij) unde aij C(multimea numerelor complexe).Multimea tuturor matricelor de tip (m,n)se noteaza cu Mmn(C) unde m reprezinta numarul de linii si n numarul de coloane .

Daca m=n, o matrice [n care numarul de linii este egal cu numarul de coloane se numeste matrice patratica de ordin n.

Matrici egale Fie AMmn(C), A=(aij) si BMmn(C), B=(bij) Atunci A=B aij= bij oricare ar fi i= , j= .

Adunarea matricelor A+B=C unde C=(cij) unde cij=aij+bij oricare ar fi i=,j= de numeste suma dintre matricele A si B.

Proprietati: 1)Adunarea este asociativa :(A+B)+C=A+(B+C) A,B,C Mmn(C)

2)Adunarea este comutativa: A+B=B+A ,A,BMmn(C)

3)Matricea cu toate elementele 0(zero),notata cu O ,OMmn(C),este elementul neutru pentru adunare.

4)Orice matrice AMmn(C) are un opus notat -AMmn(C) astfel [ncat A+(-A)=(-A)+A=0.

Observatie: Se aduna numai matrici de acelasi tip.

Inmultirea matricilor

Se [nmultesc doua matrici AMmn(C) si BMnp(C) numai daca numarul de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale lui B si AB=C unde CMmp(C) si daca A=(aij) ,B=(bjk) atunci C=(cik).

Pe scurt "se [nmultesc liniile cu coloanele "

cik=ai1b1k+ai2b2k+...+ainbnk=

Proprietati 1)Inmultirea matricilor este asociativa: (AB)C=A(BC) daca A Mmn(C),B Mnp(C),C Mpq(C)

2)Inmultirea matricilor nu este comutativa,[nmultirea este asemanatoare cu compunerea functiilor.

3)Inmultirea este distributiva fata de adunare :

Daca AMmn(C);B,CMnp(C) atunci A(B+C)=AB+AC

Daca A,B Mmn(C) si CMnp(C) atunci (A+B)C=AC+BC

4)In multimea Mn(C) matricilor patratice exista matricea In=

patratica de ordinul n ce reprezinta elementul neutru fata de [nmultire,adica AIn=InA=A A Mn(C).

Inmultirea cu scalari a matricilor:

Fie AMmn(C),A=(aij) si aC atunci aA=B, B=(bij) unde bij=a aij

Proprietati: 1)Daca AMmn(C) atunci 1 A=A

2) Daca AMmn(C)si a,bC atunci (a+b)A=aA+bA

3) Daca AMmn(C) si a,bC atunci (ab)A=a(bA)

4) Daca A,BMmn(C)si aC atunci a(A+B)=aA+aB

5) Daca AMmn(C),BMnp si aC atunci a(AB)=(aA)B

Matricea transpusa notata cu At -se schimba [n A liniile [n coloane.

Exercitii rezolvate :

1)   Fie A=M3(Q).Daca f(x)=X2+3x+I3,sa se calculeze f(A).

REZOLVARE: f(A)=A2+3A+I3=+3+=++ => f(A)=

2)Fie matricea A= .Sa se calculeze (I+A)n,nN* iar I= .

REZOLVARE: Se poate aplica binomul lui Newton.

(I+A)n=C In+C In-1A+C In-2A2+....+C An

Dar A2 =A A==

A3=A2 A===0

Deci An=0 n3 nN si (I+A)n=+n++..+0

In final (I+A)n=

Observatie:In general daca A=,a,b,cR atunci A=+ sau A=I+B unde B=.Se constata ca B3 =0 si deci Bn=0 n3 nN si atunci An=(I+B)n.

3) Fie matricea A= .Sa se calculeze B= unde nN*.

REZOLVARE: A=I+B sau =+ deci B= => B2= B3=0 B3= deci Bn=0 n3 nN si An=(I+B)n=CIn+CIn-1B+CIn-2B2+....+CBn= =+n++...+

An=

Cum =n; =; = .Avem B==

Observatie: AMn(C) se poate calcula An,nN* si prin alta metode,

ca: 1)prin inductie matematica

Exemplu: Fie A=M2(Z) pentru a calcula An observam ca A2=,A3= cea ce ne face sa presupunem ca An=,.

Demonstram aceasta propozitie folosind metoda inductiei matematice:

1.    etapa de verificare n=1 => A=

2.    presupunem Ak= si sa demonstram ca Ak+1=; Dar Ak+1=Ak A

deci An=,.

2)Se poate calcula An, nN *,si folosind sirurile recurente:

Exemplu: Fie matricea A=.Sa se calculeze An, nN.

REZOLVARE: Notam An= .Substituind pe n cu n+1 obtinem: An+1=.

Pe de alta parte calculand An+1=An A avem

An+1= = deci se obtin relatiile =>an=n si bn= si deci An=,n

4) Fie H=

a)       Sa se arate ca (H,) este grup abelian(operatia "",este operatia de [nmultire a matricilor).

b)      Sa se arate ca (H,)este izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale (R,+).

REZOLVARE: 1.Fie AxH si AyH sa aratam ca operatia este bine definita ,sau ca (H, ) stabila:

dar AxAy= deci AxAy=Ax+yH pentru ca xR,yR si x+yR.

2.Asociativitatea : (AxAy)Az=Ax(AyAz;Ax,Ay,AzH evident pentru ca A(x+y)+z=Ax+(y+z)

3.Comutativitatea AxAy=AyAx , Ax,AyH evident pentru ca Ax+y=Ay+x

Elementul neutru AeAx=AxAe=A dar AxAe=Ax Ax+e=Axx+e=x =>e=0 deci Ae=A0=

Simetricul: AxH, AH astfel [ncat Ax A= AAx=A0 dar

Ax A=A0 =>A=A0 =>x+x1=0 =>x1=-x => A=H

Deci (H,) este grup abelian.

c)       Se considera f:RH, x--->f(x)

1)Se verifica f bijectiva

2) iar relatia f(x)f(y)=f(x+y) evident pentru ca f(x)=Ax, f(y)=Ay ,AxAy=Ax+y deci f(x)f(y)=AxAy=Ax+y=f(x+y).

Exercitii propuse:

1.Sa se determine parametri astfel [ncat matricea A sa verifice relatia A2-A+I2=O2 unde O2= si I2=.

2.Fie A= calculati An, .

3.Se considera multimea de matrici G .Sa se demnstreze ca G este parte stabila a lui M2(Z) [n raport cu adunarea ,respectiv [nmultirea matricelor.

Sa se arate ca (G,+,) formeza o structura de inel comutativ fara divizori a lui zero.

DETERMINAN|I

Determinantul este un numar real atasat unei matrice patratice;Exemplu:A= detA==a11a22-a12a21

A= atunci det A= care se calculeaza cu regula lui Sarrus sau a triunghiului.

Obs. Determinantii de ordin mai mare dec[t 3 se calculeza pe baza proprietatilor acestora.

Proprietati:

1.Daca AMn(C) atunci detA=detAt.

2.Daca toate elementele unei linii(sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,atunci determinantul matricii este nul.

3.Daca [ntr-o matrice schimbam doua linii(sau coloane) [ntre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

4.Daca o matrice are doua linii(sau coloane)identice,atunci determinantul sau este nul.

5.Daca toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrici sunt [nmultite cu un numar ,obtinem o matrice al carei determinant este egal cu [nmultit cu determinantul matricei initiale.

6.Daca elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrici sunt proportionale ,atunci determinantul matricei este nul.

7.Daca o linie(sau coloana)a unei matrici patratice este o combinatie

liniara cu celelalte linii (sau colone) atunci determinantul matricei este zero.

8.Daca la o linie(sau coloana) a matricei A adunam elementele altei linii (sau coloana) [nmultite cu acelasi numar,atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca matricea A.

Calculul determinantilor: d= determinantului de ordinul 3 se obtine suprimand linia i si coloana j,, din determinantul d se numeste minusul elementului aij si se noteaza dij iar =(-1)i+jdij se numeste complement algebric al elementului aij [n determinantul d.

Teorema: Fie determinantul d= atunci d=ai1i1+ai2i2+ai3i3+ai4i4 reprezinta dezvoltarea determinantului d dupa linia i.

Exemplu:1) Sa se calculeze determinantul d==(-3)*77+4* 67=-231+268=37

2)Determinantul Vanderman de ordin 3.

= =(a-c)(b-c)(b+c-a-c)=(a-c)(b-c)(b-a)=(a-b)(b-c)(c-a)

3.Sa se rezolve ecuatia:

=5

Rezolvare: ==

Ecuatia devine -4x3+2x2+1=5 sau 2x3-x2+2=0 se observa ca -1 este radacina,se aplica schemalui Horner 2 -1 0 3 x1=-1 si

2x2-3x+3=0 x23= -1 2 -3 3 0

Rangul unei matrice

Definitie :Fie A Mmn(C) o matrice nenula.Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rangA=r,daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista)sunt nuli.

Exercitiu rezolvat: Fie matricea A= .Sa se calculeze rangul matrice A.

Rezolvare: Cum A M34(R) minori de ordinul doi d=0 deci rang A 2.Se calculaza minorii de ordinul trei care sunt C43=4

d1==3(-6), d2==3(2-2)sau doar pe cei obtinuti prin bordarea lui d.

caz 1:d2=0 d3=0 adica =1, =6 => rangA=2

caz 2:d20 sau d30 adica 1 sau 6 => rangA=3

Matrici inversabile:

Definitie: O matrice patratica se numeste nesingulara daca determinantul sau este nenul.

Definitie:Fie o matrice patratica de ordin n.Se spune ca A este inversabila,daca exista o matrice B patratica de ordin n,astfel [ncat :

AB=BA=In; B se numeste inversa matricei A.

Teorema: AMn(C).matricea A este inversabila daca si numai daca det A 0 sau este nensingulara si A-1=A* unde A* se numeste matrice adjuncta formata din complementii algebrici din matricea transpusa.

Exemplu 1: Fie A=.Sa se arate ca este inversabila si [n caz afirmativ calculati A-1.

Rezolvare: d=deci este inversabila si A-1=A* dar

At= A11=+=-3, A12=-=4, etc... , A*= deci A-1=A* sau A-1=() verificarea:A A-1=A-1 A=I3 unde I3=

2.Fie A= a)Sa se arate ca A este inversabila si sa se calculeze A-1.

b)Determinati X astfel [ncat A X=B unde B=.

Rezolvare:

a)    A este inversabila pentru ca det A=4 deci d0 deci A-1=A*.Se observa ca At=A.

avem A*=,A-1=.

b)ecuatia AX=B are solutia X=A-1B si prin calcul direct obtinem:X= => X= sau altfel AX=B = cu =4.Prin regula lui cramer xi= =>

Exercitii de rezolvat:

1)    Sa se determine matricea X care satisface egalitatea X=

Indicatie: ecuatia este de forma XA=B si solutia care este unica are forma X=BA-1(a nu se uita ca [nmultirea matricelor nu este comutativa).

2)    Se considera matricea X cu proprietatea X=

Precizati tipul matricei x si apoi determinati aceasta matrice.

3)Se considera matricea A=M3(C)

a)pentru ce valori complexe ale lui m matricea A este inversabila.

b)pentru m=2 sa se determine inversa matricei A.

4)Fie ecuatia x3-(2m-1)x2+(1+2m)x-m=0; mR.Sa se determine m astfel [ncat matricea: A= sa fie inversabila unde x1,x2,x3 sunt radacinile ecuatiei date.

5)Se considera multimea M=.Sa se demonstreze ca [nmultirea matricelor este lege de compozitie interna pe M si ca (M,) este grup abelian.

6)Se considera polinomul P(x)= Sa se determine parametrul real a pentru care polinomul admite radacina dubla [ntreaga.


Document Info


Accesari: 47462
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )