PUTERI sI RADICALI

5. PUTERI sI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

Ø aⁿ unde aÎ|R, nÎ|N;

Ø a⁰=1;

Ø a¹=a;

Ø aⁿ = ;

Ø a - baza puterii;

Ø n - exponentul puterii;

Ø (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, "a,bÎ|R, nÎ|N^*;

Ø (a^m)ⁿ=a^mn, "aÎ|R, m,nÎ|N^*;

Ø a^m×aⁿ=a^m+n, "aÎ|R, m,nÎ|N^*;

Ø , b¹0, "a,bÎ|R, nÎ|N^*;

Ø , "aÎ|R^*, m,nÎ|N^*, m>n. 18218p152s

Puteri cu exponent întreg negativ:

Ø a^-n= unde aÎ|R^*, nÎ|N;

Ø restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

Ø , a≥0, Îℚ₊;

Ø , a≥0, ,Îℚ₊;

Ø          , a,b≥0, Îℚ₊;

Ø                       , a≥0, b>0,  Îℚ₊;

Ø , a≥0, , Îℚ₊;

Ø , a>0,  ,Îℚ₊, >.

Puteri cu exponent rational negativ:

Ø , a>0, Îℚ₊;

Ø restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:

Ø f(x)=xⁿ,  f:|R®|R, nÎ|N^*;

Ø monotonia: ;

Ø paritate: ;

Ø semn: .

Functia putere cu exponent întreg negativ:

Ø f(x)=x^-n,  f:|R-®|R, nÎ|N^*;

Ø monotonia: ;

Ø paritate: ;

Ø semn: .

Functia putere cu exponent rational:

Ø f(x)==,  f:(0, ¥) →(0, ¥), Îℚ^*;

Ø daca >0 ⇒ f strict crescatoare;

Ø  daca <0 ⇒ f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

Ø ecuatia xⁿ-a=0 (nÎ|N, n³2, aÎ|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;

Ø daca a>0, nÎ|N, n³2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;

Ø notatie x=;

Ø notatie =;

Ø =0;

Ø ;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:

Ø ecuatia xⁿ-a=0 (nÎ|N, n³2, n impar, aÎ|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;

Ø daca a<0, nÎ|N, n³2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

Ø notatie x==;

Proprietatile radicalilor: " m, n, kÎℕ^*, m, n, k≥2

Ø P1)  , "a,b≥0;

Ø P2)    , " a≥0, b>0;

Ø P3)  , " a≥0;

Ø P4)  ()^m =," a≥0;

Ø P5)  =," a≥0;

Ø P6)  ," a≥0.

Operatii cu radicali:

1.  scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical în factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;

2.  introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;

3.  înmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

Ø , a₁, a₂, ., a_k≥0;

Ø , a, b≥0;

4.  împartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

Ø , " a≥0, b>0;

Ø , " a≥0, b>0;

5.  rationalizarea numitorilor:

Ø operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;

Ø expresii conjugate:  - expresii cu radicali care prin înmultire dau o expresie fara radicali;

-,  a, b≥0;

-,  a, b≥0;

-,  a, b≥0;

-,  a, b≥0, n impar;

Functia radical:

Ø f(x)= , f:[0, ¥)®[0, ¥), nÎ|N, n³2;

Ø monotonia: f strict crescatoare pe [0, ¥);

Ø f(x)³0 "xÎ[0, ¥);

Ø functia este bijectiva;

Ø inversa ei este functia putere.

Ø f(x)= , f:|R®|R, nÎ|N, n³2, n impar;

Ecuatii irationale:

Ø ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;

Ø rezolvarea consta în eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, înmultire cu expresia conjugata), reducându-le la ecuatii studiate;

Ø conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie în functie de x;