SPATII EUCLIDIENE

SPAŢII EUCLIDIENE

Parcurgând aceasta lectie ve‏ti dobândi cunostinte referitoare la:

§        Spatii vectoriale euclidiene;

§        Produs scalar, norma unghi, distanta;

§        Baze ortonormate, transformari ortogonale, procedee de ortogonalizare;

§        Operatori autoadjuncti pe spatii euclidiene;

§        Aducerea unei forme patratice la o suma de patrate prin metoda transformarilor ortogonale.

Timpul minim pe care trebuie sa-l acordati aces 13113f56n tei lectii este de 4 ore.

L.VI.2.1  Produs scalar, norma, unghi, distanta

Notiunea de produs scalar

          În spatiul vectorial real tridimensional al vectorilor geometrici, reprezentati de sageti, am pus în evidenta si alte operatii în afara de cele care definesc structura de spatiu vectorial: produsul scalar, produsul vectorial, produsul mixt. Aceste operatii au fost definite, ca si cele de adunare si de înmultire a vectorilor cu numere, folosindu-se notiunile geometrice de unghi si distanta, de care nu dispunem în cazul spatiului real cu mai multe dimensiuni.

Notiunea de produs scalar, într-un spatiu oarecare, se defineste preluând proprietatile esentiale ale produsului scalar din spatiul fizic.

Definitie

          Se numeste produs scalar pe spatiul vectorial real V o operatie în care la

 fiecare pereche de vectori x si y din V  se asociaza un scalar (numar real) notat  astfel încât sunt îndeplinite urmatoarele conditii:

1.     ;

2.     ;

3.     ;

4.     ,  daca si numai daca .

          Asa cum s-a stabilit în capitolul "Calculul vectorial", produsul scalar al vectorilor geometrici îndeplineste aceste conditii. Acest fapt are doua semnificatii. În primul rând el ofera un exemplu de produs scalar în sensul definit aici. Ca atare definitia este consistenta. În al doilea rând putem spune ca acest produs scalar este o generalizare a celui definit geometric în spatiul tridimensional.

          Conditiile (2) si (3) exprima faptul ca produsul scalar, ca functie reala de doua variabile vectoriale x si y, este definit astfel încât, daca se fixeaza variabila x, se obtine o functie reala liniara în y. Conditia (1), de simetrie asigura ca produsul scalar este liniar si în x. Asadar, conditiile (1), (2) si (3) exprima faptul ca produsul scalar este o forma biliniara simetrica. Urmatoarea propozitie releva continutul conditiei (4).

Propozitie

          O forma biliniara simetrica definita pe spatiul vectorial real V este produs scalar daca si numai daca forma patratica asociata ei este pozitiv definita.

Demonstratie

Fie o forma biliniara simetrica a spatiului V.

Notând , sunt îndeplinite conditiile (1), (2) si (3). Daca forma patratica asociata  este pozitiv definita, atunci exista o baza în care expresia formei patratice este:

,

în care  sunt coordonatele vectorului x în acea baza. Deoarece  este o suma de patrate rezulta ca . În plus, suma de patrate  daca si numai daca toti termenii sumei sunt nuli, deci atunci si numai atunci când .

          Reciproc, sa presupunem ca forma biliniara simetrica din care provine forma patratica  este un produs scalar adica îndeplineste conditia (4):  daca si numai daca . Fie  o baza în care expresia formei patratice este o suma de patrate:  . Rezulta ca pentru orice  si deci , adica forma patratica  este pozitiv definita.  Q.E.D.

          Din propozitia anterioara rezulta ca un produs scalar este o forma biliniara simetrica a carei forma patratica este pozitiv definita. Evident ca pe un spatiu vectorial real se pot defini mai multe produse scalare si anume atâtea câte forme patratice pozitiv definite sunt.

Daca spatiul este finit generat, de dimensiune n, atunci multimea formelor patratice pozitiv definite (deci a produselor scalare) este în corespondenta bijectiva cu multimea matricelor patratice reale de ordinul n, simetrice, având toti minorii  care au fost definiti în metoda Iacobi strict pozitivi.

Notiunea de spatiu euclidian

          Se numeste spatiu euclidian un spatiu vectorial real împreuna cu un produs scalar pe care-l vom nota ca mai sus:  înseamna produsul scalar al vectorilor x si y. Pentru a desemna un spatiu euclidian vom folosi de regula litera E în loc de V.

          Asa cum am mentionat, pe un spatiu vectorial real V exista o infinitate de produse scalare. Alegerea unuia dintre acestea  confera spatiului V o structura algebrica prevazuta cu o operatie în plus fata de cele ale spatiului vectorial. Aceasta structura poarta numele de spatiu euclidian.

Inegalitatea lui Cauchy

          Pentru orice vector x al spatiului euclidian E notam: .

Din definitia produsului scalar, numarul de sub radical este pozitiv (chiar strict pozitiv daca ), astfel încât radacina sa patratica este corect definita ca numar real pozitiv si îl numim norma lui x. Pentru orice pereche de vectori x si y este îndeplinita urmatoarea inegalitate numita inegalitatea lui Cauchy:

.

          Într-adevar, pentru orice numar real , din definitia produsului scalar, avem , deci . Rezulta ca discriminantul acestui trinom de gradul doi în  este negativ: , de unde se obtine inegalitatea enuntata.

Inegalitatea triunghiului (Mincowski)

          Pentru demonstratie folosim proprietatile din definitia produsului scalar: . Cu notatia introdusa aceasta înseamna:

de unde, folosind inegalitatea lui Cauchy, , obtinem inegalitatea triunghiului.

Spatii normate, spatii Banach, spatii Hilbert.

          Se numeste norma pe spatiul vectorial real V o functie  având urmatoarele proprietati:

1.      daca si numai daca ;

2.     ;

3.     .

          Un spatiu vectorial real se numeste spatiu vectorial normat daca pe acest spatiu s-a definit o norma.

Exemplu

          În orice spatiu euclidian E se poate defini norma: . Din proprietatile produsului scalar si din inegalitatile Cauchy si Mincowski, rezulta cele trei conditii din definitia normei.

          Un vector al unui spatiu normat (în particular euclidian) se numeste versor daca are norma egala cu unu.

          O multime oarecare X se numeste spatiu metric daca exista o functie:   numita distanta având urmatoarele proprietati:

1.     .

2.     .

3.      daca si numai daca .

Exemple

          Pe orice spatiu normat (si deci pe orice spatiu euclidian) se poate defini distanta în felul urmator: . Folosind proprietatile din definitia normei se pot demonstra cu usurinta proprietatile din definitia distantei.

          Pe un spatiu vectorial real se pot defini distante care sa nu provina din nici-o norma, cum ar fi:  pentru si  pentru .

          Pe orice spatiu metric se poate defini o topologie cunoscuta sub numele de

"topologia spatiului metric". Mentionam ca un spatiu topologic se numeste spatiu topologic complet daca orice sir fundamental este convergent.

          Se numeste spatiu Banach un spatiu normat care, cu topologia corespunzatoare, este complet. Daca, în plus, spatiul este euclidian, adica norma este definita de un produs scalar, atunci spatiul se numeste spatiu Hilbert.

Unghiul a doi vectori nenuli într-un spatiu euclidian

          Fie E un spatiu euclidian si x, y doi vectori nenuli din E. Numim unghiul vectorilor x si y, notat   unghiul din intervalul  definit de:

.

          Inegalitatea lui Cauchy asigura ca membrul drept al egalitatii este un numar cuprins  în intervalul  deci poate fi cosinusul unui unghi. Pe de alta parte, din monotonia functiei cos pe intervalul  rezulta ca acest unghi este determinat.

          Spunem ca vectorii x si y sunt ortogonali daca unghiul lor este drept. Acest lucru este echivalent cu conditia: .

          Alegând pe spatiul vectorial al vectorilor geometrici (definiti cu ajutorul sagetilor) produsul scalar obisnuit, unghiul definit mai sus este acelasi cu cel obtinut prin masurarea cu ajutorul raportorului. La fel, norma unui vector, coincide cu lungimea lui obtinuta prin masurarea cu ajutorul riglei gradata adecvat.

Daca însa alegem pe acest spatiu alt produs scalar, atunci nici lungimea vectorilor si nici unghiul lor nu vor mai fi aceleasi. De exemplu, pe de o parte se pierde atât calitatea de versor, cât si calitatea de vectori ortogonali, iar pe de alta parte unii vectori cu lungimea diferita de unu devin versori si alti vectori ce formeaza unghiuri ascutite sau obtuze devin ortogonali.

L.VI.2.2  Baze ortonormate, transformari ortogonale

Baze ortonormate

          Fie E un spatiu euclidian finit generat. Se numeste baza ortonormata o baza  formata din versori ortogonali doi câte doi.

          Din definitia versorului si a unghiului a doi vectori rezulta ca o baza ortonormata se caracterizeaza prin faptul ca  simbolul lui Kronecker, care este elementul generic al matricei unitate. Asadar o baza este ortonormata daca si numai daca matricea produsului scalar, considerat ca forma biliniara simetrica este tocmai matricea unitate .

          Reamintim ca daca A este matricea unei forme biliniare φ în baza :

  sunt coordonatele lui x, iar  sunt coordonatele lui y, atunci:

.

Luând în locul formei φ produsul scalar, faptul ca, în acest caz,  conduce la:

Asadar o baza ortonormata se poate caracteriza prin faptul ca produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzatoare ale celor doi vectori în aceasta baza.

Metoda lui Gauss pentru construirea unei baze ortonormate

          În capitolul anterior am aratat deja ca daca o forma patratica este pozitiv definita atunci exista o baza în care matricea sa este matricea unitate. Produsul scalar se defineste tocmai ca forma biliniara simetrica a carei forma patratica este pozitiv definita. Asadar exista o baza în care matricea produsului scalar este matricea unitate.

Reamintim procedeul de obtinere a unei astfel de baze. Folosind metoda lui Gauss se aduce la o suma de patrate forma patratica definita de produsul scalar. Se obtine o baza  în care matricea acestei formei patratice este o matrice diagonala.

Deoarece forma este pozitiv definita elementele de pe diagonala sunt numere strict pozitive. Faptul ca matricea produsului scalar este o matrice diagonala înseamna ca  pentru , adica vectorii  sunt ortogonali doi câte doi. Evident ca ei vor ramâne tot ortogonali daca vor fi înmultiti cu scalari nenuli.

Pe de alta parte orice vector nenul x devine versor daca se înmulteste cu scalarul . Într-adevar,

.

          Operatia prin care din vectorul nenul x obtinem versorul  se numeste normare. Matricea coordonatelor versorilor  în baza  este matricea diagonala având pe diagonala inversele normelor vectorilor , deci este o matrice nesingulara, de unde rezulta ca acesti versori constituie o baza.

Metoda lui Gramm de ortonormare

          Urmatoarea metoda descrie construirea pas cu pas a unei baze ortonormate. Fie  o baza oarecare a spatiului euclidian E si notam versorul obtinut prin normarea lui .

          Pentru a obtine urmatorul versor al unei baze ortonormate calculam vectorul auxiliar . În primul rând sa observam ca  deoarece  este o combinatie liniara a vectorilor  în care coeficientul lui  este egal cu unu (vectorul  se obtine prin înmultirea vectorului  cu un numar). Pe de alta parte,

,

adica  este ortogonal pe . Notând cu  versorul obtinut prin normarea lui , acesta va fi, de asemenea, ortogonal pe .

Analog, consideram vectorul auxiliar .

Deoarece  si  sunt combinatii liniare numai de vectorii  rezulta ca  este o combinatie liniara de vectorii liniar independenti  în care coeficientul lui  este nenul, deci .

          Vom arata ca  este ortogonal si pe  si pe .

unde am folosit liniaritatea produsului scalar si ca

.

          Versorul  al lui  va fi iarasi ortogonal si pe  si pe .

          Se continua acest procedeu pâna se obtin versorii  ortogonali doi câte doi. Acestia sunt liniar independenti deoarece daca , înmultind scalar ambii membri ai acestei egalitati cu versorul  se obtine  pentru orice indice i. Asadar ei formeaza o baza.

          Este util de retinut ca orice sistem de n versori ortogonali doi câte doi constituie o baza.

          În continuare vom studia multimea bazelor ortonormate ale unui spatiu euclidian finit generat.

Transformari ortogonale

          Se numeste transformare ortogonala trecerea de la o baza ortonormata  la o alta baza ortonormata .

          Notând  matricea de trecere, observam ca:

.

          Ţinând seama ca atât baza , cât si baza  sunt ortonormate rezulta ca elementul generic al produsului T^tT este:

,

adica . Asadar .

          Mentionam ca o matrice T care are proprietatea:  se numeste matrice ortogonala. Am ajuns la concluzia ca matricea de trecere de la o baza ortonormata la o alta baza ortonormata este o matrice ortogonala.

          Reciproc, daca baza  este ortonormata, atunci elementul generic al matricei  este . Daca, în plus, matricea T este ortogonala, atunci elementul generic al matricei  este , deci  adica baza  este ortonormata.

          În concluzie, daca baza  este ortonormata, atunci  este ortonormata daca si numai daca matricea de trecere T este ortogonala.

          În acest fel, multimea bazelor ortonormate se identifica cu multimea matricelor ortogonale de ordinul n. Aceasta multime se noteaza cu  si se poate usor verifica faptul ca este un grup fata de operatia de înmultire a matricelor, numit grupul ortogonal liniar.

Proprietati ale matricelor ortogonale

          I) Daca matricea T a  unui operator f al spatiului euclidian E într-o baza ortonormata  este ortogonala, atunci matricea lui f în orice alta baza ortonormata va fi tot ortogonala.

Într-adevar, fie o alta baza ortonormata, notam  matricea  de trecere de la baza  la baza  si S matricea lui f în baza . Ca si T, matricele  si S sunt ortogonale si . Rezulta:

 si  adica .

          Definitie

I) Un operator f  al spatiului euclidian E se numeste operator ortogonal daca matricea sa într-o baza ortonormata este ortogonala.

          Consistenta acestei definitii se bazeaza pe proprietatea anterioara.

          II) Daca f este un operator ortogonal al spatiului euclidian E, atunci pentru orice vectori x si y, . Altfel spus, un operator ortogonal pastreaza produsul scalar.

          Într-adevar, fie T matricea lui f  într-o baza ortonormata  si
X, Y  coloanele coordonatelor vectorilor x si y în aceasta baza. Rezulta ca T este ortogonala si

          III) Valorile proprii reale ale unei matrice ortogonale T sunt egale cu 1
sau -1.

          Într-adevar, fie f operatorul spatiului euclidian E care în baza ortonormata  este reprezentat de matricea T. Rezulta ca f este un operator ortogonal. Fie λ o valoare proprie si v un vector propriu corespunzator, adica . Rezulta pe de o parte ca , iar pe de alta parte . Asadar  si cum  deducem ca .

Transformarile ortogonale ale dreptei

          Pentru  matricea T se identifica cu un numar real . Conditia  revine la , de unde rezulta . Grupul ortogonal de ordinul unu, , se identifica cu grupul radacinilor de ordinul doi ale unitatii. Daca fixam un punct pe o dreapta, spatiul euclidian de dimensiune unu se identifica cu multimea punctelor dreptei. Daca e este unul din cei doi versori ai dreptei, atunci bazele e si -e constituie cele doua baze ortonormate corespunzatoare celor doua elemente ale grupului .

Transformarile ortogonale ale planului

          Determinam mai întâi multimea matricelor ortogonale de ordinul doi. Daca  este o astfel de matrice, atunci conditia  este echivalenta cu:

.

          Prima ecuatie a sistemului înseamna ca  se pot scrie sub forma: . Analog, din a doua ecuatie rezulta: . În acest fel cele patru necunoscute s-au redus la doua,  situate în intervalul . Ele trebuie sa satisfaca ecuatia a treia, adica:

.

          Deoarece  se afla în intervalul  rezulta ca: . În plus sa observam ca  determina aceleasi valori pentru γ si  ca si . La fel,  determina aceleasi valori pentru γ si  ca si . Asadar sunt doua cazuri posibile.

          Cazul I.  de unde . Sa observam mai întâi ca toate matricele de aceasta forma au determinantul egal cu unu.

          În continuare ne propunem sa identificam bazele ortonormate reprezentate de aceste matrice. Pornim de la baza ortonormata constituita de versorii  si  ai axelor unui sistem cartezian de axe ortogonale xOy. Matricea T este matricea de trecere de la aceasta baza la o alta baza ortonormata formata din vectorii   ale caror coordonate în baza initiala sunt pe coloanele matricei T:

          Vectorul  se obtine prin rotirea lui  cu unghiul  în sens trigonometric în jurul originii. La fel, vectorul  se obtine prin  rotirea lui  cu unghiul , ceea ce este acelasi lucru cu rotirea lui  cu unghiul .

          Prin urmare, sistemul de vectori  se obtine prin rotirea sistemului rigid  cu unghiul  în sens trigonometric în jurul originii.

         

          Cazul II.  de unde . Observam de aceasta data ca aceste matrice au determinantul egal cu minus unu.

          Vectorii  ai noii baze, reprezentate de matricea ortogonala T sunt:

,

adica , dar  

          Asadar, noua baza  se obtine prin rotirea sistemului rigid de vectori  cu unghiul  urmata de simetria acestui sistem fata de axa lui .

Fig.7.1

Transformari ortogonale în spatiu

          Fie T o matrice ortogonala de ordinul trei pe care o interpretam ca matricea de trecere de la baza  a versorilor axelor unui triedru triortogonal Oxyz la o alta baza ortonormata .

          Ne propunem sa studiem operatorul liniar f al spatiului euclidian tridimensional care în baza  este reprezentat de matricea T. În acest scop, îi punem în evidenta valorile proprii si vectorii proprii.

          Polinomul caracteristic al matricei T fiind de gradul trei, el are cel putin o radacina reala . Una din proprietatile matricelor ortogonale demonstrate mai sus atesta ca . Daca matricea T nu are valoarea proprie , atunci sigur matricea -T are aceasta valoare proprie. Deci putem presupune ca  este valoare proprie a matricei T.

          Fie  un versor al directiei vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii  adica . Completam sistemul liniar independent constituit de vectorul  pâna la o baza, pe care ortonormând-o prin procedeul lui Gramm obtinem baza .

          Sa notam U matricea lui f  în baza . Deoarece  rezulta ca pe prima coloana se afla coordonatele lui  în baza  adica 1, 0, 0. Fie  coordonatele lui  în baza  adica .

Pe de o parte

.

Pe de alta parte, notând  coloanele coordonatelor vectorilor , respectiv  si tinând seama ca , rezulta:

Asadar, . În mod analog, notând  elementele celei de a treia coloane a matrice U, care sunt coordonatele lui  în baza , ajungem la concluzia ca . Deci matricea U are forma:

.

          Sa aratam ca blocul  este o matrice ortogonala de ordinul doi. Fie S matricea de trecere de la baza  la baza . Deoarece ambele baze sunt ortonormate, matricea S este ortogonala. Pe de alta parte, din formula de transformare a matricei unui operator la schimbarea bazei rezulta: . Deci matrice U , fiind un produs de matrice ortogonale, este ortogonala, adica . De aici rezulta ca matricea  este ortogonala.

Asadar,

  sau 

Interpretare geometrica

          Sa notam  axele versorilor  respectiv. Reamintim ca asociind punctelor vectorii lor de pozitie (cu sursa în O) coordonatele carteziene ale unui punct în reperul cartezian OXYZ sunt coordonatele vectorului de pozitie în baza .

          Fie v vectorul de pozitie al punctului oarecare P. Vrem sa vedem ce devine . Vectorul v se descompune  în care  este proiectia lui v pe axa OX, deci are directia lui  iar  este în planul OYZ, adica este o combinatie liniara de . Deoarece  rezulta ca.

          Daca  atunci  se obtine prin rotirea lui  cu unghiul  în planul YOZ în sens trigonometric privit din semispatiul în care se afla axa OX. Rezulta ca vectorul v (deci punctul P) se roteste în jurul axei lui  cu unghiul  în sensul dat de regula surubului drept.

          Daca  atunci  se obtine din rotirea ca mai sus a lui  urmata de simetria fata de axa lui . Transformarea  a vectorului v este aceeasi rotire a lui v descrisa mai înainte, urmata de simetria fata de planul determinat de  si .

          Sa mai observam ca trecerea de la f la -f  înseamna simetria fata de origine care este compunerea a trei simetrii fata de plane.

          În concluzie orice transformare ortogonala este o rotatie în jurul unei axe urmata, eventual, de o simetrie fata de un plan.

          Deoarece produsul a doua matrice ortogonale este tot o matrice ortogonala rezulta ca rezultatul rotirii succesive în jurul unor axe este rotirea în jurul unei a treia axe.

L.VI.2.3  Operatori simetrici în spatii euclidiene

Adjunctul unui operator

          Pe spatiul euclidian E se considera operatorii  care în baza ortonormata  sunt reprezentati de matricele , respectiv . Sa observam ca daca , atunci în orice alta baza ortonormata matricea lui  este transpusa matricei lui .

          Într-adevar, fie  o alta baza ortonormata si T matricea de trecere de la baza  la baza . Matricea T este ortogonala. Matricele  ale operatorilor , respectiv  în noua baza sunt:

si deci:

.

          Aceasta constatare da sens urmatoarei definitii.

Definitie

          Fie f un operator liniar al spatiului euclidian finit generat E. Se numeste adjunctul operatorului f, operatorul  a carui matrice într-o baza ortonormata este transpusa matricei lui  f  în acea baza.

          Pentru adjunctul unui operator se poate da o caracterizare "intrinseca", adica fara sa facem apel la o baza a spatiului.

Propozitie

          Fie f un operator liniar al spatiului euclidian finit generat E. Operatorul g este adjunctul lui f daca si numai daca pentru orice pereche de vectori x si y din E se îndeplineste relatia: .

Demonstratie

Fie  o baza ortonormata, A si B matricele operatorilor f, respectiv g în aceasta baza, X si Y coloanele coordonatelor vectorilor x, respectiv y.

          Daca g este adjunctul lui f , atunci  si deci:

.

          Reciproc, presupunem ca pentru orice pereche de vectori x si y este îndeplinita relatia: . Aceasta relatie este echivalenta cu:  sau:  pentru orice pereche de matrici coloana X si Y. Rezulta atunci  adica .  Q.E.D.

Operatori simetrici. Proprietati

          Operatorul f al spatiului euclidian finit generat E se numeste operator simetric sau autoadjunct daca .

          Daca A este matricea lui f într-o baza ortonormata, atunci conditia ca f sa fie simetric este echivalenta cu: . Deci un operator este simetric daca si numai daca matricea sa într-o baza ortonormata este simetrica.

          În continuare, mentionam doua proprietati remarcabile ale operatorilor simetrici.

Propozitia 1

          Valorile proprii ale unui operator simetric al unui spatiu euclidian finit generat sunt numere reale.

Demonstratie.

Fie f un operator simetric, A matricea sa în baza ortonormata  si  o valoare proprie. Deoarece , sistemul omogen  are cel putin o solutie nebanala  , formata din numere,  în principal, complexe daca  este un numar complex. Din sistem rezulta  

          Conjugata unei matrice se obtine înlocuind elementele matricei cu conjugatele lor. Din regulile de calcul cu numere complexe rezulta ca produsul conjugatelor a doua matrice este conjugatul produsului matricelor. În plus, deoarece A este reala, rezulta:

.

Mai departe, tinând seama ca , obtinem:

          Din asociativitatea înmultirii matricelor si din faptul ca  este solutie nebanala a sistemului, deducem ca , adica  este numar real. Q.E.D.

Propozitia 2

          Vectorii proprii ai unui operator simetric corespunzatori la valori proprii distincte sunt ortogonali.

Demonstratie

Fie f un operator simetric  al spatiului euclidian E  si  vectori proprii corespunzatori la doua valori proprii distincte , adica.

          Pe de o parte, . Pe de alta parte,

          Rezulta .

Cum , înseamna ca . Q.E.D.

Teorema fundamentala a operatorilor simetrici

          Teorema

Orice operator simetric al unui spatiu euclidian finit generat admite o baza ortonormata formata din vectori proprii.

          Demonstratie

Efectuam demonstratia prin inductie dupa dimensiunea n a spatiului.

          Etapa de verificare. Daca , atunci orice vector nenul al spatiului este vector propriu. Normând un vector oarecare nenul, versorul obtinut constituie o baza ortonormata formata dintr-un singur vector care este vector propriu.

          Etapa de demonstratie

          Ipoteza

Orice operator simetric al unui spatiu euclidian de dimensiune n admite o baza ortonormata formata din vectori proprii.

          Concluzia

Orice operator simetric al unui spatiu euclidian de dimensiune n + 1 admite o baza ortonormata formata din vectori proprii.

Demonstratie

Fie f un operator simetric al spatiului euclidian E de dimensiune . Propozitia 2. asigura ca operatorul f admite cel putin o valoare proprie reala . Notam  un vector propriu corespunzator acestei valori proprii.

          Sistemul format din singurul vector  este liniar independent (fiind vector nenul), deci se poate completa pâna la o baza: exista vectorii , astfel încât  constituie o baza a lui E. Fie  baza ortonormata obtinuta prin procedeul lui Gramm.

          Conform acestei metode vectorul  se obtine prin normarea lui  adica prin înmultirea lui  cu un anumit numar nenul. Deoarece  este vector propriu corespunzator valorii proprii , rezulta ca la fel este si versorul , adica .

          Notând cu  matricea lui f în aceasta baza, prima coloana a acestei matrici este constituita din numerele: , care sunt coordonatele lui  în baza .

Pe de alta parte, operatorul f fiind simetric si baza  fiind ortonormata rezulta ca matricea  este simetrica. Deci aceleasi numere  constituie si prima linie a matricei . Asadar matricea A are forma:

          Notam cu E' subspatiul generat de vectorii: . Ca orice subspatiu al unui spatiu euclidian, subspatiul  este si el un spatiu euclidian (produsul scalar se ia acelasi cu cel din E). Subspatiul euclidian  are dimensiunea n, vectorii  constituind o baza ortonormata a acestui spatiu.

          Fie f '  restrictia lui  f  la subspatiul . Aceasta restrictie este, în principiu o aplicatie liniara de la E' la E. Dar cum a doua coloana a matricei  este constituita din coordonatele lui  în baza , rezulta ca:

.

          La fel se arata ca si ceilalti vectori,  sunt în . Asadar în realitate f ' este un operator liniar al lui . Matricea operatorului f ' al lui  este tocmai blocul  al lui  care este evident o matrice simetrica din moment ce întreaga matrice  este simetrica. Deoarece matricea A a operatorului  al spatiului euclidian  în baza ortonormata  este simetrica, rezulta ca operatorul  este simetric.

          Aplicând ipoteza de inductie  deducem ca exista o baza  a lui , tot ortonormata ca si , dar formata din vectori proprii.

          Sa aratam ca vectorii: constituie o baza ortonormata a lui  formata din vectori proprii ai lui  f.

          În primul rând, versorii  fiind vectori proprii ai lui , ei sunt, evident, vectori proprii si pentru f. Deci toti vectorii:  sunt vectori proprii ai lui f. Pe de alta parte, vectorul  fiind ortogonal pe generatorii  ai subspatiului  va fi ortogonal pe orice vector al acestui spatiu, deci implicit pe vectorii . Asadar, versorii  
sunt ortogonali doi câte doi, deci ei constituie o baza ortonormata a spatiului E. Q. E. D.

Metoda transformarii ortogonale de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate.

          În cazul spatiului euclidian, pe lânga metodele Gauss si Iacobi, vom elabora înca o metoda de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate.

          Consideram  o forma patratica a spatiului euclidian E care în baza ortonormata  este reprezentata de matricea simetrica A.

          Aceeasi matrice A poate reprezenta un operator f al spatiului E. Matricea A fiind simetrica si baza  fiind ortonormata rezulta ca operatorul f este simetric.

          Conform teoremei fundamentale a operatorilor simetrici exista o baza ortonormata  a spatiului E constituita din vectori proprii ai lui f. Notând cu T matricea de trecere de la baza  la baza , aceasta este o matrice ortogonala , iar matricea B a lui f în noua baza va fi:

,

în care  sunt valorile proprii ale matricei A.

          Deoarece  rezulta ca matricea formei patratice  în noua baza va fi: . Asadar matricea lui  în noua baza este o matrice diagonala. Ca urmare, expresia formei patratice  în aceasta baza este o suma de patrate, coeficientii patratelor fiind elementele de pe diagonala matricei B.

          În concluzie putem formula urmatoarea metoda de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate, numita "metoda transformarii ortogonale": Se calculeaza valorile proprii ale matricei A a formei patratice  într-o baza ortonormata. Aceste valori proprii stim ca sunt reale. Ele constituie coeficientii patratelor în noua expresie a formei. Baza în care forma  are aceasta noua expresie este o baza ortonormata formata din vectori proprii ai matricei A. Teorema fundamentala a operatorilor simetrici ne asigura ca exista o astfel de baza.

Exemplu

          Consideram spatiul euclidian în  care produsul scalar este definit, astfel încât baza canonica este o baza ortonormata. Ne propunem sa aducem la o suma de patrate forma patratica:

,

în care  sunt coordonatele vectorului variabil x în baza canonica . Matricea formei este:

.

          Coeficientii polinomului caracteristic sunt: . Deci polinomul caracteristic este:  care are radacinile:

          Deci expresia formei patratice este:

,

în care  sunt coordonatele vectorului variabil x într-o noua baza ortonormata   formata din vectori proprii ai matricei A.

          Determinam aceasta baza. Pentru  sistemul din care se determina vectorii proprii este:

Ecuatiile fiind proportionale sistemul este dublu nedeterminat, asa cum era de asteptat deoarece valoarea proprie  este dubla. Luând ca necunoscute secundare , în spatiul bidimensional al solutiilor sistemului se alege o baza formata din doi vectori, si anume:

          - din  rezulta  si deci am obtinut vectorul ;

          - din  rezulta  si deci am obtinut vectorul .

          Folosind procedeul lui Gramm, din baza  a subspatiului vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii , se obtine o baza ortonormata :

.

Pentru a afla pe se calculeaza mai întâi vectorul auxiliar :

si apoi:

.

Pentru  se obtine sistemul:

 ,

care se rezolva prin metoda eliminarii succesive:

 .

          Sistemul este simplu nedeterminat având ca necunoscuta secundara x³ careia-i atribuim valoarea arbitrara . Se obtine: ,, deci vectorul . Se determina α, astfel încât v sa devina versor:

.

          Luând, de exemplu  se obtine:  care împreuna cu  constituie o baza ortonormata formata din vectori proprii ai matricei A.

L.VI.2.4  PROBLEME PROPUSE

PP.VI.2.4.1  Fie  si  doi vectori oarecare din spatiul vectorial real . Sa se cerceteze care dintre expresiile urmatoare defineste un produs scalar pe :

a)     ;

b)    ;

c)     ;

d)    .

PP.VI.2.4.2  Fie  spatiul spatiul vectorial real al functiilor polinomiale reale definite pe intervalul .

a)     Sa se arate ca  formeaza o baza în ;

b) Sa se demonstreze ca  este un spatiu euclidian în raport cu aplicatia definita prin:  ;

c) Polinoamele obtinute din baza canonica  prin procedeul de ortogonalizare se numesc polinoame Legendre. Sa se scrie primele cinci polinoame Legendre.

PP.VI.2.4.3  Fie  un spatiu euclidian,  un subspatiu al sau si  produsul scalar în spatiul . Sa se arate ca:

a) Multimea  este un subspatiu al lui  (numit subspatiul ortogonal al lui );

b) Subspatiile  si  admit suma directa;

c) .

PP.VI.2.4.4 Pe spatiul vectorial real al functiilor continue , se defineste aplicatia:      .

a) Sa se arate ca aplicatia defineste un produs scalar pe ;

b) Sa se calculeze unghiul dintre  si ;

c) Sa se calculeze  pentru ;

d) Sa se determine o functie  care sa fie ortogonala functiei constante  în spatiul euclidian considerat.

PP.VI.2.4.5  Fie spatiul euclidian canonic  . Sa se gaseasca o baza ortonormata pentru subspatiul generat de vectorii:

a) ;

b) .

PP.VI.2.4.6  Fie forma patratica  definita prin: .

Sa se reduca la axele principale prin metoda transformarilor ortogonale si sa se gaseasca directiile principale si formulele de schimbare a coordonatelor.

L.VI.2.5  TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.VI.2.5.1 a) Fie  si  doi vectori oarecare din spatiul vectorial real . Sa se arate ca aplicatia definita prin  este un produs scalar pe ;

b) Fie  si  doi vectori oarecare din spatiul vectorial . Sa se arate ca aplicatia definita prin  este un produs scalar pe ;

c) Sa se arate ca spatiul vectorial complex al functiilor cu valori complexe, continue pe un interval , este un spatiu euclidian complex în raport cu aplicatia definita prin: .

                   TAev.VI.2.5.2  Sa se descompuna vectorul  din spatiul euclidian  în suma a doi vectori: , unde , cu .

                    TAev.VI.2.5.3  Sa se adauge matricei

          înca doua linii ortogonale între ele si cu primele trei linii.

                   TAev.VI.2.5.4 Sa se arate ca subspatiile  si  din , unde ,  si respectiv  ,  , sunt ortogonale.

TAev.VI.2.5.5 Fie  spatiul vectorial real al functiilor polinomiale reale de grad cel mult  si si doi vectori din .

a) Sa se arate ca aplicatiile:

(1) ,  si

(2) ,

sunt produse scalare pe ;

b) Sa se stabileasca marimea unghiurilor  si , unde , utilizând produsul scalar (1);

c) Sa se arate ca sistemul de functii  formeaza o baza ortonormata fata de produsul scalar (2).

TAev.VI.2.5.6  Fie forma biliniara  definita prin:

          si operatorul  care are în baza canonica matricea:

                                      .

          Sa se arate ca:

                   a)  este produs scalar;

                   b)  este autoadjunct .

M.VI TEMĂ DE CONTROL

TC.VI.1  Fie  urmatoarele matrice din :

.

a) Sa se gaseasca o forma liniara  pe  astfel încât:

;

b) Sa se determine multimea , dimensiunea si o baza a acestui subspatiu.

TC.VI.2  Se da forma biliniara :                                                 .

Sa se scrie sub forma matriceala si sa se gaseasca matricea corespunzatoare formei biliniare în raport cu baza: , unde: , , , .

TC.VI.3 Se da forma patratica: : . Sa se scrie sub forma matriceala, sa se aduca la expresia canonica prin metoda lui Gauss, metoda lui Jacobi si respectiv prin metoda valorilor proprii, sa se stabileasca matricea de trecere în fiecare caz si sa se verifice teorema de inertie.

TC.VI.4 Fie aplicatia , definita prin: ,unde  si , , unde .

a) Sa se determine a si b astfel încât aplicatia  sa fie o forma biliniara simetrica de rang 2 în raport cu baza canonica din ;

b) Pentru a si b astfel determinati sa se gaseasca matricea formei , în raport cu baza , unde: ;

c) Sa se gaseasca o baza  în   în care matricea lui   sa fie matrice diagonala, iar  sa aiba forma canonica;

d) Sa se exprime  în baza duala .

TC.VI.5  Sa se demonstreze ca orice matrice pozitiv definita  admite o descompunere triunghiulara, adica exista o matrice superior triunghiulara  astfel încât  se poate reprezenta sub forma produsului: . Sa se deduca aceasta descompunere pentru matricea atasata fiecareia dintre formele patratice:

1) , ;

2) , ;

3), ;

TC.VI.6  Sa se arate ca în spatiul real al functiilor cu valori reale, continue pe un interval , aplicatia definita prin: este un produs scalar care induce o structura de spatiu euclidian.

TC.VI.7  Fie  spatiul vectorial real al sirurilor de numere reale  pentru care seria  este convergenta. Fie  si  doua elemente din .

a) Sa se arate ca seria  este absolut convergenta;

b) Sa se verifice ca aplicatia definita prin  este un produs scalar pe ;

c) Sa se calculeze  pentru  si sa se determine  stiind ca ;

d) Sa se arate ca sirul cu termenul general  apartine exteriorului sferei cu centrul în origine, de raza  si bilei deschise cu centrul în origine, de raza .

TC.VI.8  Fie  spatiul vectorial euclidian canonic al al functiilor reale, continue, definite pe , înzestrat cu produsul scalar definit prin:                            .

a) Sa se verifice ca multimea , unde  este liniar independenta si sa se ortonormeze;

b) Fie  subspatiul de dimensiune  generat de vectorii:  (spatiul vectorial al polinoamelor trigonometrice), sa se expliciteze proiectia lui  pe , unde .

TC.VI.9  Se dau formele patratice:

1) , ;

2) , .

Sa se arate ca formele biliniare simetrice atasate celor doua forme patratice,  si respectiv , sunt produse scalare pe  si pentru fiecare sa se gaseasca câte o baza ortonormata în raport cu produsul scalar respectiv.

TC.VI.10  Ecuatia carteziana a unei suprafete din  este:

.

Sa se stabileasca natura suprafetei, ecuatia sa redusa la axele principale, directiile axelor principale în care suprafata este redusa la forma canonica si formulele de schimbare a coordonatelor.

TC.VI.11 Fie  un operator liniar a carei matrice asociata în baza canonica a lui   este , unde  este matricea unitate de ordinul , iar  este matricea de ordinul  cu toate elementele egale cu 1.

a) Sa se calculeze valorile proprii ale operatorului ;

b) Pentru  sa se reduca forma patratica , la forma canonica prin metoda transformarilor ortogonale si sa se precizeze transformarea ortogonala corespunzatoare.

TC.VI.12  Fie formele patratice:

1) , ;

2) , ;

3) , .

Sa se reduca la forma canonica prin metoda transformarilor ortogonale si sa se precizeze baza în care s-a obtinut forma canonica, directiile axelor principale, transformarea ortogonala corespunzatoare si formulele de schimbare a coordonatelor.

 

Bibliografie

1.     Udriste C., s.a., -Probleme de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

2.     Udriste C., -Aplicatii de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1993.

3.     Ion D.I., R. Nicolae, -Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982.

4.     Flondor D., N. Donciu, -Algebra si analiza matematica-culegere de probleme, vol I, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978.

5.     Otlacan E., s.a. -Algebra superioara-îndrumar teoretic si culegere de probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucuresti, 1995.

6.     Mânzatu E., Gârban V. -Algebra cu aplicatii rezolvate la calculatorul electronic, Editura Academiei Militare, Bucuresti, 1982.