MARIMI. MASURARI. UNITATI DE MASURA. ERORI

MARIMI. MASURARI. UNITATI DE MASURA. ERORI
1.1 Introducere

    Dezvoltarea tehnologiilor create de om este strâns legata de cea a mijloacelor de masurat. Orice activitate care foloseste mijloace tehnice si care are impusi niste parametri de precizie presupune cel putin o operatie de masurare, prin care sa se certifice realizarea preciziei cerute. Masurarea a devenit o componenta indispensabila in toate etapele de atestare a calitatii unui produs, din faza de conceptie pâna la controlul final.
    Metrologia este domeniul de cunostinte referitoare la masurari, cuprinzând toate aspectele, atât teoretice, cât si practice, ale masurarilor, indiferent de nivelul lor de precizie, marimea masurata, modalitatea si scopul efectuarii, domeniul stiintei sau tehnicii in care intervin.
    Obiectul metrologiei consta in determinarea valorica a marimilor fizice (metron = masura in limba greaca).
    Ca stiinta, metrologia este o ramura recenta a stiintelor fizice, ea incepând sa se structureze ca atare de cca. 100 de ani. Helmholtz (1887) si Hölder (1901) au dezvoltat pentru intâia oara, sub forma axiomatica, masurarea marimilor extensive.

    1.2 Marimi
    Prin marime se intelege o proprietate a obiectelor, fenomenelor sau sistemelor care poate fi pusa in evidenta calitativ si masurata cantitativ. In metrologie se opereaza, in mod obisnuit, cu marimi fizice, prin care sunt descrise anumite proprietati fizice ale obiectelor, fenomenelor sau sistemelor; exista insa si alte marimi, definite in chimie, biologie, psihologie, sociologie, etc.
    Din punct de vedere calitativ, exista marimi care se refera la proprietati diferite, de exemplu lungimea, masa, energia, rezistenta electrica etc. Unele marimi sunt, de fapt, specii de marimi, printr-o denumire desemnând mai multe alte marimi comparabile intre ele (de ex. distanta, deplasarea, grosimea, inaltimea, lungimea de unda, sunt referite in metrologie printr-o singura marime, lungimea). De aceea, când nu exista posibilitatea unor confuzii, ele sunt denumite, pe scurt, tot marimi.
    Din punct de vedere cantitativ, putem vorbi de marimi determinate, prin aceasta intelegând atributul esential al marimilor de a se putea modifica sub raportul cantitatii si de a putea fi cunoscute sub acest aspect prin procesul de masurare.
    In privinta introducerii in studiu a marimilor, se poate afirma ca o teorie fizica a unui domeniu de cunostinte (mecanica, electromagnetism, etc.) este un sistem format din:
- marimi fizice primitive;
- legi
care permit explicarea tuturor fenomenelor din domeniul respectiv.

    1.2.1. Clasificari ale marimilor:
Dupa ordinea introducerii intr-o teorie, deosebim:
- marimi primitive - acele marimi care neputând fi definite in cadrul unei ramuri a fizicii cu ajutorul altora, trebuie introduse direct in studiu. Aceasta introducere se poate face fie prin reprezentarea concreta a unitatii lor de masura si prin indicarea explicita a procedeului de masura, fie prin legarea lor de marimi ale ramurilor fizicii constituite in prealabil. Numarul de specii de marimi primitive ale unui domeniu de cercetare fizica si natura lor sunt bine determinate in cadrul unei teorii si constituie o caracteristica esentiala a ei;
- marimi derivate - marimi definite intr-o ramura a fizicii prin expresii analitice in care intervin si alte marimi, presupuse cunoscute.
    O teorie fizica se poate constitui eventual numai cu ajutorul marimilor ei primitive, marimile derivate având numai rolul de a usura exprimarile din acea teorie.
    Dupa sistemele de unitati de masura:
- marimi fundamentale - marimi ale caror unitati de masura au fost alese ca fundamentale ( independente unele de altele ) in cadrul unui sistem de unitati de masura. Numarul de marimi fundamentale este mai mic decât numarul de marimi primitive sau cel mult egal cu el;
- marimi secundare - marimi ale caror unitati de masura rezulta in mod univoc prin alegerea unitatilor de masura fundamentale.

    1.3. Masurarea
    Reamintind ca obiectul metrologiei il constituie determinarea cantitativa a marimilor fizice, se poate defini notiunea de masurare in mai multe moduri :
- masurarea este operatia experimentala prin care se determina, cu ajutorul unor mijloace de masurat, valoarea numerica a unei marimi in raport cu o unitate de masura data;
- masurarea este operatia prin care se stabileste pe cale experimentala raportul numeric intre marimea de masurat si o valoare oarecare a acesteia luata ca unitate de masura;
- masurarea este un proces de cunoastere prin care se compara marimea data cu o valoare a ei adoptata ca unitate de masura, prin intermediul unei experiente fizice.
    Prin procesul de masurare se stabileste o aplicatie de la o specie de marimi X la multimea numerelor reale R, mai rar R², adica intre multimea starilor care pot caracteriza proprietatea respectiva (marimea respectiva) si multimea numerelor reale. Altfel spus, a masura inseamna a pune in corespondenta multimea starilor cu multimea numerelor reale (sau cu o submultime a acesteia).
    Pentru ca procesul de masurare sa poata avea loc, e necesara indeplinirea a doua conditii :
- multimea starilor sa fie ordonata, adica intre toate perechile de elemente care se pot forma sa se poata stabili relatii de ordine: mai mare (>) sau mai mic (<), incât elementele multimii pot fi aranjate intr-o succesiune unica;
- intre multimea starilor si multimea numerelor reale sa se poata stabili efectiv o corespondenta biunivoca, astfel incât fiecarui element din multimea starilor sa-i corespunda un numar real s 717b12h i numai unul. Aceasta corespondenta, care se stabileste conventional, poarta denumirea de scara sau scara de referinta si ea presupune alegerea unitatii de masura.

    1.3.1. Valoare numerica
    Un element din multimea numerelor reale care corespunde unei stari din multimea starilor unei marimi se numeste valoare numerica a marimii respective. Valoarea numerica este un numar, pozitiv sau negativ, care depinde de scara de referinta adoptata.
    Elementul din multimea starilor marimii care corespunde valorii numerice 1 se numeste unitate de masura. Rezulta deci ca la cresterea marimii cu o unitate de masura, valoarea numerica va creste cu 1, proprietate valabila pentru orice scara de referinta. Pentru a usura identificarea, unitatea de masura poarta o denumire (metru, volt, amper, etc.).
    Raportul N dintre o marime M existând independent de noi si o unitate u aleasa pentru acea marime, stabilit experimental in procesul de masurare, reprezinta rezultatul masurarii:
(1.1)
    Marimea fizica se exprima prin produsul dintre unitatea de masura adoptata u si valoarea numerica obtinuta prin masurare N:
(1.2)
    Forma de exprimare a marimii sub forma de valoare numerica si unitate de masura se numeste valoare a marimii respective ( o lungime de 2,118 m, o tensiune electrica de 217,63 V, etc.). In exemple, numerele reprezinta valorile numerice, m si V reprezinta simbolurile unitatilor de masura. Trebuie subliniat ca valoarea unei marimi include intotdeauna si unitatea de masura, care trebuie sa insoteasca obligatoriu valoarea numerica. Se poate remarca deci ca rezultatul masurarii N este un numar adimensional, a carui valoare variaza invers proportional cu unitatea de masura aleasa.
    Relatia care ilustreaza proprietatea ca valoarea marimii sa ramâna aceeasi odata cu schimbarea unitatii de masura mai e cunoscuta ca "ecuatia fundamentala a masurarii".

    1.3.2. Dimensiunea marimilor fizice
    Dimensiunea unei marimi fizice consta in exprimarea acelei marimi ca un produs al puterilor marimilor fundamentale ale sistemului, având coeficient numeric egal cu 1.
    Daca, de ex., L este dimensiunea pentru lungime, M pentru masa si T pentru timp, pentru viteza, definita ca raport intre lungime si timp, va rezulta dimensiunea:
(1.3)
    Exponentii care figureaza in expresia unei marimi se numesc exponenti dimensionali. Marimile fizice in a caror expresie dimensionala toti exponentii dimensionali sunt nuli se numesc marimi adimensionale (marimi fara dimensiune). Aceste marimi nu sunt exprimate prin numere abstracte (numere pure), ci ele reprezinta marimi fizice, cu proprietati bine determinate, având dimensiunea 1. Exemple de astfel de marimi: unghiul plan (L⁰·M⁰·T⁰ = 1), densitatea relativa, indicele de refractie, permitivitatea relativa, etc. Marimile adimensionale pot fi relative sau logaritmice.
    Cunoasterea dimensiunilor marimilor fizice serveste, intre altele, si verificarii omogenitatii dimensionale a ecuatiilor fizicii, in care egalitatea trebuie sa fie satisfacuta si dimensional.

    1.4. Sisteme de unitati de masura
    Prin sistem de unitati de masura se intelege ansamblul unitatilor de masura definite pentru un sistem dat de marimi fizice.
    In decursul dezvoltarii istorice a fizicii si tehnicii au existat, si mai exista si azi, mai multe sisteme de unitati de masura. Un astfel de sistem contine unitati:
- fundamentale;
- derivate;
- suplimentare.
    Sistemele se deosebesc intre ele prin :
- alegerea conventionala a unitatilor fundamentale;
- definirea unitatilor derivate.
    Aceste criterii dau valoarea si pozitia factorilor numerici in formulele fizice ale sistemului de marimi fizice. Un sistem de unitati de masura trebuie sa indeplineasca urmatoarele conditii:
sa fie general, adica aplicabil tuturor capitolelor fizicii;
- sa fie coerent, adica sa nu introduca coeficienti numerici suplimentari in ecuatiile fizicii;
- sa fie practic, cu alte cuvinte unitatile din sistem sa aiba, pe cât posibil, ordine de marime comparabile cu valorile din activitatea uzuala.
    Sistemul care indeplineste in masura cea mai mare aceste conditii este Sistemul International de Unitati - SI - adoptat pe plan mondial de a XI - a Conferinta Generala de Masuri si Greutati din 1960. In România el a fost adoptat ca unic sistem de masuri legal si obligatoriu in 1961.
    Unitati fundamentale ale SI:
- metrul (pentru lungime) - m - este lungimea egala cu 1650763,73 lungimi de unda in vid ale radiatiei care corespunde tranzitiei intre nivelele 2p₁₀ si 2d₅ ale atomului de kripton 86;
- kilogramul (pentru masa) - kg - este masa "kilogramului prototip international", adoptat ca unitate de masura a masei de Conferinta Generala de Masuri si Greutati din 1889;
- secunda (pentru timp) - s - este durata a 9192631770 perioade ale radiatiei corespunzatoare tranzitiei intre cele doua nivele hiperfine ale starii fundamentale a atomului de cesiu 113;
- amperul (pentru intensitatea curentului electric) - A - este intensitatea unui curent electric constant, care mentinut in doua conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinita si sectiune neglijabila, asezate in vid, la o distanta de 1 m unul de celalalt, ar produce intre acestea, pe o lungime de 1 metru, o forta egala cu 2·10^-7 newtoni;
- kelvinul (pentru temperatura termodinamica) - K - este fractiunea 1/273,16 din temperatura termodinamica a punctului triplu al apei;
- mol (pentru cantitatea de substanta) - mol - este cantitatea de substanta a unui sistem care contine atâtea entitati elementare, câti atomi exista in 0,012 kilograme de carbon 12;
- candela (pentru intensitatea luminoasa) - cd - este intensitatea luminoasa, intr-o directie data, a unei surse care emite o radiatie monocromatica cu frecventa de 540·10¹² hertzi si a carei intensitate energetica in aceasta directie este de 1/683 wati/sterradian.
    Unitati derivate ale SI, care se pot obtine:
- folosind unitati fundamentale : (arie -, viteza - m/s , câmp magnetic - A/m etc.);
- cu denumiri speciale: sunt admise in prezent 19 unitati derivate cu denumiri speciale: hertz(Hz), newton (N), pascal (P), joule (J), watt (W), coulomb (C), volt (V), farad (F), ohm (), siemens (S), weber (Wb), tesla (T), henry (H), grad Celsius (°C), lumen (lm), lux (lx), bequerel (Bq), gray (Gy);
- derivate folosind denumiri care se exprima folosind denumiri speciale (momentul unei forte - N·m, câmp electric - V/m, etc.).
    Se observa ca multe unitati derivate se pot exprima in câteva moduri echivalente, folosind denumirile unitatilor fundamentale si denumirile speciale ale unitatilor derivate.
    Unitati SI suplimentare :
- radianul (pentru unghiul plan) - rad - este unghiul plan cu vârful in centrul unui cerc care delimiteaza pe circumferinta cercului un arc a carui lungime este egala cu raza cercului;
- sterradianul (pentru unghiul solid) - sr - este unghiul solid cu vârful in centrul unei sfere, care delimiteaza pe suprafata sferei o arie egala cu aria unui patrat a carui latura este egala cu raza sferei.
    Denumirile submultiplilor si multiplilor in cadrul SI se formeaza cu prefixele:
 

    Multiplii si submultiplii zecimali ai unitatilor SI reprezentati printr-un produs sau raport de unitati se formeaza de preferinta adaugând prefixul numai la prima unitate a produsului, respectiv la prima unitate de la numarator: m F/m si nu F/Mm.
    In afara de SI se mai utilizeaza ca sisteme tolerate:
- sistemul practic MKSA - metru, kilogram, secunda, amper - nerationalizat;
- sistemul tehnic Mkfs - metru, kilogram, forta, secunda;
- sistemul CGS e.s. (electrostatic, cu permitivitatea vidului  ca unitate electromagnetica independenta) sau CGSBi (centimetru, gram, secunda, biot) in care:
1 Bi = 1 A » 3·10¹⁰Fr/s (franklin/sec) (1.4)
- sistemul CGS e.m. (electromagnetic, cu permeabilitatea vidului m₀ ca unitate electromagnetica independenta) sau CGS Fr (centimetru, gram, secunda, franklin) in care :
1 Fr » 1/3·10¹⁰ Bi » 1/3 ·10⁹C (1.5)

    1.5. Mijloace de masurare
    Mijloacele de masurare constituie totalitatea mijloacelor tehnice cu care se obtin informatiile de masurare.
    Aceste mijloace trebuie sa indeplineasca anumite conditii pentru a putea servi scopului propus, denumite generic, caracteristici metrologice normate si stabilite prin acte normative (standarde, norme tehnice de metrologie, etc.)
    Mijloacele de masurare se impart, dupa precizia lor, in:
- mijloace de masurare de lucru - care servesc la efectuarea masurarilor curente, necesitate de practica;
- mijloace de masurat model (de comparatie sau martor), destinate etalonarii sau verificarii masurilor si aparatelor de masurat de lucru, fiind mai precise decât acestea, dar satisfacând conditii limitate de precizie;
- mijloace de masurare etalon, care reproduc sau stabilesc unitatea de masura cu o precizie maxima, o pastreaza si o transmit mijloacelor de masurare de precizie inferioara. Etaloanele sunt de mai multe categorii:
- nationale - cele care alcatuiesc baza metrologica a tarii respective;
- principale (primare) - cele care determina unitatea de masura prin compararea lor cu etaloanele nationale;
- de verificare (de lucru) - cele care servesc la executarea lucrarilor de metrologie curente.
    Categoriile principale de mijloace de masurare sunt:
- masurile;
- aparatele de masurat;
- ansambluri, instalatii si sisteme de masurare.

    1.5.1. Masuri
    Masura constituie realizarea materiala a unitatii de masura, având rolul de a genera (reproduce) una sau mai multe valori cunoscute ale unei marimi fizice. Este evident ca materializarea unitatii este posibila numai pentru unele din marimile fizice (lungime-metrul, masa-kilogramul, volum-litrul, etc.), de regula pentru acele marimi care sunt accesibile direct simturilor omului. Masurile fac posibila conservarea unitatii de masura, principala lor caracteristica fiind, in acest sens, stabilitatea cu care isi pastreaza valoarea (sau valorile) in timp sau la variatia unor factori de influenta, in special a celor de mediu.
    Dupa destinatia lor masurile pot fi:
- etalon;
- de lucru.
    Masurile permit compararea directa a marimii necunoscute (masurandului) cu unitatea de masura.
    Dupa numarul valorilor pastrate, exista:
- masuri cu valoare unica (pastreaza o singura valoare a masurandului - greutate, vas-masura cu reper, etc.). De cele mai multe ori ele sunt asociate in serii sau truse, care contin masuri de valori diferite, alese dupa o anumita succesiune (ex. multipli decadici);
- masuri cu valori multiple, care pot fi fie masuri cu valori discrete (mai multe valori distincte - de ex. selectabile cu un comutator), fie masuri cu valoarea variabila continuu (de obicei prevazute cu o scara gradata - rigla, cilindru gradat, condensator variabil).

    1.5.2. Aparate de masurat
    Pentru a masura acele marimi ale caror unitati nu pot fi concretizate, se folosesc, de obicei, aparatele de masurat. Ele pot fi definite ca fiind mijloacele de masurat intercalate intre o marime fizica ce nu e accesibila direct simturilor operatorului uman si care realizeaza o conversie a masurandului intr-o marime perceptibila pentru acesta. De ex., curentul electric, ca flux de electroni, nu poate fi perceput direct de un operator-om, necesitând o convertire a marimii intr-o alta marime (o deplasare a unui ac indicator in fata unei scale gradate sau o valoare numerica afisata pe un dispozitiv adecvat) perceptibila operatorului.
    Dispozitivul astfel intercalat poate fi actionat fie de energia proprie a fenomenului, fie de o energie auxiliara de actionare, ceea ce conduce la o clasificare a marimilor fizice, din acest punct de vedere, in:
- marimi active - cele care permit eliberarea unei cantitati de energie capabila sa furnizeze un semnal metrologic (tensiunea electrica la bornele unui termocuplu, temperatura apei dintr-un rezervor). Pentru ca masurarea sa nu afecteze valoarea masurandului, e necesar ca energia cedata in procesul de masurare sa fie mult mai mica decât energia totala;
- marimi pasive - cele care nu poseda o energie proprie de eliberat, deci pentru masurarea lor este necesara o sursa de energie auxiliara (energie de activare), cum ar fi rezistenta electrica, capacitatea, inductivitatea.

    1.5.3. Ansambluri, instalatii si sisteme de masurare
    Asociind aparate de masurat (eventual si masuri) pentru a efectua masurari care altfel ar fi imposibil sau foarte incomod de efectuat cu un singur aparat, se obtin ansambluri, instalatii, si sisteme de masurare.
    Ansamblul de masurare este cea mai simpla asociere de aparate de masurat, constând, de obicei, dintr-un simplu traductor, asociat cu un aparat indicator sau inregistrator, pentru a masura un singur masurând. Aceasta structura reproduce structura unui aparat de masurat, cu deosebirea ca mijloacele continute sunt independente, cu caracteristici metrologice normate separat. De exemplu, un termocuplu asociat cu un milivoltmetru indicator de temperatura reproduce structura unui termometru, care include exact aceleasi elemente.
    Instalatia de masurare consta dintr-o asociere mai complexa de aparate de masurat, cât si alte utilaje, dispozitive si accesorii, folosite in scopul masurarii unuia sau mai multor masuranzi, in anumite conditii, pe baza unei metode comune; de ex., instalatie pentru masurarea nivelului, atenuarii si zgomotului pe o cale de telecomunicatii.
    Sistemul de masurare este un ansamblu sau o instalatie de masurare prevazuta cu posibilitati de automatizare a masurarilor, prelucrare a rezultatelor, inregistrare etc. (sisteme de achizitie a datelor). De regula, ele presupun existenta unui procesor, operatiunile desfasurându-se pe baza unui program (software de masurare), gestionat de procesor. Sistemele de masurare pot fi incorporate in linii tehnologice si asociate instalatiilor de reglare automata a proceselor.

    1.6. Categorii de masurari. Clasificari
    Se pot avea in vedere urmatoarele criterii de clasificare a masurarilor:
a) Modul de obtinere a rezultatelor masurarii:
- masurari directe, in care se masoara nemijlocit marimea care intereseaza (lungimea cu rigla, intensitatea curentului cu ampermetrul). In acest tip de masurare se determina o singura marime;
- masurari indirecte, in care valoarea marimii de masurat nu se obtine direct, ci se calculeaza pe baza masurarii altor marimi (care se masoara direct), cu ajutorul unor relatii existente intre marimea care intereseaza si marimile masurate, exprimate prin relatii cunoscute. Aceste masurari sunt mai complexe si au o precizie mai scazuta, dar in multe cazuri nu pot fi evitate;
- masurari implicite, in care rezultatul se deduce din rezultatele mai multor masurari, care pot fi directe sau indirecte, asupra altor marimi decât cea care intereseaza, dar care sunt legate de aceasta printr-o functie implicita. De exemplu, masurarea coeficientului termic al rezistivitatii unui metal, cu relatia:
(1.6)
se poate face masurând o alta marime (coeficientul termic al rezistivitatii) la o temperatura t si aplicând relatia data.
b) Precizia de masurare:
- masurari de laborator, se executa de un numar mare de ori, pentru a reduce erorile, folosind mijloace de masurare de precizie buna, iar asupra rezultatelor se aplica calculul erorilor. Ele se aplica in cercetarea stiintifica, la etalonari, la transmiterea unitatii de masura.
- masurari industriale, in care se folosesc aparate cu o precizie suficienta pentru practica industriala (5-10%).
c) Forma sub care aparatul de masurat prezinta rezultatul masurarii:
- masurari analogice, la care rezultatul poate lua orice valoare din domeniul de masurare, fiind deci o marime continua. Marimea se apreciaza prin citirea indicatiei data de elementul indicator care se deplaseaza in dreptul unei scari gradate.
- masurari numerice, la care rezultatul poate avea numai anumite valori din domeniul de masurare, fiind deci o marime discontinua. Prin operatia de cuantificare, domeniul este impartit intr-un numar de subdomenii egale (cuante sau unitati de cuantificare), iar procesul de masurare consta in numararea cuantelor corespunzatoare masurandului, codificarea rezultatului intr-un sistem de numeratie si afisarea lui pe un dispozitiv specializat, sub forma unui numar.
Masurarea numerica este preferabila celei analogice, deoarece :
- se elimina erorile subiective de citire;
- aparatele numerice au, un general, o precizie superioara celor analogice;
- exista posibilitatea prelucrarii, transmiterii la distanta si inregistrarii informatiilor rezultate in procesul de masurare, prin mijloacele tehnicii de calcul.
d) Dupa regimul variatiei in timp:
- masurari statice, care se efectueaza asupra unor marimi de regim permanent, de valoare constanta in intervalul de timp in care se face determinarea;
- masurari dinamice, efectuate asupra unor marimi variabile rapid in timp si necesita, prin urmare, aparate cu un timp de raspuns mic, care dispun de elemente de memorare sub forma continua sau discreta a valorilor determinate;
- masurari statistice, care se efectueaza asupra unor marimi cu caracter aleatoriu, cu variatie imprevizibila in timp, neputând fi descrise de relatii matematice care sa stabileasca o lege de reproducere a anumitor valori, in anumite conditii experimentale.

    1.7. Metode de masurare
    Baza stiintifica a realizarii unei masurari (legi ale fizicii, efecte) constituie principiul de masurare. Exemple: efectul Hall (masurarea unor marimi magnetice), efectul termoelectric (masurarea temperaturii), si altele.
    Prin metode de masurare se intelege ansamblul relatiilor teoretice si operatiilor experimentale pe care le presupune masurarea.
    Dupa tehnica obtinerii rezultatului, metodele de masurare se pot clasifica in:
- metode directe, atunci când valoarea masurandului se obtine nemijlocit, fara furnizarea unor valori ale altor marimi fizice. Metoda respectiva este considerata directa si daca in interiorul aparatului este masurata o alta marime (sau mai multe), dar se indica valoarea masurandului. De exemplu, folosirea voltmetrului la masurarea tensiunii electrice este o metoda directa, folosirea riglei la masurarea lungimilor, masurarea temperaturii cu termometrul, masurarea puterii electrice cu wattmetrul (desi se masoara tensiunea si curentul si se efectueaza produsul, indicându-se acest unic rezultat). In cazul metodei directe rezultatul se obtine printr-o singura operatie, iar bucla de masurare este deschisa, adica valoarea masurandului nu este corectata cu ajutorul instalatiei care participa la masurare in scopul atingerii unei valori prescrise.
- metode indirecte, in care valoarea masurandului se obtine prin masurarea uneia (sau mai multor) marimi, de care masurandul este legat printr-o relatie functionala, urmata de un calcul in care intervin valorile obtinute si, eventual, unele constante. Exemplu: masurarea conductivitatii s a unui conductor prin masurarea rezistentei R, a lungimii l si a sectiunii S si aplicarea formulei:

(1.7)
    Masurarea indirecta poate fi privita ca o succesiune de masurari directe, urmate de un calcul. De aceea, in clasificarea metodelor de masurare ar fi suficient sa fie luata in considerare numai metoda directa.
- metode de comparatie, care se bazeaza pe folosirea unor etaloane, necesare la furnizarea marimii de comparatie, si a aparatelor de masurat, care sesizeaza egalitatea dintre masurand si marimea de comparatie. Rezultatul se exprima in functie de aceasta marime, ea putându-se regla, manual sau automat, pâna când devine egala cu marimea de masurat. Lantul de masurare este inchis, in acest fel crescând mult precizia operatiei de masurare (cel mult egala cu cea a etalonului folosit). Ca variante ale metodei de comparatie se amintesc:
- comparatia simultana, atunci când masurandul este comparat nemijlocit cu una sau mai multe valori de referinta date de un etalon care participa la fiecare masurare (compararea unei mase cu masa unei greutati etalon folosind o balanta, a unei tensiuni electrice cu cea a unui element normal, etc.). Din aceasta categorie fac parte:
- comparatia 1:1 directa, aplicabila numai marimilor fizice care pot fi si pozitive si negative (deci au o polaritate), cum sunt lungimea, forta, presiunea, tensiunea electrica, etc. De ex., lungimea poate fi masurata prin suprapunerea masurandului de lungime necunoscuta si a unei rigle cu diviziuni cunoscute, coincidenta insemnând anularea celor doua lungimi; la fel, o forta poate fi apreciata printr-o forta opusa cunoscuta de sens contrar, pâna la echilibrarea lor. Aceasta metoda nu se poate aplica marimilor fizice esentialmente pozitive (masa, rezistenta electrica, capacitatea electrica), pentru a caror masurare e necesara introducerea unui aparat de comparatie (balanta pentru masa, o punte de rezistente pentru rezistentele electrice), incât metoda devine comparatie indirecta 1:1. Variante ale metodei de comparatie simultana 1:1 directa sunt:
- metoda diferentiala (directa) in care se masoara diferenta  dintre masurandul A_x si o marime A₀ de aceeasi natura, dar cunoscuta cu o anumita precizie. Precizia este cu atât mai buna, cu cât precizia marimii A₀ este mai buna si cu cât diferenta A este mai mica. La limita, aceasta precizie poate ajunge la precizia cu care este cunoscuta marimea de comparatie A₀.
- metoda de zero (directa) consta in folosirea unui etalon variabil A₀, incât diferenta din metoda anterioara sa poata fi adusa la zero: A_x-A₀=0
De aceea, metoda se mai numeste si de compensatie. Precizia ei depinde de precizia cunoasterii lui A₀ si de sensibilitatea aparatului cu care se detecteaza anularea diferentei A_x - A₀.
Metoda diferentiala si cea de zero sunt cele mai precise metode de masurare, pentru ca incertitudinea de masurare introdusa de aparat este minima. Au insa dezavantajul ca necesita etalon de valoare apropiata cu a masurandului sau de valoare variabila.
- comparatia 1:1 indirecta (prin intermediul unui aparat de comparatie), cum ar fi compararea maselor prin folosirea unei balante cu brate egale, compararea impedantelor electrice de aceeasi natura cu puntile de masurare cu brate egale. Variante ale acestei metode sunt :
- metoda comparatiei indirecte simple 1:1, prin compararea masurandului si a referintei cu un aparat (comparator 1:1). Masurarea propriu-zisa se poate face printr-o metoda diferentiala sau de zero, in acest caz ele de venind metoda diferentiala indirecta, respectiv metoda de zero indirecta.
- metoda substitutiei (Borda) sau "metoda efectelor egale", care elimina eroarea comparatorului printr-o dubla masurare: se inlocuieste marimea de masurat A_x dintr-o instalatie cu marimea cunoscuta si variabila A₀, urmarindu-se obtinerea de efecte egale, caz in care masurandul si etalonul vor coincide. Este de asemenea o metoda precisa.
- metoda permutarii (Gauss) sau metoda transpozitiei elimina eroarea comparatorului prin doua masurari succesive in cursul carora se permuta intre ele masurandul A_x si etalonul A₀, incât ele vor fi afectate , pe rând, de aceeasi eroare de aparat.
- comparatia 1:n este o comparatie simultana in care masurandul este comparat cu o marime de referinta mult diferita (raport 1:n, n1). Metoda se foloseste la compararea etaloanelor de valori diferite sau pentru masurarea de valori situate intre etaloane de valoare unica. Compararea marimilor de valori diferite se poate face prin:
- metode de aditionare, care folosesc marimi auxiliare si un numar convenabil de comparatii, incât comparatia 1:n sa se realizeze printr-un anumit numar de comparatii 1:1.
- metode de multiplicare (de raport), in care se foloseste un dispozitiv de raport. De cele mai multe ori aceste metode sunt similare cu cele de zero, compararea facându-se cu un multiplu sau cu o fractiune din cealalta marime, raportul de multiplicare sau de divizare fiind stabilit de dispozitiv. Ecuatia unei astfel de masurari este:
A_x = K A₀ (1.8)
unde K este parametrul caracteristic al dispozitivului de raport.
- comparatia succesiva, specifica aparatelor indicatoare, in cadrul careia are loc totusi o comparare simultana, la care insa nu participa masurandul, ci niste marimi intermediare: una rezultata prin conversia masurandului, de regula, intr-o marime de alta natura, si alta, de referinta, generata in interiorul aparatului, de aceeasi natura cu cea in care s-a efectuat conversia. De ex., intr-un miliampermetru magnetoelectric curentul de masurat este convertit intr-un cuplu, care actioneaza acul indicator al aparatului, marimea de referinta fiind un cuplu rezistent creat de un element elastic. Gradarea acestor aparate se face la fabricare, aplicând marimi de valori cunoscute. In acest fel, el "memoreaza" referinta, putând raspunde oricând in acelasi fel marimii masurate.
Alte metode de masurare:
- metoda prin coincidenta, in care se urmareste obtinerea coincidentei unor repere sau semnale apartinând masurandului si etalonului (sublerul);
- metoda prin interpolare, in care rezultatul masurarii se obtine folosind o relatie cunoscuta dintre masurand si o marime de referinta, cât si mai multe valori particulare cunoscute ale masurandului, valoarea aflându-se in intervalul dintre aceste valori cunoscute. Relatia poate fi liniara (rigla), alteori mai complicata;
- metoda prin extrapolare: ca mai sus, cu deosebirea ca valoarea cautata se afla in afara intervalului de valori cunoscute (masurarea capacitatii proprii a unei bobine folosind valorile frecventelor de rezonanta ale bobinelor cu mai multe condensatoare de capacitati cunoscute);
- metoda prin esantionare se bazeaza pe prelucrarea rezultatelor masurarii unor valori instantanee, la anumite momente, ale unei marimi variabile in timp. Esantionarea poate fi periodica (la intervale egale de timp) sau aleatoare (la intervale de timp intâmplatoare);
- metoda prin corelatie (autocorelatie) se bazeaza pe determinarea functiei de corelatie dintre doua marimi variabile in timp:
(1.9)

    Aceasta depinde de intervalul de timp t cu care este intârziata una din marimi fata de cealalta. Daca cele doua marimi x₁(t) si x₂(t) variaza independent una fata de alta, functia de corelatie va fi identic nula. Daca insa exista o legatura intre cele doua marimi, functia lor de corelatie nu mai este nula si din modul ei de variatie poate rezulta o informatie importanta cu privire la masurand. In cazul autocorelatiei, x₂(t-t ) din relatia anterioara se inlocuieste cu x₁(t-t ), putând observa legatura dintre marimea data la un anumit moment si aceeasi marime la un moment anterior. Functia de autocorelatie caracterizeaza deci anumite proprietati de periodicitate ale marimii x₁(t).
    Sintetizând, obtinem urmatoarea clasificare a metodelor de masurare:
- metoda de masurare directa - comparatie simultana :
- comparatie 1:1:
- directa;
- indirecta:
- simpla;
- prin substitutie;
- prin permutare;
- comparatie 1:n :
- prin aditionare;
- prin multiplicare (raport);
- comparatie succesiva:
- cu memorie mecanica;
- cu memorie electrica;
- cu alte tipuri de memorie;
- metoda de masurare indirecta.

    1.8. Erori de masurare. clasificari
    Se constata experimental ca nici o masurare nu ofera valoarea reala (adevarata) a marimii masurate. Notând cu X_m rezultatul masurarii asupra unei marimi fizice si cu X valoarea sa reala, se poate defini eroarea ca diferenta:
D X = X_m - X (1.10)

    Valoarea adevarata a unei marimi este imposibil de determinat, deoarece orice masurare este practic afectata, mai mult sau mai putin, de erori, datorate imperfectiunii mijloacelor de masurare, conditiilor de mediu, unor perturbatii exterioare, operatorului, etc. In practica se accepta in locul valorii adevarate o valoare determinata cu o incertitudine suficient de mica, denumita valoare conventional adevarata. Iata de ce este foarte important sa se cunoasca, pentru o masurare efectuata in anumite conditii si cu anumite mijloace de masurare, eroarea maxima care poate fi comisa.
    Prin incertitudine de masurare se intelege intervalul in care se estimeaza, cu o anumita probabilitate, ca se afla valoarea adevarata a masurandului. Precizarea acesteia face utilizabil sau nu rezultatul masurarii. De exemplu, o prelucrare mecanica cunoscuta cu o incertitudine de ± 0,1 mm este inutila daca ea s-a cerut initial sa fie de ± 0,01 mm. In lipsa acestor precizari, rezultatul poate sa nu prezinte nici o valoare de utilizare.
    Valoarea adevarata a unei marimi este valoarea fara erori a marimii.
    Valoarea efectiva a unei marimi este valoarea obtinuta prin masurare cu mijloace de masurare etalon.
    Valoarea individuala masurata a unei marimi este valoarea obtinuta pentru marimea respectiva printr-o singura operatie de masurare.
    Criteriul de clasificare al erorilor dupa modul de aparitie in masurarile repetate conduce la urmatoarele tipuri de erori:
- erori sistematice - sunt acele erori care nu variaza la repetarea masurarii in aceleasi conditii sau variaza in mod determinabil odata cu modificarea conditiilor de masurare. Ele se datoreaza unor cauze bine determinate, se produc intotdeauna in acelasi sens, au valoare constanta in marime si semn sau variabila dupa o lege bine determinata si pot fi eliminate prin aplicarea unor corectii. Erorile sistematice pot fi la rândul lor :
- erori sistematice obiective :
- erori de aparat (instrumentale), datorate unor caracteristici constructive ale aparatelor, incorectei etalonari, uzurii. Limitele lor de variatie sunt cunoscute din specificatiile tehnice date de furnizorul aparatului si sunt, prin urmare, cel mai usor de evaluat de catre operator;
- erori de metoda, aparute ca urmare a principiilor pe care se bazeaza metoda de masurare, a introducerii unor simplificari sau utilizarii unor relatii empirice. Ele apar mai ales la metodele indirecte de masurare;
- erori produse de factori externi (erori de influenta), deosebit de greu de evaluat prin calcule, deoarece nu intotdeauna pot fi cunoscute cauzele si legile de variatie in timp a conditiilor de mediu (temperatura, presiunea, umiditatea, câmpuri magnetice, radiatii, etc.). Ele se mai numesc si erori de instalare. Pentru eliminarea lor se impune asigurarea conditiilor de mediu (conditii normale) cerute de producator pentru acea instalatie de masurat.
- erori sistematice subiective (de operator), provenind din modul subiectiv in care operatorul apreciaza anumite efecte (coincidente de repere la citirea rezultatelor, intensitati luminoase, nuante ) si care tin de gradul sau de oboseala, de starea sa psihica sau de anumite deficiente ale organelor de perceptie.
- erori accidentale (aleatoare, intâmplatoare) sunt erorile care au valori si semne diferite intr-o succesiune de masuratori efectuate in aceleasi conditii. Ele nu sunt controlabile si pot proveni din fluctuatiile accidentale conditiilor de mediu, ale atentiei operatorului uman, sau ale dispozitivului de masurare.
- erori grosolane (greseli). Constau in abateri foarte mari, cu probabilitate mica de aparitie si care produc denaturari puternice ale rezultatelor masuratorilor. Ele pot proveni din manipulari gresite in timpul masuratorilor, din neatentia sau lipsa de instruire a operatorului, din aplicarea unor metode de calcul inexacte, din citiri eronate. Pentru a preveni puternica distorsionare a rezultatului general, aceste erori trebuie eliminate si refacute masuratorile.
    Un alt criteriu care poate da o clasificare a erorilor este modul lor de exprimare. Din acest punct de vedere, distingem :
- erori absolute , putând fi la rândul lor :
a) erori reale, definite ca diferente D X dintre valoarea masurata X_m si valoarea reala sau adevarata a marimii X :
D X = X_m - X (1.11)
b) erori conventionale. In realitate valoarea adevarata a unei marimi nu poate fi cunoscuta si , de aceea , este necesar sa se adopte de fapt o valoare de referinta , care are un caracter conventional (valoarea conventional adevarata). Se defineste astfel eroarea conventionala ca diferenta dintre valoarea masurata X_m si valoarea de referinta (X_e) admisa :
(D X)_conv = X_m - X_e (1.12)
- erori relative ( adimensionale ) :
- eroarea relativa reala :
(1.13)

- eroarea relativa conventionala (raportata):

(1.14)

Se pot exprima in procente:  (1.15)

sau in parti per milion (ppm):  (1.16)

Ex.: e_x = 0,005 = 0,5% = 5000 p.p.m.
    Se defineste eroarea maxim admisibila sau eroarea tolerata ca fiind eroarea maxima cu care se cunoaste valoarea indicata de un mijloc de masurare care functioneaza corect (eroare limita de clasa (?X)_max). Ea se determina experimental pe baza unui numar mare de masuratori.
    Pentru a caracteriza precizia unui aparat sau a unei metode de masurare se defineste indicele clasei de precizie sau prescurtat clasa de precizie, ca raport dintre eroarea maxim admisibila (eroarea limita de clasa) (?X)_max si valoarea maxima X_max care se poate masura cu aparatul sau metoda respectiva, multiplicat cu 100:

(1.17)

    Alte categorii de erori ale instrumentelor de masura:
- eroarea de fidelitate - caracterizeaza exactitatea cu care se obtin o serie de indicatii concordante, masurând aceeasi marime, repetat, la anumite intervale de timp;
- eroarea de citire (la instrumentele analogice) - consta in aprecierea gresita a pozitiei indicatorului;
- eroarea de mobilitate - este cea mai mica modificare a marimii de masurat care se poate observa cu certitudine (mobilitatea fiind calitatea unui instrument de a-si modifica pozitia sistemului mobil la o variatie cât mai mica a marimii); ea poate fi imbunatatita prin asigurarea unor frecari corespunzatoare in lagare, prin eliminarea jocurilor dintre piese, etc.;
- eroarea de histerezis - consta in producerea de indicatii diferite ale instrumentului in functie de modul de variatie al marimii: valori crescatoare sau descrescatoare, cu variatie rapida sau lenta);
- eroarea de zero (deriva) - incorecta definire a pozitiei initiale dintre indicator si originea scalei pe care se face citirea rezultatului masurarii, in absenta marimii de masurat, ceea ce va conduce la un decalaj permanent intre valoarea indicata si cea adevarata;
- eroarea de justete - X₀ - X_a este diferenta dintre valoarea mediei aritmetice X₀ a unui sir de masuratori si valoarea adevarata X_a.

    1.9. Notiuni de prelucrare a datelor experimentale
    1.9.1. Reprezentari grafice
        O modalitate simpla de prezentare a datelor experimentale presupune folosirea unor metode grafo - analitice.
    Pentru interpretarea mai comoda a rezultatelor obtinute din masuratori se prefera reprezentarea grafica sub forma de histograma.
    Presupunând ca intr-un sir de n masuratori s-au obtinut valorile limita X_{m max} si X_{m min}, lungimea intervalului de grupare d se calculeaza cu formula lui Sturges:

(1.18)

    Pentru a intocmi o histograma se procedeaza in felul urmator:
- se intocmeste tabelul de date primare;
- se ordoneaza in sens crescator valorile din tabelul precedent si, pe baza formulei lui Sturges, se stabilesc intervalele de grupare sau clasele;
- se calculeaza pentru fiecare interval de grupare sau clasa valoarea centrala sau medie;
- se determina numarul de date n_i corespunzator unei clase; numarul de masurari n_i pentru care se obtin valori cuprinse intr-un interval de grupare sau clasa se numeste frecventa absoluta;
- se calculeaza frecventa relativa ca raport al frecventei absolute n_i si al numarului total de masurari n :

(1.19)

    Numarul total de masurari se mai numeste si volum al selectiei.
Daca se construieste o diagrama formata din dreptunghiuri având baza egala cu intervalul de grupare, iar inaltimea proportionala cu frecventa (absoluta sau relativa), se obtine o histograma (fig. 1.2).
Unind prin segmente de dreapta (care formeaza o linie frânta) mijloacele superioare ale dreptunghiurilor histogramei, se obtine poligonul de frecventa.

    1.9.2. Indicatori statistici utilizati la prelucrarea datelor experimentale
    Pentru prelucrarea statistica a observatiilor (rezultatele masuratorilor), se folosesc niste valori tipice de selectie, numite indicatori statistici. Cei mai importanti sunt urmatorii:

Indicatori de localizare (de pozitie):
- media aritmetica: efectuând un sir de n masuratori asupra unei marimi fizice X, in aceleasi conditii experimentale, se obtin valorile X_m1, X_m2, ., X_mn, media aritmetica  este:

(1.18)

    Este deosebit de importanta in estimarea preciziei masuratorilor, deoarece prin proprietatile sale, se adopta in mod curent ca marime de referinta. Se poate demonstra ca in cazul unui sir foarte mare de masuratori (), valoarea medie  tinde catre valoarea reala a marimii masurate.
- media geometrica :

(1.19)

- media patratica :

(1.20)

(1.21)

- media armonica :

(1.22)

- mediana M_e se defineste ca valoare a variabilei care imparte sirul rezultatelor dispuse in ordine crescatoare in doua parti egale. Daca sirul are numar impar de termeni, mediana se ia ca valoarea de ordin (n+1)/2. Daca sirul este par, mediana se ia egala cu media aritmetica a valorilor centrale.
- moda sau dominanta se defineste ca valoarea careia ii corespunde frecventa maxima de masuratori intr-un sir de determinari. Daca sirul de masuratori are doua valori maxime frecvente, repartitia se numeste bimodala, iar daca sunt mai multe, plurimodala.
Indicatori de dispersie :
- amplitudinea de dispersie :
w = X_{m max} - X_{m min} (1.23)
- abaterea :
(1.24)
- abaterea medie patratica :

(1.25)

- dispersia de selectie S² :

(1.26)

Repartitia normala Gauss a rezultatelor experimentale
Aceasta repartitie are o deosebita importanta in metrologie prin numeroasele aplicatii practice. Cu ajutorul ei se pot analiza:
- un sir de masuratori riguros in aceleasi conditii experimentale, efectuate asupra aceleiasi marimi X;
- rezultatele unor masuratori asupra unei populatii, pentru de terminarea unei caracteristici a acesteia.
Densitatea de probabilitate de repartitie a rezultatelor, considerate ca variabile aleatoare, se scrie :

(1.27)

unde:
(1.28)
iar:
este media aritmetica a masuratorilor;
S abaterea medie patratica.
    In fig. 1.2. se da aspectul graficului functiei distributiei de probabilitate, reprezentând pe axa absciselor diferenta , iar pe axa ordonatelor valorile acestei functii, conform relatiei (1.27).
    Se poate observa ca:

-  (prin derivare in raport cu X_m) (1.29)

- exista doua puncte de inflexiune simetrice:

(1.30)

    Proprietati ale curbei Gauss:
- pentru un numar suficient de mare de masurari riguros in aceleasi conditii experimentale, valorile marimii masurate se distribuie simetric fata de media aritmetica;
- functia densitatii de probabilitate este neglijabila pentru valori ale variabilei X_m care difera de media aritmetica  cu mai mult de 3S;
- aria delimitata de curba si de axa absciselor este 1 pentru toate valorile X si S;
- f(X_m)>0 si f(-X_m) = f(X_m) - deci graficul este simetric fata de axa ordonatelor;
- curba are forma de clopot (clopotul lui Gauss) si are doua puncte de inflexiune in punctele:
(1.31)
(1.32)
- forma curbei este conditionata de dispersia rezultatelor masuratorilor (fig.1.3):
S₁<S₂<S₃
Probabilitatea ca eroarea absoluta sa se afle intre doua limite e₁ si e₂ este :

(1.33)

(1.34)

Grafic, ea este reprezentata de aria delimitata de curba Gauss, axa absciselor si ordonatelor in e₁ si e₂ (fig.1.4).

    I. Chestiuni de studiat
1. Clasificati marimile fizice din punctul de vedere al sistemelor de unitati de masura.
2. Enumerati unitatile de masura fundamentale care stau la baza Sistemului International de unitati.
3. Definiti operatia de masurare.
4. Ce reprezinta masura unei unitati de masura si, privit din acest punct de vedere, formulati definitia aparatelor de masurat.
5. Clasificati masurarile dupa forma de prezentare a rezultatelor masurarii.
6. Enumerati metodele de masurare având in vedere tehnica de obtinere a rezultatului masurarii.
8. Definiti eroarea de masurare.
9. Care sunt erorile sistematice ? Clasificare.
10. Definiti indicele clasei de precizie (clasa de precizie) a unui aparat sau metode de masurare.
11. Definiti rezultatul masurarii.
12. Clasificati marimile dupa energia metrologica pe care o au.
13. Clasificati mijloacele de masurare dupa precizia lor.
14. Clasificati metodele de masurare de comparatie. Definiti una din ele, la alegere.

    II. Aplicatii
    Cu ajutorul erorii admisibile, se poate preciza intervalul de incadrare al marimii fizice studiate in functie de rezultatul masurarii. Astfel, daca utilizând un anumit aparat, cu eroarea limita de clasa (D X)_max se masoara o marime X, obtinând o anumita valoare X_m, intervalul de incadrare al marimii fizice respective este:
X_m - (D X)_max < X < X_m + (D X)_max (1.35)
    Eroarea relativa comisa la masurarea unei anumite marimi x, diferita de X_max, se determina astfel:

(1.36)

    Deoarece relatia depinde de raportul X_max/X, se constata necesitatea efectuarii unor masuratori astfel incât indicatiile aparatului sa se situeze in ultima treime a scalei (deci cât mai aproape de X_max), pentru a obtine o eroare relativa cât mai mica.
    Clasele de precizie ale unor aparate de masurat analogice:

    III. Exemple de calcul
1. Se masoara un curent de 3 A cu un ampermetru având valoarea maxima 5 A si clasa de precizie 2,5. Sa se determine:
a) eroarea relativa comisa la masurarea curentului de 3A;
b) intervalul de incadrare al valorii masurate.
Rezolvare:

(1.37)

(1.38)

2. La fabricarea unei serii de rezistoare cu rezistenta nominala de R_n=100W , masuratorile rezistentei au fost efectuate cu o eroare relativa sistematica (D R/R)_S=2% constanta. Abaterea standard intr-un sir de masuratori asupra aceluiasi rezistor este 4% din valoarea medie a rezistentei. ªtiind ca intervalul de toleranta in care se executa toate rezistoarele este ± 0,5% din valoarea nominala a rezistentei, sa se calculeze valoarea medie a rezistentei, limitele intre care variaza rezistenta si abaterea standard.
Rezolvare:
Eroarea sistematica este constanta pentru fiecare masurare, deci si pentru valoarea medie:

(1.39)

(1.40)

Limitele intre care variaza rezistenta sunt:
X_1-2=R_n(1±e )
X₁ = R_n(1-e ) = 100(1-0,005) = 99,5 W
X₂ = R_n(1+e ) = 100(1+0,005) = 100,5 W
3. Intr-un sir de masuratori asupra unei rezistente s-au obtinut valorile din tabelul de mai jos. Sa se calculeze: a) media aritmetica; b) abaterea standard; c) rezultatul masurarii.

Rezolvare:


Eroarea probabila a valorii medii: